Релятивистская механика

Теория движения и сил для объектов, движущихся со скоростью, близкой к скорости света

В физике релятивистская механика относится к механике, совместимой со специальной теорией относительности (СТО) и общей теорией относительности (ОТО). Она обеспечивает неквантовомеханическое описание системы частиц или жидкости в случаях, когда скорости движущихся объектов сравнимы со скоростью света c . В результате классическая механика правильно распространяется на частицы, движущиеся с высокими скоростями и энергиями, и обеспечивает последовательное включение электромагнетизма в механику частиц. Это было невозможно в галилеевской теории относительности, где разрешалось бы частицам и свету двигаться с любой скоростью, в том числе быстрее света. Основами релятивистской механики являются постулаты специальной теории относительности и общей теории относительности. Объединение СТО с квантовой механикой — это релятивистская квантовая механика , в то время как попытки объединения ОТО — это квантовая гравитация , нерешенная проблема в физике .

Как и в классической механике, предмет можно разделить на « кинематику »; описание движения путем указания положений , скоростей и ускорений , и « динамику »; полное описание путем рассмотрения энергий , импульсов и моментов импульса и их законов сохранения , а также сил, действующих на частицы или оказываемых частицами. Однако есть тонкость: то, что кажется «движущимся», а что «находится в состоянии покоя» — что в классической механике называется « статикой » — зависит от относительного движения наблюдателей , которые измеряют в системах отсчета .

Некоторые определения и концепции классической механики переносятся в СТО, например, сила как производная импульса по времени ( второй закон Ньютона ), работа, совершаемая частицей, как линейный интеграл силы, действующей на частицу вдоль траектории, и мощность как производная работы по времени. Однако в оставшиеся определения и формулы внесен ряд существенных изменений. СТО утверждает, что движение относительно, а законы физики одинаковы для всех экспериментаторов независимо от их инерциальных систем отсчета . Помимо изменения понятий пространства и времени , СТО заставляет пересмотреть понятия массы , импульса и энергии, все из которых являются важными конструкциями в ньютоновской механике . СТО показывает, что все эти концепции являются различными аспектами одной и той же физической величины во многом таким же образом, как она показывает, что пространство и время взаимосвязаны. Следовательно, еще одной модификацией является концепция центра масс системы, которую легко определить в классической механике, но гораздо менее очевидную в теории относительности — см. релятивистский центр масс для получения подробной информации.

Уравнения становятся более сложными в более привычном формализме трехмерного векторного исчисления из -за нелинейности фактора Лоренца , который точно учитывает релятивистскую зависимость скорости и предел скорости всех частиц и полей. Однако они имеют более простую и элегантную форму в четырехмерном пространстве-времени , которое включает плоское пространство Минковского (SR) и искривленное пространство-время (GR), поскольку трехмерные векторы, полученные из пространства, и скаляры, полученные из времени, могут быть собраны в четыре вектора , или четырехмерные тензоры . Шестикомпонентный тензор углового момента иногда называют бивектором, потому что в трехмерной точке зрения он представляет собой два вектора (один из них, обычный угловой момент, является аксиальным вектором ).

Релятивистская кинематика

Релятивистская четырехскорость, то есть четырехвектор, представляющий скорость в теории относительности, определяется следующим образом:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {U} }}={\frac {d{\boldsymbol {\mathbf {X} }}}{d\tau }}=\left({\frac {cdt}{d\tau }},{\frac {d\mathbf {x} }{d\tau }}\right)}$

В приведенном выше примере — это собственное время пути через пространство-время , называемое мировой линией, за которым следует скорость объекта, представленная выше, и ${\displaystyle {\tau }}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {X} }}=(ct,\mathbf {x} )}$

это четырехпозиционное ; координаты события . Из-за замедления времени собственное время — это время между двумя событиями в системе отсчета, где они происходят в одном и том же месте. Собственное время связано с координатным временем t следующим образом:

${\displaystyle {\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{\gamma (\mathbf {v} )}}}$

где фактор Лоренца : ${\displaystyle {\gamma }(\mathbf {v} )}$

${\displaystyle \gamma (\mathbf {v} )={\frac {1}{\sqrt {1-\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} /c^{2}}}}\,\rightleftharpoons \,\gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}.}$

(можно цитировать любую версию), поэтому следует:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {U} }}=\gamma (\mathbf {v} )(c,\mathbf {v} )}$

Первые три члена, за исключением множителя , представляют собой скорость, которую видит наблюдатель в своей собственной системе отсчета. Она определяется скоростью между системой отсчета наблюдателя и системой отсчета объекта, которая является системой, в которой измеряется его собственное время. Эта величина инвариантна относительно преобразования Лоренца, поэтому для проверки того, что видит наблюдатель в другой системе отсчета, нужно просто умножить четырехвектор скорости на матрицу преобразования Лоренца между двумя системами отсчета. ${\displaystyle {\gamma (\mathbf {v} )}}$ ${\displaystyle {\gamma (\mathbf {v} )}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Релятивистская динамика

Масса покоя и релятивистская масса

Масса объекта, измеренная в его собственной системе отсчета, называется его массой покоя или инвариантной массой и иногда записывается . Если объект движется со скоростью в какой-то другой системе отсчета, величину часто называют «релятивистской массой» объекта в этой системе. ^[1] Некоторые авторы используют для обозначения массы покоя, но для ясности в этой статье будет следовать соглашению об использовании для релятивистской массы и для массы покоя. ^[2] ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle m=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m_{0}}$

Лев Окунь предположил, что концепция релятивистской массы «сегодня не имеет рационального обоснования» и не должна больше преподаваться. ^[3] Другие физики, включая Вольфганга Риндлера и Т. Р. Сандина, утверждают, что эта концепция полезна. ^[4] Более подробную информацию об этом споре см. в статье масса в специальной теории относительности .

Частица, масса покоя которой равна нулю, называется безмассовой . Фотоны и гравитоны считаются безмассовыми, а нейтрино — почти безмассовыми.

Релятивистская энергия и импульс

Существует несколько (эквивалентных) способов определения импульса и энергии в СТО. Один из методов использует законы сохранения . Если эти законы должны оставаться справедливыми в СТО, они должны быть справедливы в каждой возможной системе отсчета. Однако, если провести несколько простых мысленных экспериментов с использованием ньютоновских определений импульса и энергии, можно увидеть, что эти величины не сохраняются в СТО. Можно спасти идею сохранения, внеся некоторые небольшие изменения в определения, чтобы учесть релятивистские скорости . Именно эти новые определения принимаются как правильные для импульса и энергии в СТО.

Четырехмерный импульс объекта прост и по форме идентичен классическому импульсу, но заменяет 3-векторы на 4-векторы:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {P} }}=m_{0}{\boldsymbol {\mathbf {U} }}=(E/c,\mathbf {p} )}$

Энергия и импульс объекта с инвариантной массой , движущегося со скоростью относительно заданной системы отсчета, соответственно определяются как ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}E&=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}c^{2}\\\mathbf {p} &=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\mathbf {v} \end{aligned}}}$

Фактор происходит из определения четырехскорости, описанной выше. Появление может быть изложено альтернативным способом, который будет объяснен в следующем разделе. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Кинетическая энергия определяется как ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K=(\gamma -1)m_{0}c^{2}=E-m_{0}c^{2}\,,}$

а скорость как функция кинетической энергии определяется выражением

${\displaystyle v=c{\sqrt {1-\left({\frac {m_{0}c^{2}}{K+m_{0}c^{2}}}\right)^{2}}}={\frac {c{\sqrt {K(K+2m_{0}c^{2})}}}{K+m_{0}c^{2}}}={\frac {c{\sqrt {(E-m_{0}c^{2})(E+m_{0}c^{2})}}}{E}}={\frac {pc^{2}}{E}}\,.}$

Пространственный импульс можно записать как , сохраняя форму из ньютоновской механики с заменой ньютоновской массы на релятивистскую. Однако эта замена не работает для некоторых величин, включая силу и кинетическую энергию. Более того, релятивистская масса не инвариантна относительно преобразований Лоренца, в то время как масса покоя инвариантна. По этой причине многие предпочитают использовать массу покоя и явно учитывать через 4-скорость или координатное время. ${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \gamma }$

Простое соотношение между энергией, импульсом и скоростью можно получить из определений энергии и импульса, умножив энергию на , умножив импульс на , и заметив, что два выражения равны. Это дает ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle c^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {p} c^{2}=E\mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {v} }$можно затем исключить, разделив это уравнение на и возведя его в квадрат, ${\displaystyle c}$

${\displaystyle (pc)^{2}=E^{2}(v/c)^{2}}$

разделив определение энергии на и возведя в квадрат, ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle E^{2}\left(1-(v/c)^{2}\right)=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}}$

и заменив:

${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}}$

Это релятивистское соотношение энергии и импульса .

В то время как энергия и импульс зависят от системы отсчета, в которой они измеряются, величина инвариантна. Ее значение равно умножению на квадрат величины вектора 4-импульса . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}}$ ${\displaystyle -c^{2}}$

Инвариантную массу системы можно записать как

${\displaystyle {m_{0}}_{\text{tot}}={\frac {\sqrt {E_{\text{tot}}^{2}-(p_{\text{tot}}c)^{2}}}{c^{2}}}}$

Из-за кинетической энергии и энергии связи эта величина отличается от суммы масс покоя частиц, из которых состоит система. Масса покоя не является сохраняющейся величиной в специальной теории относительности, в отличие от ситуации в ньютоновской физике. Однако, даже если объект изменяется внутренне, пока он не обменивается энергией или импульсом со своим окружением, его масса покоя не изменится и может быть рассчитана с тем же результатом в любой системе отсчета.

Эквивалентность массы и энергии

Релятивистское уравнение энергии-импульса справедливо для всех частиц, даже для безмассовых частиц , для которых m ₀ = 0. В этом случае:

${\displaystyle E=pc}$

При подстановке в Ev  =  c ² p получается v  =  c : безмассовые частицы (например, фотоны ) всегда движутся со скоростью света.

Обратите внимание, что масса покоя составной системы, как правило, будет немного отличаться от суммы масс покоя ее частей, поскольку в ее системе покоя их кинетическая энергия увеличит ее массу, а их (отрицательная) энергия связи уменьшит ее массу. В частности, гипотетический «короб света» будет иметь массу покоя, даже если он состоит из частиц, которые ее не имеют, поскольку их импульсы будут компенсироваться.

Рассматривая приведенную выше формулу для инвариантной массы системы, можно увидеть, что, когда один массивный объект находится в состоянии покоя ( v = 0 , p = 0 ), остается ненулевая масса: m ₀ = E / c ² . Соответствующая энергия, которая также является полной энергией, когда одна частица находится в состоянии покоя, называется «энергией покоя». В системах частиц, которые наблюдаются из движущейся инерциальной системы отсчета, полная энергия увеличивается, а также увеличивается импульс. Однако для отдельных частиц масса покоя остается постоянной, а для систем частиц инвариантная масса остается постоянной, потому что в обоих случаях энергия и импульс увеличиваются, вычитаются друг из друга и сокращаются. Таким образом, инвариантная масса систем частиц является вычисляемой константой для всех наблюдателей, как и масса покоя отдельных частиц.

Масса систем и сохранение инвариантной массы

Для систем частиц уравнение энергии-импульса требует суммирования векторов импульса частиц:

${\displaystyle E^{2}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}}$

Инерциальная система, в которой импульсы всех частиц равны нулю, называется системой центра импульса . В этой специальной системе релятивистское уравнение энергии-импульса имеет p = 0, и, таким образом, дает инвариантную массу системы просто как полную энергию всех частей системы, деленную на c ²

${\displaystyle m_{0,\,{\rm {system}}}=\sum _{n}E_{n}/c^{2}}$

Это инвариантная масса любой системы, которая измеряется в системе отсчета, где она имеет нулевой полный импульс, например, бутылка горячего газа на весах. В такой системе масса, которую взвешивают весы, является инвариантной массой, и она зависит от полной энергии системы. Таким образом, она больше, чем сумма масс покоя молекул, но также включает в себя все суммарные энергии в системе. Подобно энергии и импульсу, инвариантная масса изолированных систем не может быть изменена, пока система остается полностью закрытой (никакая масса или энергия не допускаются внутрь или наружу), потому что полная релятивистская энергия системы остается постоянной, пока ничто не может войти в нее или выйти из нее.

Увеличение энергии такой системы, вызванное переводом системы в инерциальную систему отсчета, которая не является системой центра импульса , приводит к увеличению энергии и импульса без увеличения инвариантной массы. Однако E = m ₀ c ² применимо только к изолированным системам в системе центра импульса, где сумма импульсов равна нулю.

Принимая эту формулу за чистую монету, мы видим, что в теории относительности масса — это просто энергия под другим названием (и измеряемая в других единицах). В 1927 году Эйнштейн заметил о специальной теории относительности: «Согласно этой теории, масса — это не неизменная величина, а величина, зависящая от (и, по сути, идентичная) количеству энергии». ^[5]

Закрытые (изолированные) системы

В «полностью закрытой» системе (т. е. изолированной системе ) полная энергия, полный импульс и, следовательно, полная инвариантная масса сохраняются. Формула Эйнштейна для изменения массы переводится в ее простейшую форму Δ E = Δ mc ² , однако, только в незамкнутых системах, в которых энергия может улетучиваться (например, в виде тепла и света), и, таким образом, инвариантная масса уменьшается. Уравнение Эйнштейна показывает, что такие системы должны терять массу, в соответствии с приведенной выше формулой, пропорционально энергии, которую они теряют в окружающую среду. И наоборот, если можно измерить разницу в массе между системой до того, как она подвергнется реакции, в которой выделяется тепло и свет, и системой после реакции, когда тепло и свет улетучились, можно оценить количество энергии, которая улетает из системы.

Химические и ядерные реакции

Как в ядерных, так и в химических реакциях такая энергия представляет собой разницу в энергиях связи электронов в атомах (для химии) или между нуклонами в ядрах (в атомных реакциях). В обоих случаях разница масс между реагентами и (охлажденными) продуктами измеряет массу тепла и света, которые выйдут из реакции, и таким образом (используя уравнение) дает эквивалентную энергию тепла и света, которая может быть испущена, если реакция будет протекать.

В химии разница масс, связанная с испускаемой энергией, составляет около 10−9 ^от молекулярной массы. ^[6] Однако в ядерных реакциях энергии настолько велики, что они связаны с разницей масс, которую можно оценить заранее, если взвесить продукты и реагенты (атомы можно взвесить косвенно, используя атомные массы, которые всегда одинаковы для каждого нуклида ). Таким образом, формула Эйнштейна становится важной, когда измеряются массы различных атомных ядер. Рассматривая разницу масс, можно предсказать, какие ядра сохранили энергию, которая может быть высвобождена определенными ядерными реакциями , предоставляя важную информацию, которая была полезна для развития ядерной энергетики и, следовательно, ядерной бомбы . Исторически, например, Лиза Мейтнер смогла использовать разницу масс в ядрах, чтобы оценить, что было достаточно энергии, чтобы сделать ядерное деление благоприятным процессом. Таким образом, последствия этой особой формы формулы Эйнштейна сделали ее одним из самых известных уравнений во всей науке.

Центр импульса кадра

Уравнение E  =  m ₀ c ² применимо только к изолированным системам в их системе отсчета центра импульса . Его часто неправильно понимают как то, что масса может быть преобразована в энергию, после чего масса исчезает. Однако популярные объяснения уравнения применительно к системам включают открытые (неизолированные) системы, из которых тепло и свет могут выходить, тогда как в противном случае они бы внесли вклад в массу ( инвариантную массу ) системы.

Исторически путаница относительно массы, «превращающейся» в энергию, была вызвана путаницей между массой и « материей », где материя определяется как фермионные частицы. В таком определении электромагнитное излучение и кинетическая энергия (или тепло) не считаются «материей». В некоторых ситуациях материя действительно может быть преобразована в нематериальные формы энергии (см. выше), но во всех этих ситуациях материя и нематериальные формы энергии по-прежнему сохраняют свою первоначальную массу.

Для изолированных систем (закрытых для всего обмена массой и энергией) масса никогда не исчезает в системе центра импульса, потому что энергия не может исчезнуть. Вместо этого это уравнение в контексте означает только то, что когда любая энергия добавляется или уходит из системы в системе центра импульса, система будет измеряться как приобретшая или потерявшая массу пропорционально добавленной или удаленной энергии. Таким образом, теоретически, если атомную бомбу поместить в ящик, достаточно прочный, чтобы выдержать ее взрыв, и взорвать на весах, масса этой замкнутой системы не изменится, и весы не сдвинутся. Только когда в сверхпрочном ящике, заполненном плазмой, будет открыто прозрачное «окно», и свет и тепло выйдут в луче, а компоненты бомбы остынут, система потеряет массу, связанную с энергией взрыва. Например, в бомбе в 21 килотонну создается около грамма света и тепла. Если бы это тепло и свет вышли, остатки бомбы потеряли бы грамм массы по мере охлаждения. В этом мысленном эксперименте свет и тепло уносят грамм массы и, следовательно, откладывают этот грамм массы в объектах, которые их поглощают. ^[7]

Угловой момент импульса

В релятивистской механике изменяющийся во времени момент массы

${\displaystyle \mathbf {N} =m\left(\mathbf {x} -t\mathbf {v} \right)}$

и орбитальный 3-угловой момент

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p} }$

точечной частицы объединяются в четырехмерный бивектор в терминах 4-позиционного X и 4-импульса P частицы: ^{[8] [9]}

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} }$

где ∧ обозначает внешнее произведение . Этот тензор является аддитивным: полный момент импульса системы является суммой тензоров момента импульса для каждого компонента системы. Таким образом, для совокупности дискретных частиц суммируются тензоры момента импульса по частицам или интегрируется плотность момента импульса по протяженности непрерывного распределения массы.

Каждый из шести компонентов образует сохраняющуюся величину при агрегации с соответствующими компонентами других объектов и полей.

Сила

В специальной теории относительности второй закон Ньютона не выполняется в форме F = m a , но выполняется, если его выразить как

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$

где p = γ( v ) m ₀ v — импульс, определенный выше, а m ₀ — инвариантная масса . Таким образом, сила определяется как

${\displaystyle \mathbf {F} =\gamma ^{3}m_{0}\,\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\ \mathrm {where} \ \gamma =\gamma (\mathbf {v} )}$

Следовательно, в некоторых старых текстах γ( v ) ³ m ₀ упоминается как продольная масса , а γ( v ) m ₀ упоминается как поперечная масса , которая численно совпадает с релятивистской массой . См. масса в специальной теории относительности .

Если это инвертировать, чтобы вычислить ускорение из силы, то получится

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {1}{m_{0}\gamma (\mathbf {v} )}}\left(\mathbf {F} -{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} )\mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\,.}$

Сила, описанная в этом разделе, является классической трехмерной силой, которая не является четырехмерным вектором . Эта трехмерная сила является подходящим понятием силы, поскольку она подчиняется третьему закону движения Ньютона . Ее не следует путать с так называемой четырехмерной силой , которая является просто трехмерной силой в сопутствующей системе отсчета объекта, преобразованной так, как если бы она была четырехмерным вектором. Однако плотность трехмерной силы (линейный импульс, переданный на единицу четырехмерного объема ) является четырехмерным вектором ( плотность веса +1) в сочетании с отрицательной плотностью переданной мощности.

Крутящий момент

Крутящий момент, действующий на точечную частицу, определяется как производная тензора момента импульса, приведенного выше, по собственному времени: ^{[10] [11]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}={\frac {d\mathbf {M} }{d\tau }}=\mathbf {X} \wedge \mathbf {F} }$

или в компонентах тензора:

${\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }=X_{\alpha }F_{\beta }-X_{\beta }F_{\alpha }}$

где F — 4d сила, действующая на частицу в момент события X. Как и в случае с угловым моментом, крутящий момент является аддитивным, поэтому для протяженного объекта он суммируется или интегрируется по распределению массы.

Кинетическая энергия

Теорема о работе-энергии гласит ^[12], что изменение кинетической энергии равно работе, проделанной над телом. В специальной теории относительности:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K=W=[\gamma _{1}-\gamma _{0}]m_{0}c^{2}.\end{aligned}}}$

Если в начальном состоянии тело покоилось, поэтому v ₀  = 0 и γ ₀ ( v ₀ ) = 1, а в конечном состоянии оно имеет скорость v ₁  =  v , полагая γ ₁ ( v ₁ ) = γ( v ), то кинетическая энергия равна:

${\displaystyle K=[\gamma (v)-1]m_{0}c^{2}\,,}$

результат, который можно получить непосредственно путем вычитания энергии покоя m ₀ c ² из полной релятивистской энергии γ( v ) m ₀ c ² .

Ньютоновский предел

Фактор Лоренца γ( v ) можно разложить в ряд Тейлора или биномиальный ряд для ( v / c ) ² < 1, получив:

${\displaystyle \gamma ={\dfrac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)=1+{\dfrac {1}{2}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}+{\dfrac {3}{8}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{4}+{\dfrac {5}{16}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{6}+\cdots }$

и следовательно

${\displaystyle E-m_{0}c^{2}={\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}+{\frac {3}{8}}{\frac {m_{0}v^{4}}{c^{2}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {m_{0}v^{6}}{c^{4}}}+\cdots ;}$

${\displaystyle \mathbf {p} =m_{0}\mathbf {v} +{\frac {1}{2}}{\frac {m_{0}v^{2}\mathbf {v} }{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}{\frac {m_{0}v^{4}\mathbf {v} }{c^{4}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {m_{0}v^{6}\mathbf {v} }{c^{6}}}+\cdots .}$

Для скоростей, намного меньших скорости света, можно пренебречь членами с c ² и выше в знаменателе. Затем эти формулы сводятся к стандартным определениям ньютоновской кинетической энергии и импульса. Так и должно быть, поскольку специальная теория относительности должна согласовываться с ньютоновской механикой при малых скоростях.

Смотрите также

• Парадокс близнецов
• Релятивистские уравнения
• Релятивистская теплопроводность
• Классический электромагнетизм и специальная теория относительности
• Релятивистская система (математика)
• Релятивистская механика Лагранжа

Ссылки

Примечания

1. Филип Гиббс, Джим Карр и Дон Кокс (2008). "Что такое релятивистская масса?". Usenet Physics FAQ . Получено 2008-09-19 .Обратите внимание, что в 2008 году последний редактор, Дон Кокс, переписал значительную часть страницы, изменив ее с крайне пренебрежительного взгляда на полезность релятивистской массы на тот, который едва ли подвергает ее сомнению. Предыдущая версия была: Philip Gibbs & Jim Carr (1998). "Изменяется ли масса со скоростью?". Usenet Physics FAQ . Архивировано из оригинала 2007-06-30.
2. См., например: Фейнман, Ричард (1998). "Специальная теория относительности". Шесть не очень простых произведений . Кембридж, Массачусетс: Perseus Books. ISBN 0-201-32842-9.
3. Лев Б. Окунь (июль 1989). «Концепция массы» (PDF) . Physics Today . 42 (6): 31–36. Bibcode :1989PhT....42f..31O. doi :10.1063/1.881171. Архивировано из оригинала (требуется подписка) 2008-12-17 . Получено 2012-06-04 .
4. TR Sandin (ноябрь 1991 г.). «В защиту релятивистской массы». American Journal of Physics . 59 (11): 1032–1036. Bibcode : 1991AmJPh..59.1032S. doi : 10.1119/1.16642.
5. Эйнштейн о Ньютоне
6. Рэнди Харрис (2008). Современная физика: Второе издание . Pearson Addison-Wesley. стр. 38. ISBN 978-0-8053-0308-7.
7. EF Taylor и JA Wheeler, Spacetime Physics , WH Freeman and Co., Нью-Йорк. 1992. ISBN 0-7167-2327-1 , см. стр. 248–249 для обсуждения массы, остающейся постоянной после детонации ядерных бомб, пока тепло не выделится. 
8. Р. Пенроуз (2005). Дорога к реальности . Старинные книги. стр. 437–438, 566–569. ISBN 978-0-09-944068-0. Примечание: Некоторые авторы, включая Пенроуза, используют в этом определении латинские буквы, хотя для векторов и тензоров в пространстве-времени принято использовать греческие индексы.
9. М. Файнгольд (2008). Специальная теория относительности и как она работает. John Wiley & Sons. С. 137–139. ISBN 978-3-527-40607-4.
10. S. Aranoff (1969). «Крутящий момент и угловой момент в системе, находящейся в равновесии в специальной теории относительности». American Journal of Physics . 37 (4): 453–454. Bibcode : 1969AmJPh..37..453A. doi : 10.1119/1.1975612.Автор использует T для обозначения крутящего момента, здесь мы используем заглавную букву Гамма Γ, поскольку T чаще всего зарезервировано для тензора энергии-напряжения .
11. S. Aranoff (1972). "Equilibrium in special relativity" (PDF) . Nuovo Cimento . 10 (1): 159. Bibcode :1972NCimB..10..155A. doi :10.1007/BF02911417. S2CID  117291369. Архивировано из оригинала (PDF) 2012-03-28 . Получено 2013-10-13 .
12. RCTolman "Относительная термодинамика и космология" стр. 47–48

• C. Chryssomalakos; H. Hernandez-Coronado; E. Okon (2009). "Центр масс в специальной и общей теории относительности и его роль в эффективном описании пространства-времени". J. Phys. Conf. Ser . 174 (1). Мексика: 012026. arXiv : 0901.3349 . Bibcode :2009JPhCS.174a2026C. doi :10.1088/1742-6596/174/1/012026. S2CID  17734387.

Дальнейшее чтение

Общая область применения и специальная/общая теория относительности

• PM Whelan; MJ Hodgeson (1978). Essential Principles of Physics (2-е изд.). Джон Мюррей. ISBN 0-7195-3382-1.
• G. Woan (2010). Кембриджский справочник по физическим формулам . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57507-2.
• PA Tipler; G. Mosca (2008). Физика для ученых и инженеров: с современной физикой (6-е изд.). WH Freeman and Co. ISBN 978-1-4292-0265-7.
• RG Lerner ; GL Trigg (2005). Энциклопедия физики (2-е изд.). VHC Publishers, Hans Warlimont, Springer. ISBN 978-0-07-025734-4.
• Концепции современной физики (4-е издание), А. Бейзер, Физика, McGraw-Hill (International), 1987, ISBN 0-07-100144-1 
• CB Parker (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2-е изд.). McGraw Hill. ISBN 0-07-051400-3.
• Т. Франкель (2012). Геометрия физики (3-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-60260-1.
• LH Greenberg (1978). Физика с современными приложениями . Holt-Saunders International WB Saunders and Co. ISBN 0-7216-4247-0.
• А. Халперн (1988). 3000 решенных задач по физике, серия Шаума . McGraw Hill. ISBN 978-0-07-025734-4.

Электромагнетизм и специальная теория относительности

• GAG Bennet (1974). Электричество и современная физика (2-е изд.). Эдвард Арнольд (Великобритания). ISBN 0-7131-2459-8.
• IS Grant; WR Phillips; Manchester Physics (2008). Электромагнетизм (2-е изд.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9.
• DJ Griffiths (2007). Введение в электродинамику (3-е изд.). Pearson Education, Dorling Kindersley. ISBN 978-81-7758-293-2.

Классическая механика и специальная теория относительности

• JR Forshaw; AG Smith (2009). Динамика и теория относительности . Wiley. ISBN 978-0-470-01460-8.
• D. Kleppner; RJ Kolenkow (2010). Введение в механику . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19821-9.
• LN Hand; JD Finch (2008). Аналитическая механика . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57572-0.
• PJ O'Donnell (2015). Essential Dynamics and Relativity . CRC Press. ISBN 978-1-4665-8839-4.

Общая теория относительности

• D. McMahon (2006). Демистификация теории относительности . McGraw Hill. ISBN 0-07-145545-0.
• JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.
• JA Wheeler; I. ​​Ciufolini (1995). Гравитация и инерция . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-03323-5.
• RJA Lambourne (2010). Относительность, гравитация и космология . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-13138-4.