Релятивистский момент импульса

Угловой момент в специальной и общей теории относительности

В физике релятивистский момент импульса относится к математическим формализмам и физическим концепциям, которые определяют момент импульса в специальной теории относительности (СТО) и общей теории относительности (ОТО). Релятивистская величина тонко отличается от трехмерной величины в классической механике .

Угловой момент — важная динамическая величина, выведенная из положения и импульса. Это мера вращательного движения объекта и сопротивления изменениям его вращения. Кроме того, так же, как сохранение импульса соответствует трансляционной симметрии, сохранение углового момента соответствует вращательной симметрии — связь между симметриями и законами сохранения устанавливается теоремой Нётер . Хотя эти концепции были первоначально обнаружены в классической механике , они также верны и значимы в специальной и общей теории относительности. В терминах абстрактной алгебры инвариантность углового момента, 4-импульса и других симметрий в пространстве-времени описываются группой Лоренца или, в более общем смысле, группой Пуанкаре .

Физические величины , которые остаются раздельными в классической физике, естественным образом объединяются в СТО и ОТО посредством применения постулатов относительности. Наиболее примечательно, что пространственные и временные координаты объединяются в четырехпозиционный , а энергия и импульс объединяются в четырехимпульсный . Компоненты этих четырехвекторов зависят от используемой системы отсчета и изменяются при преобразованиях Лоренца в другие инерциальные системы отсчета или ускоренные системы отсчета .

Релятивистский угловой момент менее очевиден. Классическое определение углового момента — это перекрестное произведение положения x с импульсом p для получения псевдовектора x × p , или, альтернативно, как внешнее произведение для получения антисимметричного тензора второго порядка x ∧ p . С чем это сочетается, если вообще сочетается? Есть еще одна векторная величина, которая нечасто обсуждается — это изменяющийся во времени полярный вектор момента массы ( не момент инерции ), связанный с усилением центра масс системы, и он сочетается с классическим псевдовектором углового момента, образуя антисимметричный тензор второго порядка, точно так же, как полярный вектор электрического поля сочетается с псевдовектором магнитного поля, образуя антисимметричный тензор электромагнитного поля. Для вращающихся распределений массы и энергии (таких как гироскопы , планеты , звезды и черные дыры ) вместо точечных частиц тензор углового момента выражается через тензор энергии-импульса вращающегося объекта.

В одной только специальной теории относительности в системе покоя вращающегося объекта существует собственный момент импульса, аналогичный «спину» в квантовой механике и релятивистской квантовой механике , хотя для протяженного тела, а не точечной частицы. В релятивистской квантовой механике элементарные частицы имеют спин , и это является дополнительным вкладом в оператор орбитального момента импульса, что дает оператор тензора полного момента импульса. В любом случае, собственный «спин»-добавка к орбитальному моменту импульса объекта может быть выражена в терминах псевдовектора Паули–Любанского . ^[1]

Определения

3-угловой момент как бивектор (элемент плоскости) и аксиальный вектор частицы массы m с мгновенным 3-позиционным x и 3-импульсом p .

Орбитальный 3D угловой момент

Для справки и обоснования приведены две тесно связанные формы углового момента.

В классической механике орбитальный угловой момент частицы с мгновенным трехмерным вектором положения x = ( x , y , z ) и вектором импульса p = ( p _x , p _y , p _z ) определяется как аксиальный вектор , имеющий три компонента, которые систематически задаются циклическими перестановками декартовых направлений (например, изменение x на y , y на z , z на x , повторение). $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}&=yp_{z}-zp_{y}\,,\\L_{y}&=zp_{x}-xp_{z}\,,\\L_{z}&=xp_{y}-yp_{x}\,.\end{aligned}}}$$

Связанное определение заключается в том, чтобы представить орбитальный угловой момент как элемент плоскости . Это может быть достигнуто путем замены векторного произведения внешним произведением на языке внешней алгебры , и угловой момент становится контравариантным антисимметричным тензором второго порядка ^[2] $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \wedge \mathbf {p} }$$

или записывая x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = ( x , y , z ) и вектор импульса p = ( p ₁ , p ₂ , p ₃ ) = ( p _x , p _y , p _z ) , компоненты можно компактно сократить в тензорной индексной нотации , где индексы i и j принимают значения 1, 2, 3. С другой стороны, компоненты можно систематически полностью отобразить в антисимметричной матрице 3 × 3 $${\displaystyle L^{ij}=x^{i}p^{j}-x^{j}p^{i}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &={\begin{pmatrix}L^{11}&L^{12}&L^{13}\\L^{21}&L^{22}&L^{23}\\L^{31}&L^{32}&L^{33}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&L_{xy}&L_{xz}\\L_{yx}&0&L_{yz}\\L_{zx}&L_{zy}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&L_{xy}&-L_{zx}\\-L_{xy}&0&L_{yz}\\L_{zx}&-L_{yz}&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&xp_{y}-yp_{x}&-(zp_{x}-xp_{z})\\-(xp_{y}-yp_{x})&0&yp_{z}-zp_{y}\\zp_{x}-xp_{z}&-(yp_{z}-zp_{y})&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

Эта величина является аддитивной, и для изолированной системы полный момент импульса системы сохраняется.

Динамический момент массы

В классической механике трехмерная величина для частицы массой m, движущейся со скоростью u ^{[2] [3],} имеет размерность момента массы – длины, умноженной на массу. Она равна массе частицы или системы частиц, умноженной на расстояние от начала координат до центра масс (ЦМ) в начале координат времени ( t = 0 ), измеренное в лабораторной системе отсчета . Для этой величины не существует универсального символа или даже универсального названия. Разные авторы могут обозначать ее другими символами, если таковые имеются (например, μ ), могут назначать другие названия и могут определять N как отрицательное значение того, что используется здесь. Вышеуказанная форма имеет то преимущество, что она напоминает знакомое преобразование Галилея для положения, которое, в свою очередь, является нерелятивистским преобразованием усиления между инерциальными системами отсчета. $${\displaystyle \mathbf {N} =m\left(\mathbf {x} -t\mathbf {u} \right)=m\mathbf {x} -t\mathbf {p} }$$

Этот вектор также является аддитивным: для системы частиц векторная сумма является результирующей , где положение центра масс системы , скорость и общая масса соответственно равны $${\displaystyle \sum _{n}\mathbf {N} _{n}=\sum _{n}m_{n}\left(\mathbf {x} _{n}-t\mathbf {u} _{n}\right)=\left(\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }\sum _{n}m_{n}-t\sum _{n}m_{n}\mathbf {u} _{n}\right)=M_{\text{tot}}(\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }-\mathbf {u} _{\mathrm {COM} }t)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }&={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {x} _{n}}{\sum _{n}m_{n}}},\\[3pt]\mathbf {u} _{\mathrm {COM} }&={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {u} _{n}}{\sum _{n}m_{n}}},\\[3pt]M_{\text{tot}}&=\sum _{n}m_{n}.\end{aligned}}}$$

Для изолированной системы N сохраняется во времени, что можно увидеть, дифференцируя по времени. Угловой момент L является псевдовектором, но N является «обычным» (полярным) вектором и, следовательно, инвариантен относительно инверсии.

Результирующее N _tot для многочастичной системы имеет физическую визуализацию, что, каково бы ни было сложное движение всех частиц, они движутся таким образом, что центр масс системы движется по прямой линии. Это не обязательно означает, что все частицы «следуют» центру масс, и что все частицы движутся почти в одном направлении одновременно, а только то, что коллективное движение частиц ограничено относительно центра масс.

В специальной теории относительности, если частица движется со скоростью u относительно лабораторной системы отсчета, то где - фактор Лоренца , а m - масса (т.е. масса покоя) частицы. Соответствующий релятивистский массовый момент в терминах m , u , p , E в той же лабораторной системе отсчета равен $${\displaystyle {\begin{aligned}E&=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}c^{2},&\mathbf {p} &=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}\mathbf {u} \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \gamma (\mathbf {u} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {N} ={\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {x} -\mathbf {p} t=m\gamma (\mathbf {u} )(\mathbf {x} -\mathbf {u} t).}$$

Декартовы компоненты: $${\displaystyle {\begin{aligned}N_{x}=mx-p_{x}t&={\frac {E}{c^{2}}}x-p_{x}t=m\gamma (u)(x-u_{x}t)\\N_{y}=my-p_{y}t&={\frac {E}{c^{2}}}y-p_{y}t=m\gamma (u)(y-u_{y}t)\\N_{z}=mz-p_{z}t&={\frac {E}{c^{2}}}z-p_{z}t=m\gamma (u)(z-u_{z}t)\end{aligned}}}$$

Специальная теория относительности

Координатные преобразования для увеличения в направлении x

Рассмотрим систему координат F′, которая движется со скоростью v = ( v , 0, 0) относительно другой системы F вдоль направления совпадающих осей xx′ . Начала двух систем координат совпадают в моменты времени t = t ′ = 0. Компоненты массы-энергии E = mc2 и импульса ^p = ( px , py , pz ) объекта, а также координаты положения x = ( x , y , _z ) и время t в системе ^F преобразуются в _E ′ = _m′c2 , p ′ = ( px ′ _, py _′ , pz ′) , x ′ = ( x ′ , y ′, _z ′ ) и t ′ в F′ согласно преобразованиям Лоренца $${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma (v)\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\,,\quad &E'&=\gamma (v)\left(E-vp_{x}\right)\\x'&=\gamma (v)(x-vt)\,,\quad &p_{x}'&=\gamma (v)\left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\y'&=y\,,\quad &p_{y}'&=p_{y}\\z'&=z\,,\quad &p_{z}'&=p_{z}\\\end{aligned}}}$$

Фактор Лоренца здесь применяется к скорости v , относительной скорости между кадрами. Это не обязательно то же самое, что скорость u объекта.

Для орбитального 3-углового момента L как псевдовектора имеем $${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}'&=y'p_{z}'-z'p_{y}'=L_{x}\\L_{y}'&=z'p_{x}'-x'p_{z}'=\gamma (v)(L_{y}-vN_{z})\\L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x}'=\gamma (v)(L_{z}+vN_{y})\\\end{aligned}}}$$

Вывод

Для x-компоненты y-компонента и z-компонента $${\displaystyle L_{x}'=y'p_{z}'-z'p_{y}'=yp_{z}-zp_{y}=L_{x}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L_{y}'&=z'p_{x}'-x'p_{z}'\\&=z\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)-\gamma \left(x-vt\right)p_{z}\\&=\gamma \left[zp_{x}-z{\frac {vE}{c^{2}}}-xp_{z}+vtp_{z}\right]\\&=\gamma \left[\left(zp_{x}-xp_{z}\right)+v\left(p_{z}t-z{\frac {E}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{y}-vN_{z}\right)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x}'\\&=\gamma \left(x-vt\right)p_{y}-y\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\&=\gamma \left[xp_{y}-vtp_{y}-yp_{x}+y{\frac {vE}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma \left[\left(xp_{y}-yp_{x}\right)+v\left(y{\frac {E}{c^{2}}}-tp_{y}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{z}+vN_{y}\right)\end{aligned}}}$$

_Во вторых членах L _y ′ и L _z ′ компоненты y и z векторного произведения v × N можно вывести, распознав циклические перестановки v x = v и v _y = v _z = 0 с компонентами N , $${\displaystyle {\begin{aligned}-vN_{z}&=v_{z}N_{x}-v_{x}N_{z}=\left(\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)_{y}\\vN_{y}&=v_{x}N_{y}-v_{y}N_{x}=\left(\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)_{z}\\\end{aligned}}}$$

Теперь L _x параллелен относительной скорости v , а другие компоненты L _y и L _z перпендикулярны v . Параллельно-перпендикулярное соответствие может быть облегчено путем разбиения всего 3-углового псевдовектора импульса на компоненты, параллельные (∥) и перпендикулярные (⊥) v , в каждом кадре, $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {L} _{\parallel }+\mathbf {L} _{\perp }\,,\quad \mathbf {L} '=\mathbf {L} _{\parallel }'+\mathbf {L} _{\perp }'\,.}$$

Тогда уравнения компонентов можно собрать в псевдовекторные уравнения $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} _{\parallel }'&=\mathbf {L} _{\parallel }\\\mathbf {L} _{\perp }'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {L} _{\perp }+\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)\\\end{aligned}}}$$

Поэтому компоненты момента импульса вдоль направления движения не изменяются, а перпендикулярные изменяются. В отличие от преобразований пространства и времени, время и пространственные координаты изменяются вдоль направления движения, а перпендикулярные — нет.

Эти преобразования верны для всех v , а не только для движения вдоль осей xx′ .

Рассматривая L как тензор, мы получаем аналогичный результат , где $${\displaystyle \mathbf {L} _{\perp }'=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {L} _{\perp }+\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{z}N_{x}-v_{x}N_{z}&=\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)_{zx}\\v_{x}N_{y}-v_{y}N_{x}&=\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)_{xy}\\\end{aligned}}}$$

Увеличение динамического момента массы вдоль направления x равно $${\displaystyle {\begin{aligned}N_{x}'&=m'x'-p_{x}'t'=N_{x}\\N_{y}'&=m'y'-p_{y}'t'=\gamma (v)\left(N_{y}+{\frac {vL_{z}}{c^{2}}}\right)\\N_{z}'&=m'z'-p_{z}'t'=\gamma (v)\left(N_{z}-{\frac {vL_{y}}{c^{2}}}\right)\\\end{aligned}}}$$

Вывод

Для x-компоненты y-компонента и z-компонента $${\displaystyle {\begin{aligned}N_{x}'&={\frac {E'}{c^{2}}}x'-t'p_{x}'\\&={\frac {\gamma }{c^{2}}}(E-vp_{x})\gamma (x-vt)-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {1}{c^{2}}}\left(E-vp_{x}\right)(x-vt)-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)\left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {Ex}{c^{2}}}-{\frac {Evt}{c^{2}}}-{\frac {vp_{x}x}{c^{2}}}+{\frac {vp_{x}vt}{c^{2}}}-tp_{x}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{x}+t{\frac {vE}{c^{2}}}-{\frac {xv}{c^{2}}}{\frac {vE}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {Ex}{c^{2}}}{\cancel {-{\frac {Evt}{c^{2}}}}}{\cancel {-{\frac {vp_{x}x}{c^{2}}}}}+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}p_{x}t-tp_{x}{\cancel {+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{x}}}{\cancel {+t{\frac {vE}{c^{2}}}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}{\frac {Ex}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma ^{2}\left[\left({\frac {Ex}{c^{2}}}-tp_{x}\right)+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\left(p_{x}t-{\frac {Ex}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma ^{2}\left[1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right]N_{x}\\&=\gamma ^{2}{\frac {1}{\gamma ^{2}}}N_{x}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}N_{y}'&={\frac {E'}{c^{2}}}y'-t'p_{y}'\\&={\frac {1}{c^{2}}}\gamma (E-vp_{x})y-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{y}\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}(E-vp_{x})y-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{y}\right]\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}Ey-{\frac {1}{c^{2}}}vp_{x}y-tp_{y}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{y}\right]\\&=\gamma \left[\left({\frac {1}{c^{2}}}Ey-tp_{y}\right)+{\frac {v}{c^{2}}}(xp_{y}-yp_{x})\right]\\&=\gamma \left(N_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}L_{z}\right)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}N_{z}'&={\frac {E'}{c^{2}}}z'-t'p_{z}'\\&={\frac {1}{c^{2}}}\gamma (E-vp_{x})z-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{z}\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}(E-vp_{x})z-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{z}\right]\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}Ez-{\frac {1}{c^{2}}}vp_{z}z-tp_{z}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{z}\right]\\&=\gamma \left[\left({\frac {1}{c^{2}}}Ez-tp_{z}\right)+{\frac {v}{c^{2}}}(xp_{z}-zp_{x})\right]\\&=\gamma \left(N_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}L_{y}\right)\end{aligned}}}$$

Собираем параллельные и перпендикулярные компоненты, как и прежде $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {N} _{\parallel }'&=\mathbf {N} _{\parallel }\\\mathbf {N} _{\perp }'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} _{\perp }-{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)\\\end{aligned}}}$$

Опять же, компоненты, параллельные направлению относительного движения, не изменяются, а перпендикулярные — изменяются.

Векторные преобразования для ускорения в любом направлении

Пока это только параллельные и перпендикулярные разложения векторов. Преобразования на полных векторах могут быть построены из них следующим образом (здесь и далее L — псевдовектор для конкретности и совместимости с векторной алгеброй).

Введем единичный вектор в направлении v , заданный как n = v / v . Параллельные компоненты задаются проекцией вектора L или N на n, а перпендикулярный компонент — отклонением вектора L или N от n , и преобразования восстанавливают v = v n , $${\displaystyle \mathbf {L} _{\parallel }=(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {N} _{\parallel }=(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$$ $${\displaystyle \mathbf {L} _{\perp }=\mathbf {L} -(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {N} _{\perp }=\mathbf {N} -(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\gamma (\mathbf {v} )(\mathbf {L} +v\mathbf {n} \times \mathbf {N} )-(\gamma (\mathbf {v} )-1)(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\mathbf {N} '&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} -{\frac {v}{c^{2}}}\mathbf {n} \times \mathbf {L} \right)-(\gamma (\mathbf {v} )-1)(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\gamma (\mathbf {v} )(\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \mathbf {N} )-(\gamma (\mathbf {v} )-1){\frac {(\mathbf {L} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} }{v^{2}}}\\\mathbf {N} '&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)-(\gamma (\mathbf {v} )-1){\frac {(\mathbf {N} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} }{v^{2}}}\\\end{aligned}}}$$

Они очень похожи на преобразования Лоренца электрического поля E и магнитного поля B , см. Классический электромагнетизм и специальную теорию относительности .

В качестве альтернативы, исходя из векторных преобразований Лоренца времени, пространства, энергии и импульса, для ускорения со скоростью v , подставляя их в определения, получаем преобразования. $${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(t-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)\,,\\\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +{\frac {\gamma (\mathbf {v} )-1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} -\gamma (\mathbf {v} )t\mathbf {v} \,,\\\mathbf {p} '&=\mathbf {p} +{\frac {\gamma (\mathbf {v} )-1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} -\gamma (\mathbf {v} ){\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {v} \,,\\E'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(E-\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} \right)\,,\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\mathbf {r} '\times \mathbf {p} '\,,&\mathbf {N} '&={\frac {E'}{c^{2}}}\mathbf {r} '-t'\mathbf {p} '\end{aligned}}}$$

Прямой вывод векторных преобразований

Орбитальный угловой момент в каждой системе отсчета представляет собой векторное произведение преобразований $${\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {r} '\times \mathbf {p} '\,,\quad \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\left[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} \right]\times \left[\mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {n} \right]\\&=[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {n} \\&=\mathbf {r} \times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \times \mathbf {p} -\gamma tv\mathbf {n} \times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {r} \times \mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {r} \times \mathbf {n} \\&=\mathbf {L} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right]\mathbf {v} \times \mathbf {p} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E}{c^{2}}}\right]\mathbf {r} \times \mathbf {v} \\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right)\mathbf {p} -\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E}{c^{2}}}\right)\mathbf {r} \right]\\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\left((\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {p} -(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {r} \right)+\gamma \left({\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {r} -t\mathbf {p} \right)\right]\end{aligned}}}$$

Используя правило тройного произведения, получаем и вместе с определением N имеем $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} &=(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} -(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} \\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {r} \times \mathbf {p} )\times \mathbf {v} &=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {p} -(\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} )\mathbf {r} \\(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {p} -(\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} )\mathbf {r} &=\mathbf {L} \times \mathbf {v} \\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\mathbf {L} \times \mathbf {v} +\gamma \mathbf {N} \right]}$$

Восстанавливая единичный вектор n , $${\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {n} \times \left[(\gamma -1)\mathbf {L} \times \mathbf {n} +v\gamma \mathbf {N} \right]}$$

Так как в преобразовании слева есть векторное произведение с n , то $${\displaystyle \mathbf {n} \times (\mathbf {L} \times \mathbf {n} )=\mathbf {L} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} )-\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )=\mathbf {L} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )}$$ $${\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {L} +(\gamma -1)(\mathbf {L} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} ))+\beta \gamma c\mathbf {n} \times \mathbf {N} =\gamma (\mathbf {L} +v\mathbf {n} \times \mathbf {N} )-(\gamma -1)\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )}$$

4d угловой момент как бивектор

В релятивистской механике импульс ЦМ и орбитальный трехмерный угловой момент вращающегося объекта объединяются в четырехмерный бивектор в терминах четырехпозиционного X и четырехпозиционного импульса P объекта ^{[4] [5]} $${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} }$$

В компонентах, которые являются шестью независимыми величинами в общей сложности. Поскольку компоненты X и P зависят от системы отсчета, то же самое происходит и с M . Три компонента являются компонентами привычного классического 3-мерного орбитального углового момента, а остальные три являются релятивистским массовым моментом, умноженным на − c . Тензор антисимметричен; $${\displaystyle M^{\alpha \beta }=X^{\alpha }P^{\beta }-X^{\beta }P^{\alpha }}$$ $${\displaystyle M^{ij}=x^{i}p^{j}-x^{j}p^{i}=L^{ij}}$$ $${\displaystyle M^{0i}=x^{0}p^{i}-x^{i}p^{0}=c\,\left(tp^{i}-x^{i}{\frac {E}{c^{2}}}\right)=-cN^{i}}$$ $${\displaystyle M^{\alpha \beta }=-M^{\beta \alpha }}$$

Компоненты тензора могут быть систематически отображены в виде матрицы , в которой последний массив представляет собой блочную матрицу, сформированную путем обработки N как вектора-строки , который матрица транспонирует в вектор-столбец N ^T , а x ∧ p — как антисимметричную матрицу 3 × 3. Строки просто вставлены, чтобы показать, где находятся блоки. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} &={\begin{pmatrix}M^{00}&M^{01}&M^{02}&M^{03}\\M^{10}&M^{11}&M^{12}&M^{13}\\M^{20}&M^{21}&M^{22}&M^{23}\\M^{30}&M^{31}&M^{32}&M^{33}\end{pmatrix}}\\[3pt]&=\left({\begin{array}{c|ccc}0&-N^{1}c&-N^{2}c&-N^{3}c\\\hline N^{1}c&0&L^{12}&-L^{31}\\N^{2}c&-L^{12}&0&L^{23}\\N^{3}c&L^{31}&-L^{23}&0\end{array}}\right)\\[3pt]&=\left({\begin{array}{c|c}0&-\mathbf {N} c\\\hline \mathbf {N} ^{\mathrm {T} }c&\mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \\\end{array}}\right)\end{aligned}}}$$

Опять же, этот тензор является аддитивным: полный момент импульса системы представляет собой сумму тензоров момента импульса для каждого компонента системы: $${\displaystyle \mathbf {M} _{\text{tot}}=\sum _{n}\mathbf {M} _{n}=\sum _{n}\mathbf {X} _{n}\wedge \mathbf {P} _{n}\,.}$$

Каждый из шести компонентов образует сохраняющуюся величину при агрегации с соответствующими компонентами других объектов и полей.

Тензор момента импульса M действительно является тензором, компоненты которого изменяются в соответствии с матрицей преобразования Лоренца Λ, как иллюстрируется обычным способом с помощью обозначения индекса тензора , где для ускорения (без вращений) с нормированной скоростью β = v / c элементы матрицы преобразования Лоренца равны, а ковариантные β _i и контравариантные β ⁱ компоненты β одинаковы, поскольку это всего лишь параметры. $${\displaystyle {\begin{aligned}{M'}^{\alpha \beta }&={X'}^{\alpha }{P'}^{\beta }-{X'}^{\beta }{P'}^{\alpha }\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }X^{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }P^{\delta }-{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }X^{\delta }{\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }P^{\gamma }\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }\left(X^{\gamma }P^{\delta }-X^{\delta }P^{\gamma }\right)\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }M^{\gamma \delta }\\\end{aligned}},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\Lambda ^{0}}_{0}&=\gamma \\{\Lambda ^{i}}_{0}&={\Lambda ^{0}}_{i}=-\gamma \beta ^{i}\\{\Lambda ^{i}}_{j}&={\delta ^{i}}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{i}\beta _{j}\end{aligned}}}$$

Другими словами, можно выполнить преобразование Лоренца для четырех положений и четырех импульсов по отдельности, а затем антисимметризировать эти вновь найденные компоненты, чтобы получить тензор момента импульса в новой системе отсчета.

Векторные преобразования, полученные из тензорных преобразований

Трансформация компонентов наддува

$${\displaystyle {\begin{aligned}M'^{k0}&={\Lambda ^{k}}_{\mu }{\Lambda ^{0}}_{\nu }M^{\mu \nu }\\&={\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{0}M^{00}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{0j}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{ij}\\&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}\right)M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{ij}\\\end{aligned}}}$$что касается орбитального углового момента $${\displaystyle {\begin{aligned}{M'}^{k\ell }&={\Lambda ^{k}}_{\mu }{\Lambda ^{\ell }}_{\nu }M^{\mu \nu }\\&={\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{0}M^{00}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{j}M^{0j}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}M^{ij}\\&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}\right)M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}M^{ij}\end{aligned}}}$$

Выражения в записях преобразования Лоренца задаются либо в векторной форме, деля на c или восстанавливая β = v / c , либо преобразуя в псевдовекторную форму в векторной записи или восстанавливая β = v / c , $${\displaystyle {\begin{aligned}{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\left(-\gamma \beta ^{\ell }\right)-\left(-\gamma \beta ^{k}\right)\left[{\delta ^{\ell }}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[\beta ^{k}{\delta ^{\ell }}_{i}-\beta ^{\ell }{\delta ^{k}}_{i}\right]\\{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\gamma -(-\gamma \beta ^{k})(-\gamma \beta ^{i})\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}-\gamma \beta ^{k}\beta ^{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}-\gamma \right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma -\gamma \beta ^{2}-1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma ^{-1}-1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma {\delta ^{k}}_{i}-\left[{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right]\beta ^{k}\beta _{i}\\{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\left[{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\right]\\&={\delta ^{k}}_{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\delta ^{k}}_{i}\beta ^{\ell }\beta _{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\beta ^{k}\beta _{i}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}cN'^{k}&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}\right)cN^{i}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\left[\gamma {\delta ^{k}}_{i}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]cN^{i}+-\gamma \beta ^{j}\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\gamma cN^{k}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\left(\beta _{i}cN^{i}\right)-\gamma \beta ^{j}{\delta ^{k}}_{i}\varepsilon ^{ijn}L_{n}-\gamma {\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{j}\beta ^{k}\beta _{i}\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\gamma cN^{k}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\left(\beta _{i}cN^{i}\right)-\gamma \beta ^{j}\varepsilon ^{kjn}L_{n}\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {N} '=\gamma \mathbf {N} -\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right){\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {N} \right)-{\frac {1}{c}}\gamma {\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {L} }$$ $${\displaystyle \mathbf {N} '=\gamma \mathbf {N} -\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\right)\mathbf {v} \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {N} \right)-\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {L} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L'^{k\ell }&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}\right)cN^{i}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}L^{ij}\\&=\gamma c\left(\beta ^{k}{\delta ^{\ell }}_{i}-\beta ^{\ell }{\delta ^{k}}_{i}\right)N^{i}+\left[{\delta ^{k}}_{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\delta ^{k}}_{i}\beta ^{\ell }\beta _{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\beta ^{k}\beta _{i}\right]L^{ij}\\&=\gamma c\left(\beta ^{k}N^{\ell }-\beta ^{\ell }N^{k}\right)+L^{k\ell }+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}L^{kj}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}L^{i\ell }\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{k\ell n}L'_{n}&=\gamma c\left(\beta ^{k}N^{\ell }-\beta ^{\ell }N^{k}\right)+\varepsilon ^{k\ell n}L_{n}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\left(\beta ^{\ell }\beta _{j}\varepsilon ^{kjn}L_{n}-\beta ^{k}\beta _{i}\varepsilon ^{\ell in}L_{n}\right)\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {L} '=\gamma c{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {N} +\mathbf {L} +{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\boldsymbol {\beta }}\times ({\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {L} )}$$ $${\displaystyle \mathbf {L} '=\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {N} +\mathbf {L} +{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\mathbf {v} \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)}$$

Вращение жесткого тела

Для частицы, движущейся по кривой, векторное произведение ее угловой скорости ω (псевдовектор) и положения x дает ее тангенциальную скорость $${\displaystyle \mathbf {u} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {x} }$$

которая не может превышать величину c , поскольку в СТО поступательная скорость любого массивного объекта не может превышать скорость света c . Математически это ограничение равно 0 ≤ | u | < c , вертикальные полосы обозначают величину вектора. Если угол между ω и x равен θ (предполагается, что он не равен нулю, в противном случае u был бы равен нулю, что соответствует отсутствию движения вообще), то | u | = | ω | | x | sin θ и угловая скорость ограничена $${\displaystyle 0\leq |{\boldsymbol {\omega }}|<{\frac {c}{|\mathbf {x} |\sin \theta }}}$$

Максимальная угловая скорость любого массивного объекта, таким образом, зависит от размера объекта. Для заданного | x | минимальный верхний предел достигается, когда ω и x перпендикулярны, так что θ = π /2 и sin θ = 1 .

Для вращающегося твердого тела, вращающегося с угловой скоростью ω , u — тангенциальная скорость в точке x внутри объекта. Для каждой точки объекта существует максимальная угловая скорость.

Угловая скорость (псевдовектор) связана с моментом импульса (псевдовектором) через тензор момента инерции I (точка · обозначает сокращение тензора по одному индексу). Релятивистский момент импульса также ограничен размером объекта. $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\quad \rightleftharpoons \quad L_{i}=I_{ij}\omega _{j}}$$

Спин в специальной теории относительности

Четырехспиновый

Частица может иметь «встроенный» угловой момент, независимый от ее движения, называемый спином и обозначаемый s . Это 3d псевдовектор, подобный орбитальному угловому моменту L.

Спин имеет соответствующий спиновый магнитный момент , поэтому, если частица подвергается взаимодействиям (таким как электромагнитные поля или спин-орбитальная связь ), направление вектора спина частицы изменится, но его величина останется постоянной.

Расширение до специальной теории относительности является простым. ^[6] Для некоторой лабораторной системы отсчета F пусть F′ будет системой покоя частицы и предположим, что частица движется с постоянной 3-скоростью u . Тогда F′ усиливается с той же скоростью, и преобразования Лоренца применяются как обычно; удобнее использовать β = u / c . Как четырехвектор в специальной теории относительности, четырехспин S обычно принимает обычную форму четырехвектора с временным компонентом s _t и пространственными компонентами s , в лабораторной системе отсчета , хотя в системе покоя частицы он определяется так, что временной компонент равен нулю, а пространственные компоненты являются компонентами фактического вектора спина частицы, в обозначениях здесь s ′, поэтому в системе частицы $${\displaystyle \mathbf {S} \equiv \left(S^{0},S^{1},S^{2},S^{3}\right)=(s_{t},s_{x},s_{y},s_{z})}$$ $${\displaystyle \mathbf {S} '\equiv \left({S'}^{0},{S'}^{1},{S'}^{2},{S'}^{3}\right)=\left(0,s_{x}',s_{y}',s_{z}'\right)}$$

Приравнивание норм приводит к инвариантному соотношению : если величина спина дана в системе покоя частицы и лабораторной системе отсчета наблюдателя, то величина времениподобной компоненты s _t также дана в лабораторной системе отсчета. $${\displaystyle s_{t}^{2}-\mathbf {s} \cdot \mathbf {s} =-\mathbf {s} '\cdot \mathbf {s} '}$$

Векторные преобразования, полученные из тензорных преобразований

Усиленные компоненты четырех спинов относительно лабораторной системы отсчета: $${\displaystyle {\begin{aligned}{S'}^{0}&={\Lambda ^{0}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{0}}_{0}S^{0}+{\Lambda ^{0}}_{i}S^{i}=\gamma \left(S^{0}-\beta _{i}S^{i}\right)\\&=\gamma \left({\frac {c}{c}}S^{0}-{\frac {u_{i}}{c}}S^{i}\right)={\frac {1}{c}}U_{0}S^{0}-{\frac {1}{c}}U_{i}S^{i}\\[3pt]{S'}^{i}&={\Lambda ^{i}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{i}}_{0}S^{0}+{\Lambda ^{i}}_{j}S^{j}\\&=-\gamma \beta ^{i}S^{0}+\left[\delta _{ij}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta _{i}\beta _{j}\right]S^{j}\\&=S^{i}+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\beta _{i}\beta _{j}S^{j}-\gamma \beta ^{i}S^{0}\end{aligned}}}$$

Здесь γ = γ ( u ) . S ′ находится в системе покоя частицы, поэтому ее временная компонента равна нулю, S ′ ⁰ = 0 , а не S ⁰ . Кроме того, первое эквивалентно внутреннему произведению 4-скорости (деленной на c ) и 4-спина. Объединение этих фактов приводит к , которое является инвариантом. Затем это в сочетании с преобразованием временной компоненты приводит к воспринимаемой компоненте в лабораторной системе; $${\displaystyle {S'}^{0}={\frac {1}{c}}U_{\alpha }S^{\alpha }=0}$$ $${\displaystyle S^{0}=\beta _{i}S^{i}}$$

Обратные отношения: $${\displaystyle {\begin{aligned}S^{0}&=\gamma \left({S'}^{0}+\beta _{i}{S'}^{i}\right)\\S^{i}&={S'}^{i}+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\beta _{i}\beta _{j}{S'}^{j}+\gamma \beta ^{i}{S'}^{0}\end{aligned}}}$$

Ковариантное ограничение на спин — ортогональность вектору скорости, $${\displaystyle U_{\alpha }S^{\alpha }=0}$$

В 3-векторной записи для наглядности преобразования имеют вид $${\displaystyle {\begin{aligned}s_{t}&={\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} \\\mathbf {s} '&=\mathbf {s} +{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} \right)-\gamma {\boldsymbol {\beta }}s_{t}\end{aligned}}}$$

Обратные отношения являются компонентами спина лабораторной системы отсчета, вычисленными из компонентов спина в системе покоя частицы. Хотя спин частицы постоянен для данной частицы, он, по-видимому, отличается в лабораторной системе отсчета. $${\displaystyle {\begin{aligned}s_{t}&=\gamma {\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} '\\\mathbf {s} &=\mathbf {s} '+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} '\right)\end{aligned}}}$$

Псевдовектор Паули–Любанского

Псевдовектор Паули–Любанского применим как к массивным, так и к безмассовым частицам . $${\displaystyle S_{\mu }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }J^{\nu \rho }P^{\sigma },}$$

Спин-орбитальное разложение

В общем случае полный тензор углового момента расщепляется на орбитальную составляющую и спиновую составляющую . Это применимо к частице, распределению массы, энергии и импульса или полю. $${\displaystyle J^{\mu \nu }=M^{\mu \nu }+S^{\mu \nu }~.}$$

Угловой момент распределения массы–энергии–импульса

Угловой момент из тензора массы-энергии-импульса

Ниже приведено резюме из MTW . ^[7] Для простоты на протяжении всего текста предполагаются декартовы координаты. В специальной и общей теории относительности распределение массы-энергии-импульса, например, жидкости или звезды, описывается тензором энергии-напряжения T ^βγ ( тензорное поле второго порядка, зависящее от пространства и времени). Поскольку T ⁰⁰ — это плотность энергии, T ^{j 0} для j = 1, 2, 3 — это j -й компонент 3d-импульса объекта на единицу объема, а T ^ij — компоненты тензора напряжений, включая сдвиговые и нормальные напряжения, то орбитальная плотность углового момента вокруг позиционного 4-вектора X ^β задается тензором 3-го порядка $${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\alpha \beta \gamma }=\left(X^{\alpha }-{\bar {X}}^{\alpha }\right)T^{\beta \gamma }-\left(X^{\beta }-{\bar {X}}^{\beta }\right)T^{\alpha \gamma }}$$

Это антисимметрично по α и β . В специальной и общей теории относительности T является симметричным тензором, но в других контекстах (например, квантовой теории поля) он может быть несимметричным.

Пусть Ω будет областью 4d пространства-времени. Граница представляет собой 3d гиперповерхность пространства-времени («объем поверхности пространства-времени» в отличие от «площади пространственной поверхности»), обозначаемую ∂Ω, где «∂» означает «граница». Интегрирование плотности углового момента по 3d гиперповерхности пространства-времени дает тензор углового момента относительно X , где dΣ _γ — объемная 1-форма, играющая роль единичного вектора, нормального к 2d поверхности в обычном 3d евклидовом пространстве. Интеграл берется по координатам X , а не X. Интеграл внутри пространственноподобной поверхности постоянного времени равен , которые в совокупности образуют тензор углового момента. $${\displaystyle M^{\alpha \beta }\left({\bar {X}}\right)=\oint _{\partial \Omega }{\mathcal {M}}^{\alpha \beta \gamma }d\Sigma _{\gamma }}$$ $${\displaystyle M^{ij}=\oint _{\partial \Omega }{\mathcal {M}}^{ij0}d\Sigma _{0}=\oint _{\partial \Omega }\left[\left(X^{i}-Y^{i}\right)T^{j0}-\left(X^{j}-Y^{j}\right)T^{i0}\right]dx\,dy\,dz}$$

Момент импульса относительно центра масс

В системе центра масс существует собственный угловой момент, другими словами, угловой момент относительно любого события на мировой линии центра масс объекта. Поскольку T ⁰⁰ — это плотность энергии объекта, пространственные координаты центра масс задаются как $${\displaystyle \mathbf {X} _{\text{COM}}=\left(X_{\text{COM}}^{0},X_{\text{COM}}^{1},X_{\text{COM}}^{2},X_{\text{COM}}^{3}\right)}$$ $${\displaystyle X_{\text{COM}}^{i}={\frac {1}{m_{0}}}\int _{\partial \Omega }X^{i}T^{00}dxdydz}$$

Установка Y = X _COM позволяет получить плотность орбитального углового момента относительно центра масс объекта.

Сохранение момента импульса

Сохранение энергии-импульса задается в дифференциальной форме уравнением непрерывности , где ∂ _γ — четырехградиент . (В недекартовых координатах и ​​общей теории относительности это было бы заменено ковариантной производной ). Сохранение полного углового момента задается другим уравнением непрерывности $${\displaystyle \partial _{\gamma }T^{\beta \gamma }=0}$$ $${\displaystyle \partial _{\gamma }{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }=0}$$

Интегральные уравнения используют теорему Гаусса в пространстве-времени. $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathcal {V}}\partial _{\gamma }T^{\beta \gamma }\,cdt\,dx\,dy\,dz&=\oint _{\partial {\mathcal {V}}}T^{\beta \gamma }d^{3}\Sigma _{\gamma }=0\\\int _{\mathcal {V}}\partial _{\gamma }{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }\,cdt\,dx\,dy\,dz&=\oint _{\partial {\mathcal {V}}}{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }d^{3}\Sigma _{\gamma }=0\end{aligned}}}$$

Крутящий момент в специальной теории относительности

Крутящий момент, действующий на точечную частицу, определяется как производная тензора момента импульса, приведенного выше, по собственному времени: ^{[8] [9]} или в компонентах тензора: где F — 4d сила, действующая на частицу в момент события X. Как и в случае с моментом импульса, крутящий момент является аддитивным, поэтому для протяженного объекта он суммируется или интегрируется по распределению массы. $${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}={\frac {d\mathbf {M} }{d\tau }}=\mathbf {X} \wedge \mathbf {F} }$$ $${\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }=X_{\alpha }F_{\beta }-X_{\beta }F_{\alpha }}$$

Угловой момент как генератор ускорений и вращений пространства-времени

Тензор углового момента является генератором усилений и вращений для группы Лоренца . ^{[10] [11]} Усиления Лоренца могут быть параметризованы быстротой и трехмерным единичным вектором n, указывающим в направлении усиления, которые объединяются в «вектор быстроты», где β = v / c — скорость относительного движения, деленная на скорость света. Пространственные вращения могут быть параметризованы представлением ось–угол , углом θ и единичным вектором a, указывающим в направлении оси, которые объединяются в «вектор ось–угол» $${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}=\zeta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh ^{-1}\beta }$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {a} }$$

Каждый единичный вектор имеет только два независимых компонента, третий определяется из единичной величины. Всего существует шесть параметров группы Лоренца: три для вращений и три для усилений. (Однородная) группа Лоренца является 6-мерной.

Генераторы усиления K и генераторы вращения J можно объединить в один генератор для преобразований Лоренца; M - антисимметричный тензор углового момента с компонентами и соответственно, параметры усиления и вращения собираются в другую антисимметричную четырехмерную матрицу ω с записями: где соглашение о суммировании по повторяющимся индексам i, j, k было использовано для предотвращения неуклюжих знаков суммирования. Общее преобразование Лоренца затем задается матричной экспонентой , а соглашение о суммировании применяется к повторяющимся индексам матрицы α и β . $${\displaystyle M^{0i}=-M^{i0}=K_{i}\,,\quad M^{ij}=\varepsilon _{ijk}J_{k}\,.}$$ $${\displaystyle \omega _{0i}=-\omega _{i0}=\zeta _{i}\,,\quad \omega _{ij}=\varepsilon _{ijk}\theta _{k}\,,}$$ $${\displaystyle \Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})=\exp \left({\frac {1}{2}}\omega _{\alpha \beta }M^{\alpha \beta }\right)=\exp \left({\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} \right)}$$

Общее преобразование Лоренца Λ — это закон преобразования для любого четырехвектора A = ( A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ ), дающий компоненты этого же 4-вектора в другой инерциальной системе отсчета $${\displaystyle \mathbf {A} '=\Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})\mathbf {A} }$$

Тензор момента импульса образует 6 из 10 генераторов группы Пуанкаре , остальные четыре являются компонентами 4-импульса для пространственно-временных трансляций.

Угловой момент в общей теории относительности

Угловой момент пробных частиц на слегка искривленном фоне в ОТО более сложен, но может быть обобщен простым способом. Если лагранжиан выражен относительно угловых переменных как обобщенные координаты , то угловые моменты являются функциональными производными лагранжиана относительно угловых скоростей . Относящиеся к декартовым координатам, они обычно задаются недиагональными сдвиговыми членами пространственноподобной части тензора энергии-импульса . Если пространство-время поддерживает векторное поле Киллинга, касательное к окружности, то угловой момент относительно оси сохраняется.

Также желательно изучить влияние компактной вращающейся массы на окружающее ее пространство-время. Прототипом решения является метрика Керра , которая описывает пространство-время вокруг аксиально-симметричной черной дыры . Очевидно, что невозможно нарисовать точку на горизонте событий черной дыры Керра и наблюдать, как она вращается вокруг. Однако решение поддерживает константу системы, которая действует математически аналогично угловому моменту.

Смотрите также

• Прецессия Томаса  – Релятивистская поправка
• Угловой момент света  – Физическая величина, переносимая фотонами.
• Задача двух тел в общей теории относительности
• Релятивистская механика  – Теория движения и сил для объектов, движущихся со скоростью, близкой к скорости света.
• Уравнения Матиссона–Папапетру–Диксона  – Уравнение общей теории относительности

Ссылки

1. DSA Freed; KKA Uhlenbeck (1995). Геометрия и квантовая теория поля (2-е изд.). Institute For Advanced Study (Princeton, NJ): American Mathematical Society . ISBN 0-8218-8683-5.
2. R. Penrose (2005). Дорога к реальности . старинные книги. стр. 433. ISBN 978-0-09-944068-0.Пенроуз включает множитель 2 в произведение клина, другие авторы также могут это делать.
3. М. Файнгольд (2008). Специальная теория относительности и как она работает. John Wiley & Sons . стр. 138. ISBN 978-3-527-40607-4.
4. Р. Пенроуз (2005). Дорога к реальности . старинные книги. стр. 437–438, 566–569. ISBN 978-0-09-944068-0. Примечание: Некоторые авторы, включая Пенроуза, используют в этом определении латинские буквы, хотя для векторов и тензоров в пространстве-времени принято использовать греческие индексы.
5. М. Файнгольд (2008). Специальная теория относительности и как она работает. John Wiley & Sons. С. 137–139. ISBN 978-3-527-40607-4.
6. Джексон, Дж. Д. (1975) [1962]. "Глава 11" . Классическая электродинамика (2-е изд.). John Wiley & Sons . стр. 556–557. ISBN 0-471-43132-X.Обозначение Джексона: S (спин в F, лабораторной системе отсчета), s (спин в F′, системе покоя частицы), S ⁰ (временеподобная компонента в лабораторной системе отсчета), S′ ⁰ = 0 (временеподобная компонента в системе покоя частицы), символ для 4-спина как 4-вектора отсутствует
7. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. стр. 156–159, §5.11. ISBN 0-7167-0344-0.
8. S. Aranoff (1969). «Крутящий момент и угловой момент в системе, находящейся в равновесии в специальной теории относительности». American Journal of Physics . 37 (4): 453–454. Bibcode : 1969AmJPh..37..453A. doi : 10.1119/1.1975612.Автор использует T для обозначения крутящего момента, здесь мы используем заглавную букву Гамма Γ, поскольку T чаще всего зарезервировано для тензора энергии-напряжения .
9. S. Aranoff (1972). "Equilibrium in special relativity" (PDF) . Nuovo Cimento . 10 (1): 159. Bibcode :1972NCimB..10..155A. doi :10.1007/BF02911417. S2CID  117291369. Архивировано из оригинала (PDF) 2012-03-28 . Получено 2013-10-27 .
10. Э. Аберс (2004). Квантовая механика . Эддисон Уэсли. стр. 11, 104, 105, 410–411. ISBN 978-0-13-146100-0.
11. HL Berk; K. Chaicherdsakul; T. Udagawa (2001). "Правильный однородный оператор преобразования Лоренца eL = e− ω·S − ξ·K, куда он идет, в чем завихрение" (PDF) . American Journal of Physics . 69 (996). doi :10.1119/1.1371919.

• C. Chryssomalakos; H. Hernandez-Coronado; E. Okon (2009). "Центр масс в специальной и общей теории относительности и его роль в эффективном описании пространства-времени". J. Phys. Conf. Ser . 174 (1). Мексика: 012026. arXiv : 0901.3349 . Bibcode :2009JPhCS.174a2026C. doi :10.1088/1742-6596/174/1/012026. S2CID  17734387.
• UE Schroder (1990). Специальная теория относительности. Заметки лекций в серии «Физика». Том 33. World Scientific . стр. 139. ISBN 981-02-0132-X.

Дальнейшее чтение

Специальная теория относительности

• Р. Торретти (1996). Относительность и геометрия. Серия Dover Books on Physics. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-69046-6.

Общая теория относительности

• L. Blanchet; A. Spallicci; B. Whiting (2011). Масса и движение в общей теории относительности. Фундаментальные теории физики. Т. 162. Springer. С. 87. ISBN 978-90-481-3015-3.
• М. Людвигсен (1999). Общая теория относительности: геометрический подход. Cambridge University Press . стр. 77. ISBN 0-521-63976-X.
• N. Ashby, DF Bartlett, W. Wyss (1990). Общая теория относительности и гравитация 1989: Труды 12-й Международной конференции по общей теории относительности и гравитации. Cambridge University Press. ISBN 0-521-38428-1.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• BL Hu; MP Ryan; MP Ryan; CV Vishveshwara (2005). Направления в общей теории относительности: Том 1: Труды 1993 года. Направления в общей теории относительности: Труды Международного симпозиума 1993 года, Мэриленд: Доклады в честь Чарльза Мизнера. Том 1. Cambridge University Press. стр. 347. ISBN 0-521-02139-1.
• А. Папапетру (1974). Лекции по общей теории относительности. Springer. ISBN 90-277-0514-3.

Внешние ссылки

• Н. Меникуччи (2001). «Релятивистский угловой момент» (PDF) .
• "Специальная теория относительности" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2013-11-04 . Получено 2013-10-30 .