Релятивистская механика

Теория движения и сил для объектов, близких к скорости света.

В физике релятивистская механика относится к механике , совместимой со специальной теорией относительности (СТО) и общей теорией относительности (ОТО). Он обеспечивает неквантово -механическое описание системы частиц или жидкости в тех случаях, когда скорости движущихся объектов сравнимы со скоростью света c . В результате классическая механика правильно распространяется на частицы, движущиеся с высокими скоростями и энергиями, и обеспечивает последовательное включение электромагнетизма в механику частиц. Это было невозможно в теории относительности Галилея, где частицам и свету разрешалось перемещаться с любой скоростью, в том числе со скоростью, превышающей скорость света. Основой релятивистской механики являются постулаты специальной теории относительности и общей теории относительности. Объединение СТО с квантовой механикой — это релятивистская квантовая механика , а попытки объединения ОТО — это квантовая гравитация , нерешенная проблема физики .

Как и в случае с классической механикой, этот предмет можно разделить на « кинематику »; описание движения с указанием положений , скоростей и ускорений , а также « динамики »; полное описание с учетом энергий , импульсов и угловых моментов , а также законов их сохранения и сил , действующих на частицы или оказываемых частицами. Однако есть тонкость; то, что кажется «движущимся», а что «покоящимся» — что в классической механике называется « статикой », — зависит от относительного движения наблюдателей , которые проводят измерения в системах отсчета .

Хотя некоторые определения и концепции классической механики переносятся в СТО, например, сила как производная импульса по времени ( второй закон Ньютона ), работа , совершаемая частицей, как линейный интеграл силы, действующей на частицу по пути, и мощность как производная проделанной работы по времени, в остальные определения и формулы внесен ряд существенных изменений. СТО утверждает, что движение относительно и законы физики одинаковы для всех экспериментаторов, независимо от их инерциальной системы отсчета . Помимо модификации представлений о пространстве и времени , СТО заставляет пересмотреть понятия массы , импульса и энергии , которые являются важными конструкциями в ньютоновской механике . СТО показывает, что все эти концепции представляют собой различные аспекты одной и той же физической величины, почти так же, как она показывает взаимосвязь пространства и времени. Следовательно, еще одной модификацией является концепция центра масс системы, которую легко определить в классической механике, но гораздо менее очевидно в теории относительности - подробности см. В релятивистском центре масс.

Уравнения усложняются в более знакомом формализме трехмерного векторного исчисления из-за нелинейности фактора Лоренца , который точно учитывает релятивистскую зависимость скорости и предел скорости всех частиц и полей. Однако они имеют более простую и элегантную форму в четырехмерном пространстве-времени , которое включает плоское пространство Минковского (SR) и искривленное пространство-время (GR), поскольку трехмерные векторы, производные от пространства, и скаляры, производные от времени, можно собрать в четыре вектора . или четырехмерные тензоры . Однако шестикомпонентный тензор углового момента иногда называют бивектором, потому что с трехмерной точки зрения он представляет собой два вектора (один из них, обычный угловой момент, является аксиальным вектором ).

Релятивистская кинематика

Релятивистская четырехскорость, то есть четырехвектор, представляющий скорость в теории относительности, определяется следующим образом:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {U} }}={\frac {d{\boldsymbol {\mathbf {X} }}}{d\tau }}=\left({\frac {cdt}{d\tau }},{\frac {d\mathbf {x} }{d\tau }}\right)}$

В приведенном выше примере указано собственное время пути в пространстве-времени , называемое мировой линией, за которым следует скорость объекта, которую представляет выше, и ${\displaystyle {\tau }}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {X} }}=(ct,\mathbf {x} )}$

четырехпозиционный ; _ координаты события . Из-за замедления времени собственное время — это время между двумя событиями в системе отсчета, где они происходят в одном и том же месте. Собственное время связано с координатным временем t соотношением:

${\displaystyle {\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{\gamma (\mathbf {v} )}}}$

где коэффициент Лоренца : ${\displaystyle {\gamma }(\mathbf {v} )}$

${\displaystyle \gamma (\mathbf {v} )={\frac {1}{\sqrt {1-\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} /c^{2}}}}\,\rightleftharpoons \,\gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}.}$

(любая версия может быть процитирована), поэтому следует:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {U} }}=\gamma (\mathbf {v} )(c,\mathbf {v} )}$

Первые три члена, за исключением коэффициента , представляют собой скорость, видимую наблюдателем в его собственной системе отсчета. Определяется скоростью между системой отсчета наблюдателя и системой координат объекта, которая является системой отсчета, в которой измеряется его собственное время. Эта величина инвариантна относительно преобразования Лоренца, поэтому, чтобы проверить, что видит наблюдатель в другой системе отсчета, нужно просто умножить четырехвектор скорости на матрицу преобразования Лоренца между двумя системами отсчета. ${\displaystyle {\gamma (\mathbf {v} )}}$ ${\displaystyle {\gamma (\mathbf {v} )}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Релятивистская динамика

Масса покоя и релятивистская масса

Масса объекта, измеренная в его собственной системе отсчета, называется массой покоя или инвариантной массой и иногда пишется как . Если объект движется со скоростью в какой-либо другой системе отсчета, эту величину часто называют «релятивистской массой» объекта в этой системе отсчета. ^[1] Некоторые авторы используют его для обозначения массы покоя, но для ясности в этой статье мы будем следовать соглашению об использовании релятивистской массы и массы покоя. ^[2] ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle m=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m_{0}}$

Лев Окунь предположил, что концепция релятивистской массы «сегодня не имеет рационального обоснования» и ее больше не следует преподавать. ^[3] Другие физики, в том числе Вольфганг Риндлер и Т.Р. Сандин, утверждают, что эта концепция полезна. ^[4] См. мессу в специальной теории относительности для получения дополнительной информации об этой дискуссии.

Частица, масса покоя которой равна нулю, называется безмассовой . Считается, что фотоны и гравитоны не имеют массы, а нейтрино — почти таковой.

Релятивистская энергия и импульс

Есть несколько (эквивалентных) способов определения импульса и энергии в СТО. Один метод использует законы сохранения . Чтобы эти законы оставались действительными в СТО, они должны быть верными во всех возможных системах отсчета. Однако если провести несколько простых мысленных экспериментов , используя ньютоновские определения импульса и энергии, можно увидеть, что эти величины не сохраняются в СТО. Можно спасти идею сохранения, внеся некоторые небольшие изменения в определения, чтобы учесть релятивистские скорости . Именно эти новые определения считаются правильными для импульса и энергии в СТО.

Четырехимпульс объекта прост, по форме идентичен классическому импульсу, но заменяет 3-вектора 4-векторами :

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {P} }}=m_{0}{\boldsymbol {\mathbf {U} }}=(E/c,\mathbf {p} )}$

Энергия и импульс объекта с инвариантной массой , движущегося со скоростью относительно данной системы отсчета, соответственно определяются выражением ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}E&=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}c^{2}\\\mathbf {p} &=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\mathbf {v} \end{aligned}}}$

Этот фактор исходит из определения четырехскорости, описанного выше. Внешний вид может быть сформулирован альтернативным способом, который будет объяснен в следующем разделе. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Кинетическая энергия определяется как ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K=(\gamma -1)m_{0}c^{2}=E-m_{0}c^{2}\,,}$

а скорость как функция кинетической энергии определяется выражением

${\displaystyle v=c{\sqrt {1-\left({\frac {m_{0}c^{2}}{K+m_{0}c^{2}}}\right)^{2}}}={\frac {c{\sqrt {K(K+2m_{0}c^{2})}}}{K+m_{0}c^{2}}}={\frac {c{\sqrt {(E-m_{0}c^{2})(E+m_{0}c^{2})}}}{E}}={\frac {pc^{2}}{E}}\,.}$

Пространственный импульс можно записать как , сохраняя форму ньютоновской механики с заменой ньютоновской массы релятивистской массой. Однако эта замена не работает для некоторых величин, включая силу и кинетическую энергию. Более того, релятивистская масса не инвариантна относительно преобразований Лоренца, в отличие от массы покоя. По этой причине многие люди предпочитают использовать массу покоя и явно учитывать 4-скоростное или координатное время. ${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \gamma }$

Простое соотношение между энергией, импульсом и скоростью можно получить из определений энергии и импульса, умножив энергию на , умножив импульс на и отметив, что эти два выражения равны. Это дает ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle c^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {p} c^{2}=E\mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {v} }$затем можно исключить, разделив это уравнение на и возведя в квадрат: ${\displaystyle c}$

${\displaystyle (pc)^{2}=E^{2}(v/c)^{2}}$

разделив определение энергии на и возведя в квадрат, ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle E^{2}\left(1-(v/c)^{2}\right)=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}}$

и заменив:

${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}}$

Это релятивистское соотношение энергии и импульса .

Хотя энергия и импульс зависят от системы отсчета, в которой они измеряются, величина инвариантна. Его значение в раз превышает квадрат величины вектора 4-импульса . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}}$ ${\displaystyle -c^{2}}$

Инвариантную массу системы можно записать как

${\displaystyle {m_{0}}_{\text{tot}}={\frac {\sqrt {E_{\text{tot}}^{2}-(p_{\text{tot}}c)^{2}}}{c^{2}}}}$

Благодаря кинетической энергии и энергии связи эта величина отличается от суммы масс покоя частиц, из которых состоит система. Масса покоя не является сохраняющейся величиной в специальной теории относительности, в отличие от ситуации в ньютоновской физике. Однако даже если объект изменяется внутренне, пока он не обменивается энергией или импульсом с окружающей средой, его масса покоя не изменится и может быть рассчитана с тем же результатом в любой системе отсчета.

Эквивалент массы и энергии

Релятивистское уравнение энергии-импульса справедливо для всех частиц, даже для безмассовых частиц , для которых m ₀ = 0. В этом случае:

${\displaystyle E=pc}$

При замене на Ev  =  c ² p это дает v  =  c : безмассовые частицы (такие как фотоны ) всегда движутся со скоростью света.

Обратите внимание, что масса покоя сложной системы обычно немного отличается от суммы масс покоя ее частей, поскольку в системе покоя их кинетическая энергия увеличивает ее массу, а их (отрицательная) энергия связи уменьшает ее массу. В частности, гипотетическая «коробка света» будет иметь массу покоя, хотя и состоит из частиц, которые ее не имеют, поскольку их импульсы будут сокращаться.

Глядя на приведенную выше формулу для инвариантной массы системы, можно увидеть, что, когда один массивный объект покоится ( v = 0 , p = 0 ), остается ненулевая масса: m ₀ = E / c ² . Соответствующая энергия, которая также является полной энергией, когда отдельная частица находится в состоянии покоя, называется «энергией покоя». В системах частиц, наблюдаемых из движущейся инерциальной системы, полная энергия увеличивается, а вместе с ней и импульс. Однако для одиночных частиц масса покоя остается постоянной, а для систем частиц инвариантная масса остается постоянной, поскольку в обоих случаях увеличение энергии и импульса вычитают друг друга и компенсируются. Таким образом, инвариантная масса систем частиц является расчетной константой для всех наблюдателей, как и масса покоя одиночных частиц.

Масса систем и сохранение инвариантной массы

Для систем частиц уравнение энергии-импульса требует суммирования векторов импульса частиц:

${\displaystyle E^{2}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}}$

Инерциальная система отсчета, в которой сумма импульсов всех частиц равна нулю, называется центром системы импульсов . В этой специальной системе релятивистское уравнение энергии-импульса имеет p = 0 и, таким образом, дает инвариантную массу системы как просто полную энергию всех частей системы, разделенную на c ²

${\displaystyle m_{0,\,{\rm {system}}}=\sum _{n}E_{n}/c^{2}}$

Это инвариантная масса любой системы, которая измеряется в системе отсчета, где ее полный импульс равен нулю, например, в баллоне с горячим газом на весах. В такой системе масса, которую взвешивают весы, является инвариантной массой и зависит от полной энергии системы. Таким образом, это больше, чем сумма масс покоя молекул, но также включает в себя все суммарные энергии в системе. Подобно энергии и импульсу, инвариантная масса изолированных систем не может быть изменена, пока система остается полностью закрытой (ни одна масса или энергия не могут войти или выйти), потому что полная релятивистская энергия системы остается постоянной до тех пор, пока ничто не может войти или выйти. Оставь это.

Увеличение энергии такой системы, вызванное переводом системы в инерциальную систему отсчета, которая не является центром системы импульса , вызывает увеличение энергии и импульса без увеличения инвариантной массы. Однако E = m ₀ c ² применимо только к изолированным системам в их системе отсчета с центром импульса, где сумма импульсов равна нулю.

Принимая эту формулу за чистую монету, мы видим, что в теории относительности масса — это просто энергия под другим названием (и измеряемая в других единицах). В 1927 году Эйнштейн заметил по поводу специальной теории относительности: «Согласно этой теории масса является не неизменной величиной, а величиной, зависящей (и, по сути, идентичной) количеству энергии». ^[5]

Закрытые (изолированные) системы

В «полностью замкнутой» системе (т. е. изолированной системе ) полная энергия, полный импульс и, следовательно, полная инвариантная масса сохраняются. Формула Эйнштейна для изменения массы переводится в простейшую форму Δ E = Δ mc ² , однако, только в незамкнутых системах, в которых энергии разрешено выходить (например, в виде тепла и света), и, таким образом, инвариантная масса уменьшается. Уравнение Эйнштейна показывает, что такие системы должны терять массу в соответствии с приведенной выше формулой пропорционально энергии, которую они теряют в окружающей среде. И наоборот, если можно измерить разницу в массе системы до того, как она подвергнется реакции с выделением тепла и света, и системы после реакции, когда тепло и свет ушли, можно оценить количество энергии, ускользнувшей из системы.

Химические и ядерные реакции

Как в ядерных, так и в химических реакциях такая энергия представляет собой разницу энергий связи электронов в атомах (в химии) или между нуклонами в ядрах (в атомных реакциях). В обоих случаях разница масс между реагентами и (охлажденными) продуктами измеряет массу тепла и света, которые ускользнут от реакции, и, таким образом (используя уравнение), дает эквивалентную энергию тепла и света, которая может быть выделена, если реакция протекает. .

В химии разница масс, связанная с излучаемой энергией, составляет около 10–9 ^{молекулярной} массы. ^[6] Однако в ядерных реакциях энергии настолько велики, что они связаны с разницей масс, которую можно оценить заранее, если взвесить продукты и реагенты (атомы можно взвесить косвенно, используя атомные массы, которые всегда то же самое для каждого нуклида ). Таким образом, формула Эйнштейна становится важной, когда измеряются массы различных атомных ядер. Глядя на разницу масс, можно предсказать, какие ядра обладают запасенной энергией, которая может быть высвобождена в результате определенных ядерных реакций , предоставив важную информацию, которая была полезна при развитии ядерной энергетики и, следовательно, ядерной бомбы . Исторически, например, Лизе Мейтнер удалось использовать разницу масс ядер, чтобы оценить, достаточно ли энергии, чтобы сделать деление ядра благоприятным процессом. Таким образом, последствия этой особой формы формулы Эйнштейна сделали ее одним из самых известных уравнений во всей науке.

Центр импульса кадра

Уравнение E  =  m ₀ c ² применимо только к изолированным системам в их центре системы импульса . Обычно это неправильно понимали как означающее, что масса может быть преобразована в энергию, после чего масса исчезает. Однако популярные объяснения уравнения применительно к системам включают открытые (неизолированные) системы, из которых теплу и свету разрешено выходить, хотя в противном случае они внесли бы свой вклад в массу ( инвариантную массу ) системы.

Исторически сложилось так, что путанице в отношении «преобразования» массы в энергию способствовала путаница между массой и « материей », где материя определяется как фермионные частицы. В таком определении электромагнитное излучение и кинетическая энергия (или тепло) не считаются «материей». В некоторых ситуациях материя действительно может быть преобразована в нематериальные формы энергии (см. выше), но во всех этих ситуациях материя и нематериальные формы энергии по-прежнему сохраняют свою первоначальную массу.

Для изолированных систем (закрытых для обмена массой и энергией) масса никогда не исчезает в центре системы импульса, потому что энергия не может исчезнуть. Вместо этого это уравнение в контексте означает только то, что когда какая-либо энергия добавляется к системе или выходит из нее в системе отсчета с центром импульса, система будет измеряться как набравшая или потерявшая массу пропорционально добавленной энергии. или удалено. Таким образом, теоретически, если атомную бомбу поместить в ящик, достаточно прочный, чтобы выдержать взрыв, и взорвать ее на весах, масса этой закрытой системы не изменится, и весы не сдвинутся. Только когда в сверхсильном наполненном плазмой ящике открылось прозрачное «окно» и свет и тепло начали выходить в виде луча, а компоненты бомбы остыли, система потеряла массу, связанную с энергией взрыв. Например, в бомбе мощностью 21 килотонна создается около грамма света и тепла. Если бы этому теплу и свету позволили уйти, остатки бомбы потеряли бы грамм массы по мере охлаждения. В этом мысленном эксперименте свет и тепло уносят грамм массы и, следовательно, откладывают этот грамм массы в поглощающих их объектах. ^[7]

Угловой момент

В релятивистской механике изменяющийся во времени момент массы

${\displaystyle \mathbf {N} =m\left(\mathbf {x} -t\mathbf {v} \right)}$

и орбитальный 3-угловой момент

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p} }$

точечной частицы объединяются в четырехмерный бивектор через 4-положение X и 4-импульс P частицы: ^{[8] [9]}

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} }$

где ∧ обозначает внешний продукт . Этот тензор аддитивен: полный угловой момент системы представляет собой сумму тензоров угловых моментов для каждого компонента системы. Итак, для совокупности дискретных частиц суммируют тензоры углового момента по частицам или интегрируют плотность углового момента по протяженности непрерывного распределения массы.

Каждый из шести компонентов образует сохраняющуюся величину при агрегировании с соответствующими компонентами других объектов и полей.

Сила

В специальной теории относительности второй закон Ньютона не выполняется в форме F = m a , но он выполняется, если он выражается как

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$

где p = γ( v ) m ₀ v — импульс, определенный выше, а m ₀ — инвариантная масса . Таким образом, сила определяется выражением

${\displaystyle \mathbf {F} =\gamma ^{3}m_{0}\,\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\ \mathrm {where} \ \gamma =\gamma (\mathbf {v} )}$

Следовательно, в некоторых старых текстах γ( v ) ³ m ₀ называется продольной массой , а γ( v ) m ₀ — поперечной массой , которая численно совпадает с релятивистской массой . См. массу в специальной теории относительности .

Если инвертировать это, чтобы вычислить ускорение по силе, получим

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {1}{m_{0}\gamma (\mathbf {v} )}}\left(\mathbf {F} -{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} )\mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\,.}$

Сила, описанная в этом разделе, представляет собой классическую трехмерную силу, которая не является четырехвекторной . Эта трехмерная сила является подходящим понятием силы, поскольку именно она подчиняется третьему закону движения Ньютона . Ее не следует путать с так называемой четырехсилой , которая представляет собой просто трехмерную силу в сопутствующей системе координат объекта, преобразованную, как если бы он был четырехвектором. Однако плотность трехмерной силы (линейный импульс, передаваемый на единицу четырехобъема ) является четырехвекторной ( плотность веса +1) в сочетании с отрицательной плотностью передаваемой мощности.

Крутящий момент

Крутящий момент, действующий на точечную частицу, определяется как производная приведенного выше тензора момента импульса по собственному времени: ^{[10] [11]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}={\frac {d\mathbf {M} }{d\tau }}=\mathbf {X} \wedge \mathbf {F} }$

или в компонентах тензора:

${\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }=X_{\alpha }F_{\beta }-X_{\beta }F_{\alpha }}$

где F — 4d-сила, действующая на частицу в момент события X. Как и в случае с угловым моментом, крутящий момент является аддитивным, поэтому для протяженного объекта он суммируется или интегрируется по распределению массы.

Кинетическая энергия

Теорема о работе-энергии гласит ^[12], что изменение кинетической энергии равно работе, совершаемой над телом. В специальной теории относительности:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K=W=[\gamma _{1}-\gamma _{0}]m_{0}c^{2}.\end{aligned}}}$

Если в начальном состоянии тело покоилось, то v ₀  = 0 и γ ₀ ( v ₀ ) = 1, а в конечном состоянии оно имеет скорость v ₁  =  v , полагая γ ₁ ( v ₁ ) = γ( v ), кинетическая энергия тогда;

${\displaystyle K=[\gamma (v)-1]m_{0}c^{2}\,,}$

результат, который можно получить непосредственно, вычитая энергию покоя m ₀ c ² из полной релятивистской энергии γ( v ) m ₀ c ² .

Ньютоновский предел

Фактор Лоренца γ( v ) можно разложить в ряд Тейлора или биномиальный ряд для ( v / c ) ² < 1, получив:

${\displaystyle \gamma ={\dfrac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)=1+{\dfrac {1}{2}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}+{\dfrac {3}{8}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{4}+{\dfrac {5}{16}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{6}+\cdots }$

и следовательно

${\displaystyle E-m_{0}c^{2}={\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}+{\frac {3}{8}}{\frac {m_{0}v^{4}}{c^{2}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {m_{0}v^{6}}{c^{4}}}+\cdots ;}$

${\displaystyle \mathbf {p} =m_{0}\mathbf {v} +{\frac {1}{2}}{\frac {m_{0}v^{2}\mathbf {v} }{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}{\frac {m_{0}v^{4}\mathbf {v} }{c^{4}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {m_{0}v^{6}\mathbf {v} }{c^{6}}}+\cdots .}$

Для скоростей, много меньших скорости света, можно пренебречь членами с с ² и выше в знаменателе. Эти формулы затем сводятся к стандартным определениям ньютоновской кинетической энергии и импульса. Так и должно быть, поскольку специальная теория относительности должна согласовываться с механикой Ньютона при низких скоростях.

Смотрите также

• Парадокс близнецов
• Релятивистские уравнения
• Релятивистская теплопроводность
• Классический электромагнетизм и специальная теория относительности
• Релятивистская система (математика)
• Релятивистская лагранжева механика

Рекомендации

Примечания

1. Филип Гиббс, Джим Карр и Дон Кокс (2008). «Что такое релятивистская масса?». Usenet Часто задаваемые вопросы по физике . Проверено 19 сентября 2008 г.Обратите внимание, что в 2008 году последний редактор, Дон Кокс, переписал значительную часть страницы, изменив ее с точки зрения, крайне пренебрежительно относящейся к полезности релятивистской массы, на точку зрения, которая вряд ли ставит ее под сомнение. Предыдущая версия была: Филип Гиббс и Джим Карр (1998). «Изменяется ли масса со скоростью?». Usenet Часто задаваемые вопросы по физике . Архивировано из оригинала 30 июня 2007 г.
2. См., например: Фейнман, Ричард (1998). «Специальная теория относительности». Шесть непростых пьес . Кембридж, Массачусетс: Книги Персея. ISBN 0-201-32842-9.
3. Лев Б. Окунь (июль 1989 г.). «Концепция массы» (PDF) . Физика сегодня . 42 (6): 31–36. Бибкод : 1989PhT....42f..31O. дои : 10.1063/1.881171. Архивировано из оригинала (требуется подписка) 17 декабря 2008 г. Проверено 4 июня 2012 г.
4. Т. Р. Сандин (ноябрь 1991 г.). «В защиту релятивистской массы». Американский журнал физики . 59 (11): 1032–1036. Бибкод : 1991AmJPh..59.1032S. дои : 10.1119/1.16642.
5. Эйнштейн о Ньютоне
6. Рэнди Харрис (2008). Современная физика: Второе издание . Пирсон Аддисон-Уэсли. п. 38. ISBN 978-0-8053-0308-7.
7. Э.Ф. Тейлор и Дж.А. Уилер, Физика пространства-времени , WH Freeman and Co., Нью-Йорк. 1992. ISBN 0-7167-2327-1 , см. стр. 248–9, где обсуждается вопрос о том, остается ли масса постоянной после взрыва ядерных бомб до тех пор, пока тепло не выйдет наружу. 
8. Р. Пенроуз (2005). Дорога к реальности . Винтажные книги. стр. 437–438, 566–569. ISBN 978-0-09-944068-0. Примечание. Некоторые авторы, в том числе Пенроуз, используют в этом определении латинские буквы, хотя общепринято использовать греческие индексы для векторов и тензоров в пространстве-времени.
9. М. Файнгольд (2008). Специальная теория относительности и как она работает. Джон Уайли и сыновья. стр. 137–139. ISBN 978-3-527-40607-4.
10. С. Аранов (1969). «Крутящий момент и угловой момент в равновесной системе в специальной теории относительности». Американский журнал физики . 37 (4): 453–454. Бибкод : 1969AmJPh..37..453A. дои : 10.1119/1.1975612.Этот автор использует T для крутящего момента, здесь мы используем заглавную букву Gamma Γ , поскольку T чаще всего используется для обозначения тензора энергии-напряжения .
11. С. Аранов (1972). «Равновесие в специальной теории относительности» (PDF) . Нуово Чименто . 10 (1): 159. Бибкод : 1972NCimB..10..155A. дои : 10.1007/BF02911417. S2CID  117291369. Архивировано из оригинала (PDF) 28 марта 2012 г. Проверено 13 октября 2013 г.
12. Р. К. Толман «Термодинамика относительности и космология», стр. 47–48.

• К. Хрисомалакос; Х. Эрнандес-Коронадо; Э. Окон (2009). «Центр масс в специальной и общей теории относительности и его роль в эффективном описании пространства-времени». Дж. Физ. Конф. Сер . Мексика. 174 (1): 012026. arXiv : 0901.3349 . Бибкод : 2009JPhCS.174a2026C. дои : 10.1088/1742-6596/174/1/012026. S2CID  17734387.

дальнейшее чтение

Общая сфера применения и специальная/общая теория относительности

• премьер-министр Уилан; М. Дж. Ходжсон (1978). Основные принципы физики (2-е изд.). Джон Мюррей. ISBN 0-7195-3382-1.
• Г. Воан (2010). Кембриджский справочник физических формул . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-57507-2.
• П. А. Типлер; Г. Моска (2008). Физика для ученых и инженеров: с современной физикой (6-е изд.). ISBN WH Freeman and Co. 978-1-4292-0265-7.
• Р. Г. Лернер ; Г.Л. Тригг (2005). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издательство VHC, Ганс Варлимонт, Springer. ISBN 978-0-07-025734-4.
• Концепции современной физики (4-е издание), А. Бейзер, Физика, McGraw-Hill (International), 1987, ISBN 0-07-100144-1 
• CB Паркер (1994). Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN 0-07-051400-3.
• Т. Франкель (2012). Геометрия физики (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-60260-1.
• Л. Х. Гринберг (1978). Физика с современными приложениями . Holt-Saunders International WB Saunders and Co. ISBN 0-7216-4247-0.
• А. Халперн (1988). 3000 решенных задач по физике, серия Шаума . Мак Грау Хилл. ISBN 978-0-07-025734-4.

Электромагнетизм и специальная теория относительности

• ГЭГ Беннет (1974). Электричество и современная физика (2-е изд.). Эдвард Арнольд (Великобритания). ISBN 0-7131-2459-8.
• ИС Грант; В. Р. Филлипс; Манчестерская физика (2008). Электромагнетизм (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-92712-9.
• Диджей Гриффитс (2007). Введение в электродинамику (3-е изд.). Pearson Education, Дорлинг Киндерсли. ISBN 978-81-7758-293-2.

Классическая механика и специальная теория относительности

• Дж. Р. Форшоу; А.Г. Смит (2009). Динамика и относительность . Уайли. ISBN 978-0-470-01460-8.
• Д. Клеппнер; Р. Дж. Коленков (2010). Введение в механику . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-19821-9.
• Л.Н. Рука; Джей Ди Финч (2008). Аналитическая механика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-57572-0.
• Пи Джей О'Доннелл (2015). Существенная динамика и относительность . ЦРК Пресс. ISBN 978-1-4665-8839-4.

Общая теория относительности

• Д. МакМахон (2006). Демистифицированная теория относительности . Мак Грау Хилл. ISBN 0-07-145545-0.
• Дж. А. Уилер; К. Миснер; К. С. Торн (1973). Гравитация . ISBN WH Freeman & Co. 0-7167-0344-0.
• Дж. А. Уилер; И. Чуфолини (1995). Гравитация и инерция . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-03323-5.
• РДЖА Ламбурн (2010). Относительность, гравитация и космология . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-13138-4.