Согласно законодательству Европейского Союза , аннуитет — это финансовый контракт, который обеспечивает поток дохода в обмен на первоначальный платеж с определенными параметрами. Это противоположность расчетному финансированию . Швейцарский аннуитет не считается европейским аннуитетом по налоговым причинам.
Немедленная рента — это рента, для которой время между датой контракта и датой первого платежа не превышает временного интервала между платежами. Распространенное применение немедленной ренты — предоставление пенсии пенсионеру или пенсионерам.
Это финансовый контракт, который предусматривает ряд платежей с определенными характеристиками:
Определенный аннуитет выплачивает аннуитету определенное количество лет. Этот вариант не подходит для пенсионного дохода, так как человек может пережить количество лет, которые будет выплачивать аннуитет.
Пожизненная рента или пожизненная немедленная рента чаще всего используется для обеспечения дохода в старости (т. е. пенсии ). Этот тип ренты можно приобрести у страховой компании (Ирландия и Великобритания, Life Assurance ).
Эту ренту можно сравнить с кредитом, который покупатель предоставляет компании-эмитенту, которая затем выплачивает первоначальный капитал с процентами получателю ренты, на жизни которого основана рента. Предполагаемый срок кредита основан на ожидаемой продолжительности жизни получателя ренты, но пожизненные ренты выплачиваются до смерти последнего выжившего получателя ренты. Чтобы гарантировать, что доход будет продолжаться всю жизнь, инвестиции основаны на перекрестном субсидировании. Поскольку можно ожидать, что население, получающее ренту, будет иметь распределение продолжительности жизни вокруг среднего возраста населения , те, кто умирает раньше, будут поддерживать тех, кто живет дольше ( страхование долголетия ).
Перекрестное субсидирование остается одним из наиболее эффективных способов распределения определенного объема капитала и инвестиционного дохода в течение всей жизни без риска исчерпания средств. [ необходима ссылка ]
Хотя это сократит доступные выплаты, можно организовать аннуитет, который будет продолжаться до смерти последнего из двух или более человек, оставшихся в живых. Например, многие аннуитеты продолжают выплачиваться (возможно, по сниженной ставке) супругу основного получателя ренты после его или ее смерти, пока супруг жив. Аннуитет, выплачиваемый супругу, называется возвратным аннуитетом или аннуитетом по случаю потери кормильца. Однако, если получатель ренты находится в хорошем здравии, может быть выгоднее выбрать вариант с более высокой выплатой только по его жизни и приобрести полис страхования жизни, который будет выплачивать доход оставшемуся в живых.
Также можно приобрести другие функции, такие как минимальный гарантированный период выплат независимо от смерти, известный как пожизненное страхование с определенным периодом, или эскалацию , когда выплата увеличивается на величину инфляции или фиксированной ставки ежегодно.
Аннуитеты с гарантированными периодами доступны у большинства поставщиков. В таком продукте, если смерть наступает в течение гарантированного периода, выплаты продолжают осуществляться назначенному бенефициару .
Некоторые поставщики также предлагают аннуитеты с фиксированным сроком, которые действуют в течение срока, выбранного клиентом, и/или аннуитеты с возрастающей ставкой, в которых выплаты дохода начинаются с более низкого уровня, а затем увеличиваются в соответствии с инфляцией или по фиксированной ставке с каждым годом. [2]
Некоторые страховые компании также предлагают аннуитеты для курильщиков или людей с определенным заболеванием. Поскольку продолжительность жизни сокращается, ставка аннуитета становится лучше (т. е. аннуитет становится выше за тот же первоначальный взнос). Это может иметь неприятный вид «ставки против» номинанта.
Пожизненные ренты оцениваются на основе вероятности того, что номинант доживет до получения платежей. Страхование долголетия — это форма ренты, которая откладывает начало выплат до очень позднего возраста. Обычный контракт на долголетие приобретается при выходе на пенсию или до нее, но выплаты начинаются только через 20 лет после выхода на пенсию. Если номинант умирает до начала выплат, выплачиваемая выгода не выплачивается. Это резко снижает стоимость ренты, при этом по-прежнему обеспечивая защиту от пережитых ресурсов.
Второе использование термина «аннуитет» вошло в обиход в 1970-х годах. Это отложенный аннуитет , который является средством накопления сбережений и их последующего распределения либо в виде немедленного аннуитета, либо в виде единовременного платежа. Обратите внимание, что это отличается от немедленного аннуитета.
Под заголовком отложенных аннуитетов подразумеваются контракты, которые могут быть похожи на
Контракты также могут быть связаны с другими инвестициями, такими как имущество (недвижимость) или государственные облигации, или любая комбинация вышеперечисленного, выбранная инвестором или его консультантами. Все разновидности отложенных аннуитетов, принадлежащих физическим лицам, имеют одну общую черту во многих юрисдикциях: любое увеличение стоимости счетов не облагается налогом, пока эти доходы не будут сняты. Это также известно как отложенный налоговый рост.
Чтобы завершить определения здесь, отложенный аннуитет, где выгоды фиксируются изначально, либо в виде единовременной суммы, либо в виде аннуитета, можно назвать фиксированным отложенным аннуитетом . Отложенный аннуитет, который допускает отчисления в фонды акций или облигаций и для которого нет гарантии, что стоимость счета останется выше первоначально инвестированной суммы, называется переменным аннуитетом .
За исключением аннуитетов, предоставляемых пенсионными схемами, контракты на аннуитеты обычно выпускаются страховой компанией. Они распространяются и доступны для покупки у надлежащим образом лицензированных банков, брокерских контор и представителей страховых компаний. Некоторые аннуитеты также можно приобрести напрямую у эмитента, т. е. страховой компании, подписавшей контракт.
В типичном немедленном аннуитете контракте человек выплачивает единовременную сумму или серию платежей (иногда называемых аннуитетными выплатами ) страховой компании, а взамен выплачивает аннуитету серию периодических платежей до конца жизни. Точные условия аннуитетного продукта изложены в контракте .
Как и в случае с другими типами страховых договоров, как немедленные, так и отсроченные аннуитеты обычно предусматривают выплату комиссии продавцу (или консультанту ).
Аннуитетные компании разработали широкий спектр функций, чтобы сделать свои продукты более привлекательными. Они включают опции пособий по смерти и опции пособий по жизни.
Поскольку немедленные аннуитеты обычно предусматривают ряд гарантированных платежей, аннуитетная компания обычно соотносит свои обязательства с государственными облигациями и другими высококачественными облигациями, а рыночная доходность, доступная по этим облигациям, в значительной степени определяет розничную цену аннуитетов. (Обычно компании по закону обязаны инвестировать свои средства таким образом, чтобы снизить риск дефолта.)
Эти инвестиции обычно считаются менее рискованными, чем другие инвестиции, например, связанные с фондовым рынком , и, вероятно, предлагают более низкую ожидаемую доходность . Однако фиксированные аннуитеты не защищают покупателя от последствий инфляции, которая является существенным риском.
Для многих пожилых людей финансовый риск прожить дольше, чем ожидалось, и остаться без денег — это больший риск, чем инвестиционные риски, такие как подверженность падающему фондовому рынку. Немедленные аннуитеты защищают от этого риска.
Отложенные пенсии часто используются в качестве инструмента сбережений налогоплательщиками с более высокой ставкой, так как в некоторых юрисдикциях они получают налоговые льготы по более высокой ставке на свои пенсионные взносы, и их фонд накапливается без уплаты налога на инвестиционный доход. Доходы будут облагаться налогом, когда они принимаются в качестве пособий, но, возможно, по более низкой ставке. Тем, кто находится в более низких налоговых категориях, могут посоветовать избегать отложенных пенсий, поскольку они не смогут компенсировать расходы, взимаемые аннуитетной компанией. (В некоторых юрисдикциях некоторые или все доходы должны по закону использоваться для покупки пенсии.)
Актуарные формулы используются для моделирования аннуитетов и определения их цены.
На техническом языке говорят, что рента выплачивается за назначенный статус , это общее слово, выбранное вместо таких слов, как «время», «срок» или «период», потому что оно может с большей готовностью включать либо определенный срок лет, либо жизнь или комбинацию жизней. Величина ренты — это сумма, которая должна быть выплачена (и получена) в течение каждого года. Таким образом, если человек должен получать 100 фунтов стерлингов каждый год, говорят, что у него «рента в размере 100 фунтов стерлингов». Если выплаты производятся раз в полгода, иногда говорят, что у него «рента в размере 100 фунтов стерлингов за полгода»; но чтобы избежать двусмысленности, чаще говорят, что у него «рента в размере 100 фунтов стерлингов, выплачиваемая полугодовыми взносами». Рента считается начисляемой в течение каждого момента статуса, для которого она используется, хотя она выплачивается только через фиксированные интервалы. Если пользование рентой откладывается до истечения определенного количества лет, то говорят, что рента отложена . Если рента, вместо того чтобы выплачиваться в конце каждого года, полугодия и т. д., выплачивается авансом, то ее называют рентой с выплатой по факту . Держатель ренты называется рентополучателем , а лицо, от жизни которого зависит рента, называется номинальным получателем . [1]
При немедленной аннуитизации доступно множество вариантов способа выплаты потока платежей. Если аннуитет выплачивается в течение фиксированного периода независимо от каких-либо непредвиденных обстоятельств, он известен как аннуитет с определенным периодом или просто аннуитет с определенным периодом ; если он должен продолжаться вечно, он называется бессрочным ; и если в последнем случае он не начнется до истечения срока в несколько лет, он называется отложенным бессрочным . Аннуитет, зависящий от продолжения назначенной жизни или жизней, обычно называется пожизненным аннуитетом , но также известен как пожизненный аннуитет или просто пожизненный аннуитет ; но чаще всего простой термин «аннуитет» понимается как пожизненный аннуитет, если не указано иное. [1] Платежи также могут выплачиваться в течение жизни номинанта(ов) или в течение фиксированного периода, в зависимости от того, что дольше. Это известно как пожизненный с определенным периодом .
Гибрид этого типа — когда выплаты прекращаются в момент смерти, но также и после заранее определенного количества платежей, если это происходит раньше: известно как временная пожизненная рента . Разница с рентой, определенной на определенный период, заключается в том, что рента, определенная на определенный период, будет продолжать выплачиваться после смерти номинального получателя, пока не завершится период.
Если не указано иное, всегда подразумевается, что аннуитет выплачивается ежегодно и что годовой платеж (или арендная плата, как ее иногда называют) представляет собой единую денежную единицу. [1]
Примерами бессрочных рент являются дивиденды по государственным акциям в Англии, Франции и некоторых других странах. Таким образом, хотя обычно говорят о консоли в 100 фунтов стерлингов, реальностью являются ежегодные дивиденды, которые правительство выплачивает ежеквартальными взносами. Практика французов в этом отношении, возможно, более логична. Говоря о своих государственных фондах ( rentes ), они не упоминают идеальную сумму капитала, а говорят о ренте или ежегодном платеже, который получает государственный кредитор. Другими примерами бессрочных рент являются доходы, полученные от облигаций железнодорожных компаний, а также феодальные пошлины, обычно уплачиваемые на домашнюю собственность в Шотландии. Количество лет покупки, которое бессрочные ренты, предоставленные правительством или железнодорожной компанией, реализуют на открытом рынке, является очень простым тестом кредитоспособности различных правительств или железных дорог. [1]
В Соединенном Королевстве доход от обязательных аннуитетов, приобретенных за счет пенсионных фондов или работодателем сразу после выхода на пенсию ( аннуитет Hancock ), рассматривается как налогооблагаемый доход. Доход от приобретенных пожизненных аннуитетов , приобретенных любыми другими способами, имеет элемент, который считается возвратом капитала, и только превышение над ним считается приростом, который облагается подоходным налогом. Элемент, рассматриваемый как возврат капитала, основан на ожидаемой продолжительности жизни и, следовательно, будет увеличиваться с возрастом.
Благодаря перекрестному субсидированию и гарантиям, которые аннуитет может предоставить от исчерпания дохода и попадания в зависимость от государственного социального обеспечения в старости, аннуитеты часто имеют благоприятный налоговый режим, что может повлиять на их привлекательность по сравнению с другими инвестициями.
Немедленные аннуитеты являются обязательной чертой некоторых пенсионных накопительных схем в некоторых странах, где правительство предоставляет налоговые вычеты при условии, что сбережения вносятся в фонд, который может быть снят только (или в основном) как аннуитет. В Нидерландах есть такие схемы, и в Соединенном Королевстве они были до дня в 2006 году. С 2003 года налоговый вычет в Нидерландах разрешен только в том случае, если без дополнительных сбережений доход в старости будет менее 70% от текущего дохода. Французское правительство в настоящее время соблюдает очень необычный долговой контракт: аннуитет, который был выпущен в 1738 году и в настоящее время приносит €1,20 в год. [3]
В Соединенном Королевстве взносы в пенсионные накопления, как правило, за вычетом подоходного налога (т. е. предоставляется налоговая льгота) до определенных пределов. При выходе на пенсию, если аннуитет не приобретен, пенсионный доход до 75 лет может быть получен из пенсионного фонда путем изъятия пенсионного дохода, обычно известного как изъятие дохода . Это необеспеченная пенсия в отличие от аннуитета, который является обеспеченной пенсией. Необеспеченные пенсии действуют в соответствии с возрастными пределами дохода, рассчитанными Департаментом актуарных расчетов правительства, чтобы предотвратить слишком быстрое истощение фонда. До A-day люди могли изменять изъятия между 35% и 100% от максимального лимита, пересчитываемого каждые три года в рамках так называемого трехгодичного пересмотра . После изменений, внесенных HMRC в рамках законодательства A-day, люди теперь могут получать доход от нуля до 120% от «ставки GAD». По достижении 75 лет человек должен обеспечить свой пенсионный фонд, купив аннуитет, за исключением того, что до 25% фонда может быть взято в качестве не облагаемых налогом наличных денег, также известных как единовременная выплата при выходе на пенсию , или войти в альтернативно обеспеченную пенсию (ASP). В соответствии с соглашением ASP ставка дохода должна составлять от 55% до 90% от ставки GAD для 75-летнего человека. Ставки GAD подлежат периодическому пересмотру и основаны на возврате единовременной пожизненной ренты, выплачиваемой ежемесячно в конце срока без каких-либо гарантий или защиты стоимости для человека в хорошем состоянии здоровья. [ необходима цитата ] Эти ставки, в свою очередь, во многом зависят от долгосрочной доходности государственных облигаций и данных о смертности .
Необеспеченные или альтернативно обеспеченные пенсии несут в себе как инвестиционный риск инвестированного пенсионного фонда, так и снижение смертности, возникающее из-за потери перекрестного субсидирования и увеличения средней ожидаемой продолжительности жизни, происходящего в период, на который откладывается покупка аннуитета.
Срочные ренты используются в системе британских государственных финансов как средство сокращения государственного долга . Этот результат достигается путем замены постоянного годового платежа (или того, который длится до тех пор, пока капитал, который он представляет, не может быть выплачен целиком ), годовым платежом большей суммы, но длящимся в течение короткого срока. Последний рассчитывается таким образом, чтобы погасить, в течение своего существования, капитал, который он заменяет, с процентами по предполагаемой или согласованной ставке и на определенных условиях. Практический эффект замены срочной ренты на обязательство с более длинной валютой заключается в том, чтобы обязать нынешнее поколение граждан увеличить свои собственные обязательства в настоящем и ближайшем будущем, чтобы уменьшить обязательства своих преемников. Эта цель может быть достигнута другими способами; например, путем отчисления из доходов фиксированной ежегодной суммы для покупки и аннулирования долга (метод Питта, по замыслу), или путем установления ежегодного долгового платежа на уровне, достаточном для обеспечения маржи для уменьшения основного долга сверх суммы, требуемой для процентов (метод сэра Стаффорда Норткота), или путем предоставления ежегодного излишка доходов над расходами («Старый амортизационный фонд»), доступного для той же цели. Все эти методы были испробованы в ходе британской финансовой истории, и второй и третий из них все еще используются; но в целом метод срочных аннуитетов был предпочтительным для канцлеров казначейства и парламента. [4]
Срочные аннуитеты, используемые британским правительством, делятся на две категории: [5]
Важное различие между этими двумя классами заключается в том, что рента по (1), однажды созданная, не может быть изменена без согласия держателя, т. е. практически неизменна без нарушения общественного доверия; тогда как рента по (2) может, при необходимости, быть изменена межведомственным соглашением под руководством парламента. Таким образом, ренты класса (1) наиболее полно соответствуют цели системы, как объяснено выше; в то время как ренты класса (2) имеют то преимущество, что в чрезвычайных ситуациях их действие может быть приостановлено без каких-либо неудобств или нарушения доверия, в результате чего ресурсы правительства могут быть в таких случаях существенно увеличены, помимо любого дополнительного налогообложения. Для этой цели необходимо только удержать в качестве сбора с годового дохода сумму, равную (меньшему) постоянному сбору, который первоначально был заменен (большим) срочным сбором, после чего разница между двумя суммами временно освобождается, в то время как в конечном итоге увеличенный сбор продлевается на период, равный тому, на который он был приостановлен. [5]
Аннуитеты класса (1) были впервые учреждены в 1808 году, но позднее регулировались законом 1829 года. Они могут быть предоставлены либо на определенную жизнь, либо на две жизни, либо на произвольный срок в несколько лет; и вознаграждение за них может принимать форму либо наличных денег, либо государственных акций, причем последние аннулируются при учреждении аннуитета. [5]
Аннуитеты (2), принадлежащие государственным департаментам, существуют с 1863 года. Они были созданы в обмен на постоянные долги, переданные для списания, основные операции были осуществлены в 1863, 1867, 1870, 1874, 1883 и 1899 годах.
Аннуитеты этого класса вообще не влияют на общественность, за исключением, конечно, их влияния на рынок государственных ценных бумаг. Они являются просто финансовыми операциями между правительством, в его качестве банкира сберегательных банков и других фондов, и им самим, в качестве хранителя национальных финансов. Вкладчики сберегательных банков не обеспокоены тем, каким образом правительство инвестирует их деньги, их права ограничиваются получением процентов и возвратом вкладов на определенных условиях. Однако случай отличается в отношении сорока миллионов консолей (включенных в приведенные выше цифры), принадлежащих просителям в канцелярии, которые были аннулированы и заменены срочной рентой в 1883 году. Поскольку ответственность перед просителями в этом случае была за определенную сумму акций, были приняты специальные меры для обеспечения окончательной замены точного количества аннулированных акций. [5]
Математическая теория пожизненных рент основана на знании уровня смертности среди человечества в целом или среди определенного класса лиц, от жизни которых зависят ренты, см. актуарная текущая стоимость . На практике можно использовать простые таблицы, которые различаются в разных местах, но которые легко доступны.
Авраам Демуавр в своей книге «Ренты на жизнь » сформулировал очень простой закон смертности: из 86 детей, родившихся живыми, 1 умирает каждый год, пока последний не умрет в возрасте от 85 до 86 лет. Этот закон достаточно хорошо согласовывался в средние века со смертностью, выведенной из лучших наблюдений его времени; но по мере того, как наблюдения становились все более точными, приближение оказывалось недостаточно близким. Это особенно касалось случаев, когда требовалось получить стоимость совместной жизни, условных или других сложных выгод. Поэтому закон Демуавра лишен практической полезности. Ни одна простая формула не обладает достаточной точностью. [5]
Таким образом, уровень смертности в каждом возрасте на практике обычно определяется серией цифр, выведенных из наблюдений; а стоимость ренты в любом возрасте определяется из этих цифр посредством серии арифметических вычислений. [5]
Первым писателем, который, как известно, пытался получить, на правильных математических принципах, стоимость пожизненной ренты, был Ян Де Витт , великий пенсионарий Голландии и Западной Фрисландии. Наши знания о его трудах по этой теме получены из двух статей, представленных Фредериком Хендриксом в Assurance Magazine , т. ii. (1852) стр. 222, и т. in. стр. 93. Первый из них содержит перевод отчета Де Витта о стоимости пожизненных рент, который был подготовлен в результате резолюции, принятой Генеральными штатами 25 апреля 1671 года, о ведении переговоров о фондах посредством пожизненных рент, и который был распространен среди членов 30 июля 1671 года. Последний содержит перевод ряда писем, адресованных Де Виттом бургомистру Йохану Худде, с датами с сентября 1670 года по октябрь 1671 года. Существование отчета Де Витта было хорошо известно его современникам, и Хендрикс собрал ряд отрывков из различных авторов, ссылающихся на него; но отчет не содержится ни в одном из сохранившихся собраний его работ и был полностью утерян в течение 180 лет, пока Хендрикс не обнаружил его в государственных архивах Голландии вместе с письмами Худде. Это был самый первый документ по этой теме, который когда-либо был написан. [5]
Похоже, что в Голландии долгое время существовала практика предоставления пожизненных рент номиналам любого возраста в постоянной пропорции двойной процентной ставки, разрешенной по акциям; то есть, если города занимали деньги под 6%, они были бы готовы предоставить пожизненную ренту под 12% и так далее. Де Витт утверждает, что «ренты продавались даже в текущем столетии сначала по цене покупки на шесть лет, затем по цене на семь и восемь лет; и что большинство всех пожизненных рент, которые сейчас выплачиваются за счет страны, были получены по цене покупки на девять лет»; но что цена была увеличена в течение нескольких лет с покупки на одиннадцать лет до двенадцати и с двенадцати до четырнадцати лет. Он также утверждает, что процентная ставка последовательно снижалась с 6-1/4% до 5%, а затем до 4%. Основная цель его доклада — доказать, что при ставке процента 4% пожизненная рента стоила по крайней мере покупки на шестнадцать лет; и, по сути, тот факт, что получатель ренты, приобретающий пожизненную ренту молодому и здоровому получателю по цене шестнадцатилетней покупки, совершил прекрасную сделку. [5]
Он утверждает, что и для страны, и для частного инвестора выгоднее, чтобы государственные займы привлекались путем предоставления пожизненных рент, а не вечных рент. Из переписки Де Витта с Хаддом следует, что предполагаемый уровень смертности был выведен из смертности, которая фактически преобладала среди номинантов, которым в предыдущие годы были предоставлены пожизненные ренты. Де Витт, по-видимому, пришел к выводу, что вероятность смерти одинакова в любое полугодие в возрасте от 3 до 53 лет включительно; что в следующие десять лет, с 53 до 63 лет, вероятность больше в соотношении 3 к 2; что в следующие десять лет, с 63 до 73 лет, она больше в соотношении 2 к 1; и в следующие семь лет, с 73 до 80 лет, она больше в соотношении 3 к 1; и он устанавливает предел человеческой жизни в 80 лет. Если из этих предположений вывести таблицу смертности обычного вида, то из 212 человек, живущих в возрасте 3 лет, 2 будут умирать каждый год до 53 лет, 3 в каждый из десяти лет с 53 до 63 лет, 4 в каждый из следующих десяти лет с 63 до 73 лет и 6 в каждый из следующих семи лет с 73 до 80 лет, когда все умрут. [6]
Де Витт вычисляет стоимость ренты следующим образом. Предположим, что были приобретены ренты на 10 000 жизней каждые десять лет, которые удовлетворяют таблице смертности Hm. Из этих номинантов 79 умрут до достижения 11-летнего возраста, и в отношении них не будет произведено никаких выплат по ренте; никто не умрет в возрасте от 11 до 12 лет, так что ренты будут выплачиваться в течение одного года на 9921 жизнь; 40 достигают 12-летнего возраста и умирают до 13 лет, так что в отношении этих жизней будет произведено два платежа. Рассуждая таким образом, мы видим, что ренты на 35 номинантов будут выплачиваться в течение трех лет; на 40 — в течение четырех лет и т. д. Продолжая таким образом до конца таблицы, 15 номинантов достигают возраста 95 лет, 5 из которых умирают до достижения 96 лет, так что 85 платежей будут выплачены в отношении этих 5 жизней. Из оставшихся в живых все умирают до достижения 97 лет, так что аннуитеты по этим жизням будут выплачиваться в течение 86 лет. Предварительно рассчитав таблицу значений аннуитетов, определенных для каждого количества лет до 86, стоимость всех аннуитетов по 10 000 номинантов будет найдена путем взятия 40 раз стоимости аннуитета за 2 года, 35 раз стоимости аннуитета за 3 года и т. д. — последний член будет стоимостью 10 аннуитетов за 86 лет — и сложения их вместе; и стоимость аннуитета по одному из номинантов будет затем найдена путем деления на 10 000. Прежде чем оставить тему Де Витта, мы можем упомянуть, что в переписке мы находим отчетливое предположение о законе смертности, который носит имя Демуавра. В письме Де Витта от 27 октября 1671 года ( Ass. Mag . vol. iii. p. 107) он говорит о «предварительной гипотезе», предложенной Хаддом, что из 80 молодых жизней (которые, исходя из контекста, могут быть приняты за 6 лет) около 1 умирает ежегодно. Строго говоря, поэтому рассматриваемый закон правильнее было бы назвать законом Хадда, чем законом Демуавра. [7]
Таким образом, отчет Де Витта, будучи по своей природе неопубликованным государственным документом, хотя и способствовал репутации его автора, не способствовал продвижению точного знания предмета; и автором, которому следует отдать должное за то, что он первым показал, как рассчитать стоимость ренты на основе правильных принципов, является Эдмунд Галлей . Он дал первую приблизительно правильную таблицу смертности (выведенную из записей о количестве смертей и крещений в городе Бреслау) и показал, как ее можно использовать для расчета стоимости ренты на жизнь номинанта любого возраста. [8]
До времени Галлея и, по-видимому, в течение многих лет после этого все сделки с пожизненными рентами основывались на простых предположительных оценках. Самая ранняя известная ссылка на любую оценку стоимости пожизненных рент возникла из требований закона Фальцидия , который был принят в Римской империи в 40 г. до н. э. и который гласил, что завещатель не должен давать более трех четвертей своего имущества в качестве завещания, так что по крайней мере одна четверть должна достаться его законным представителям. Легко увидеть, как иногда возникала необходимость, пока этот закон был в силе, оценивать пожизненные ренты, начисленные на имущество завещателя. Эмилий Мацер (230 г. н. э.) утверждает, что метод, который был широко распространен в то время, был следующим: — С самого раннего возраста до 30 лет брать 30-летнюю покупку, и для каждого возраста после 30 вычитать 1 год. Очевидно, что никакие соображения о сложных процентах не могли быть включены в эту оценку; и легко увидеть, что это эквивалентно предположению, что все люди, достигшие 30-летнего возраста, обязательно доживут до 60 лет, а затем обязательно умрут. По сравнению с этой оценкой, то, что было предложено префектом претория Ульпианом, было большим улучшением. Его таблица выглядит следующим образом: [7]
Здесь также у нас нет оснований полагать, что элемент интереса был принят во внимание; и предположение, что между возрастом 40 и 50 лет каждое добавление года к возрасту номинанта уменьшает стоимость ренты на один год покупки, эквивалентно предположению, что нет вероятности того, что номинант умрет между возрастом 40 и 50 лет. Однако, если рассматривать их просто как таблицу средней продолжительности жизни, эти значения довольно точны. Во всяком случае, более точной оценки, по-видимому, не было получено до конца 17-го века. [7]
Математика аннуитетов была очень полно рассмотрена в «Трактате об аннуитетах» Демуавра (1725); «Учении об аннуитетах и реверсиях» Симпсона (1742); «Таблицах и формулах» П. Грея ; «Учении о пожизненных аннуитетах» Бейли ; также существуют бесчисленные сборники таблиц оценки и таблиц процентов , с помощью которых можно найти стоимость аннуитета в любом возрасте и при любой процентной ставке. См. также статью «проценты» , и особенно статью о страховании . [7]
Таблицы коммутации , метко названные так в 1840 году Августом Де Морганом (см. его статью «О расчете пожизненных непредвиденных обстоятельств», Assurance Magazine , xii. 328), показывают пропорцию, в которой пособие, причитающееся в одном возрасте, должно быть изменено, чтобы сохранить ту же величину и причитаться в другом возрасте. Самый ранний известный образец таблицы коммутации содержится в работе Уильяма Дейла « Введение в изучение доктрины аннуитетов» , опубликованной в 1772 году. Полный отчет об этой работе дан Ф. Хендриксом во втором номере Assurance Magazine , стр. 15–17. «Трактат о страховании» Уильяма Моргана , 1779 год, также содержит таблицу коммутации. Морган приводит таблицу как удобное средство проверки правильности значений аннуитетов, найденных обычным способом. Можно предположить, что он знал, что таблицу можно использовать для прямого расчета аннуитетов; но он, по-видимому, не знал о других его применениях. [7]
Первым автором, который полностью развил возможности таблицы, был Джон Николас Тетенс, уроженец Шлезвига, который в 1785 году, будучи профессором философии и математики в Киле, опубликовал на немецком языке « Введение в расчет пожизненных рент и страхований» . Эта работа, по-видимому, была совершенно неизвестна в Англии, пока Ф. Хендрикс не дал в первом номере журнала Assurance Magazine , стр. 1–20 (сентябрь 1850 г.), отчет о ней с переводом отрывков, описывающих построение и использование таблицы коммутации, и очерк жизни и сочинений автора, к которому мы отсылаем читателя, желающего получить более полную информацию. Здесь можно упомянуть, что Тетенс также дал только образец таблицы, по-видимому, не представляя, что лица, использующие его работу, найдут чрезвычайно полезным иметь серию таблиц коммутации, рассчитанных и напечатанных, готовых к использованию. [9]
Использование таблицы коммутации было независимо разработано в Англии — по-видимому, между 1788 и 1811 годами — Джорджем Барреттом из Петворта, Сассекс, который был сыном фермера-йомена и сам был сельским школьным учителем, а затем управляющим фермы или приставом. Принято считать Барретта создателем в Англии метода расчета стоимости рент с помощью таблицы коммутации, и этот метод соответственно иногда называют методом Барретта. (Его также называют методом коммутации и столбчатым методом.) Метод Барретта по расчету рент был объяснен им Фрэнсису Бейли в 1811 году и впервые стал известен миру в статье, написанной последним и прочитанной перед Королевским обществом в 1812 году. [10]
Из-за того, что повсеместно считалось досадной ошибкой суждения, эта статья не была рекомендована советом Королевского общества к печати, но была дана Бейли в качестве приложения ко второму выпуску (в 1813 году) его работы о пожизненных рентах и страховании. Барретт рассчитал обширные таблицы и с помощью Бейли попытался опубликовать их по подписке, но безуспешно; и единственные напечатанные таблицы, рассчитанные в его манере, помимо образцов таблиц, данных Бейли, это таблицы, содержащиеся в работе Бэббиджа « Сравнительный обзор различных учреждений по страхованию жизни» , 1826. [10]
В 1825 году Гриффит Дэвис опубликовал свои «Таблицы жизненных обстоятельств» , работу, содержащую, среди прочего, две таблицы, которые, по его признанию, получены из объяснения Бейли таблиц Барретта. [10]
Те, кто желает глубже изучить эту тему, могут обратиться к приложению к книге Бейли « Пожизненные ренты и страхование », статье Де Моргана «О расчете пожизненных непредвиденных обстоятельств», журнал Assurance Magazine , xii. 348-349; таблицам и формулам Грея , гл. viii; предисловию к « Трактату об аннуитетах» Дэвиса ; а также статьям Хендрикса в журнале Assurance Magazine , № 1, стр. 1 и № 2, стр. 12; и в частности к статье Де Моргана «Отчет о переписке между г-ном Джорджем Барреттом и г-ном Фрэнсисом Бейли» в журнале Assurance Magazine , т. iv. стр. 185. [10]
Основные таблицы коммутации, опубликованные в Англии, содержатся в следующих работах: Дэвид Джонс, « Value of Annuities and Reversary Payments» , выпущенная по частям Обществом полезных знаний, завершенная в 1843 году; Дженкин Джонс, «New Rate of Mortality» , 1843; Г. Дэвис, «Treatise on Annuities» , 1825 (выпущена в 1855 году); Дэвид Чисхолм, «Commutation Tables» , 1858; «Nelson's Contributions to Vital Statistics» , 1857; Жардин Генри, «Government Life Annuity Commutation Tables» , 1866 и 1873; Institute of Actuaries Life Tables , 1872; Р. П. Харди, «Valuation Tables» , 1873; и вклад доктора Уильяма Фарра в шестой (1844), двенадцатый (1849) и двадцатый (1857) отчеты Генерального регистратора в Англии (Английские таблицы, I. 2), а также в английскую Таблицу смертности , 1864. [10]
Теорию аннуитетов можно подробнее изучить в дискуссиях в английском журнале Института актуариев . Институт был основан в 1848 году, а первое сессионное заседание состоялось в январе 1849 года. Его создание внесло разнообразный вклад в развитие изучения теории жизненных обстоятельств. Среди них можно указать следующее: — До его создания студенты работали по большей части в одиночку и без какого-либо согласия; и когда кто-либо вносил усовершенствование в теорию, оно имело мало шансов стать публично известным, если только он не писал формальный трактат по всему предмету. Но создание института привело к гораздо большему обмену мнениями между актуариями и предоставило им готовое средство доведения до сведения своих профессиональных коллег любых усовершенствований, реальных или предполагаемых, которые, по их мнению, они внесли. Опять же, обсуждения, которые следуют за чтением докладов перед институтом, часто служили, во-первых, для того, чтобы высветить в резком виде различия во мнениях, которые ранее не подозревались, а затем смягчить эти различия, - исправить крайние мнения во всех направлениях и добиться большего согласия во мнениях по многим важным вопросам. Ни в коем случае, вероятно, цели института не были так эффективно продвинуты, как с публикацией его журнала . Первый номер этого труда, который первоначально назывался Assurance Magazine , появился в сентябре 1850 года, и он продолжался ежеквартально вплоть до настоящего времени. Он был создан в результате общественного духа двух известных актуариев (г-на Чарльза Джеллико и г-на Сэмюэля Брауна) и был принят в качестве органа Института актуариев в 1852 году и назван Assurance Magazine и Journal of the Institute of Actuaries , г-н Джеллико продолжал быть редактором, — пост, который он занимал до 1867 года, когда его сменил г-н TB Sprague (который внес вклад в 9-е издание этой Энциклопедии в виде подробной статьи о «Рентах», на которой основан приведенный выше отчет). Название было снова изменено в 1866 году, слова «Assurance Magazine» были опущены; но в следующем году было сочтено желательным восстановить их, чтобы показать преемственность публикации, и теперь он называется Journal of the Institute of Actuaries и Assurance Magazine . В этой работе содержатся не только доклады, прочитанные в институте (к которым в последние годы прилагались краткие рефераты обсуждений по ним), и множество оригинальных докладов, которые были непригодны для чтения, вместе с перепиской, но также перепечатки многих докладов, опубликованных в других местах, которые по разным причинам стали труднодоступными для обычного читателя, среди которых можно указать различные доклады, первоначально опубликованные в Philosophical Transactions., Philosophical Magazine , Mechanics' Magazine и Companion to the Almanac ; а также переводы различных статей с французского, немецкого и датского языков. Среди полезных целей, которым послужила постоянная публикация журнала института , мы можем указать в частности две: - что любое предполагаемое улучшение в теории было эффективно представлено критике всей актуарной профессии, и его реальная ценность быстро обнаруживалась; и что любое реальное улучшение, большое или малое, будучи зафиксировано, последующие авторы могли, один за другим, подхватить его и развить, каждый начиная с того места, на котором остановился предыдущий. [10]
