Трёхчленное рекуррентное соотношение

В математике , и особенно в численном анализе , однородное линейное трехчленное рекуррентное соотношение ( TTRR , квалификаторы «однородное линейное» обычно принимаются как должное) ^[1] — это рекуррентное соотношение вида

${\displaystyle y_{n+1}=a_{n}y_{n}+b_{n}y_{n-1}}$для ${\displaystyle n=1,2,...,}$

где последовательности и вместе с начальными значениями управляют эволюцией последовательности . ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ ${\displaystyle y_{0},y_{1}}$ ${\displaystyle \{y_{n}\}}$

Приложения

Если и являются постоянными и не зависят от индекса шага n , то TTRR является линейной рекуррентностью с постоянными коэффициентами порядка 2. Вероятно, самым простым и наиболее ярким примером для этого случая является последовательность Фибоначчи , которая имеет постоянные коэффициенты . ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ ${\displaystyle a_{n}=b_{n}=1}$

Ортогональные многочлены P _n все имеют TTRR относительно степени n ,

${\displaystyle P_{n}(x)=(A_{n}x+B_{n})P_{n-1}(x)+C_{n}P_{n-2}(x)}$

где A _n не равно 0. Наоборот, теорема Фавара утверждает, что последовательность полиномов, удовлетворяющая TTRR, является последовательностью ортогональных полиномов.

Также многие другие специальные функции имеют TTRR. Например, решение для

${\displaystyle J_{n+1}={\frac {2n}{z}}J_{n}-J_{n-1}}$

задается функцией Бесселя . TTRR являются важным инструментом для численного вычисления специальных функций. ${\displaystyle J_{n}=J_{n}(z)}$

TTRR тесно связаны с непрерывными дробями .

Решение

Решения TTRR, как и решения линейного обыкновенного дифференциального уравнения , образуют двумерное векторное пространство: любое решение может быть записано как линейная комбинация любых двух линейно независимых решений. Уникальное решение определяется через начальные значения . ^[2] ${\displaystyle y_{0},y_{1}}$

Смотрите также

• Алгоритм повторения Миллера

Литература

• Вальтер Гаучи . Вычислительные аспекты трехчленных рекуррентных соотношений. SIAM Review, 9:24–80 (1967).
• Вальтер Гаучи. Минимальные решения трехчленного рекуррентного соотношения и ортогональные многочлены. Математика вычислений, 36:547–554 (1981).
• Ампаро Хиль, Хавьер Сегура и Нико М. Темме. Численные методы для специальных функций. Сиам (2007)
• Дж. Вимп, Вычисления с рекуррентными соотношениями, Лондон: Pitman (1984)

Ссылки

1. Ги, Сегура, Темме (2007), Глава 4.1
2. Ги, Сегура, Темме (2007), Глава 4.1