Рефакторизуемый номер

Целое число, делящееся на количество своих делителей

Демонстрация с помощью стержней Кюизенера возможности рефакторинга 1, 2, 8, 9 и 12.

Рефакторизуемое число или тау-число — это целое число n , которое делится на количество своих делителей , или, выражаясь алгебраически, n таково, что . Первые несколько номеров, подлежащих рефакторингу, перечислены в (последовательность A033950 в OEIS ) как ${\displaystyle \tau (n)\mid n}$

1 , 2 , 8 , 9 , 12 , 18 , 24 , 36 , 40 , 56 , 60 , 72 , 80 , 84 , 88 , 96 , 104 , 108 , 128 , 132 , 136 , 152 , 156 , 180 , 184 , 204 , 225 , 228 , 232 , 240 , 248 , 252 , 276 , 288 , 296 , ...

Например, число 18 имеет 6 делителей (1 и 18, 2 и 9, 3 и 6) и делится на 6. Существует бесконечно много рефакторизуемых чисел.

Характеристики

Купер и Кеннеди доказали, что числа, поддающиеся рефакторингу, имеют нулевую естественную плотность . Зелинский доказал, что никакие три последовательных целых числа не подлежат рефакторингу. ^[1] Колтон доказал, что ни одно рефакторизуемое число не является совершенным . Уравнение имеет решения только в том случае, если – рефакторизуемое число, где – функция наибольшего общего делителя . ${\displaystyle \gcd(n,x)=\tau (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \gcd }$

Позвольте быть числом рефакторируемых чисел, которые не превышают . Проблема определения асимптотики для открыта. Спиро доказал, что ^[2] ${\displaystyle T(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T(x)}$ ${\displaystyle T(x)={\frac {x}{{\sqrt {\log x}}(\log \log x)^{1+o(1)}}}}$

До сих пор остаются нерешенные проблемы, связанные с рефакторингом чисел. Колтон спросил, существуют ли сколь угодно большие объекты , которые можно рефакторить. Зелинский задался вопросом, существует ли число, поддающееся рефакторингу , обязательно ли существует такое, которое можно рефакторинговать, и . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n_{0}\equiv a\mod m}$ ${\displaystyle n>n_{0}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\equiv a\mod m}$

История

Впервые они были определены Кертисом Купером и Робертом Кеннеди ^[3] , где они показали, что числа тау имеют нулевую естественную плотность . Позже они были заново открыты Саймоном Колтоном с помощью созданной им компьютерной программы, которая изобретает и оценивает определения из различных областей науки. математика, такая как теория чисел и теория графов . ^[4] Колтон назвал такие числа «рефакторизуемыми». Хотя компьютерные программы и раньше обнаруживали доказательства, это открытие было одним из первых случаев, когда компьютерная программа обнаружила новую или ранее неясную идею. Колтон доказал множество результатов о числах, поддающихся рефакторингу, показав, что их бесконечно много, и доказав множество ограничений на их распределение. Лишь позже Колтона предупредили, что Кеннеди и Купер ранее исследовали эту тему.

Смотрите также

• Функция делителя

Рекомендации

1. Дж. Зелински, «Числа Тау: частичное доказательство гипотезы и другие результаты», Журнал целочисленных последовательностей , Vol. 5 (2002 г.), статья 02.2.8.
2. Спиро, Клаудия (1985). «Как часто число делителей n делит n?». Журнал теории чисел . 21 (1): 81–100. дои : 10.1016/0022-314X(85)90012-5 .
3. Купер, К.Н. и Кеннеди, RE «Числа Тау, естественная плотность и теорема Харди и Райта 437». Интерн. Дж. Математика. Математика. наук. 13, 383–386, 1990 г.
4. С. Колтон, «Числа, поддающиеся рефакторингу - машинное изобретение», Журнал целочисленных последовательностей , Vol. 2 (1999 г.), статья 99.1.2.