Вакуумное решение (общая теория относительности)

Lorentzian manifold with vanishing Einstein tensor

В общей теории относительности вакуумное решение представляет собой лоренцево многообразие , тензор Эйнштейна которого тождественно равен нулю. Согласно уравнению поля Эйнштейна , это означает, что тензор энергии-импульса также равен нулю тождественно, так что не присутствует ни материя, ни негравитационные поля. Они отличаются от электровакуумных решений , которые учитывают электромагнитное поле в дополнение к гравитационному полю. Вакуумные решения также отличаются от лямбда-вакуумных решений , где единственным членом в тензоре энергии-импульса является космологическая постоянная (и, таким образом, лямбда-вакуумы можно рассматривать как космологические модели).

В более общем смысле область вакуума в лоренцевом многообразии — это область, в которой тензор Эйнштейна равен нулю.

Вакуумные решения являются частным случаем более общих точных решений общей теории относительности .

Эквивалентные условия

Математический факт заключается в том, что тензор Эйнштейна исчезает тогда и только тогда, когда исчезает тензор Риччи . Это следует из того факта, что эти два тензора второго ранга находятся в своего рода дуальных отношениях; они являются следами, обратными друг другу:

${\displaystyle G_{ab}=R_{ab}-{\frac {R}{2}}\,g_{ab},\;\;R_{ab}=G_{ab}-{\frac {G}{2}}\,g_{ab}}$

где следы . ​ ${\displaystyle R={R^{a}}_{a},\;\;G={G^{a}}_{a}=-R}$

Третье эквивалентное условие следует из разложения Риччи тензора кривизны Римана как суммы тензора кривизны Вейля и членов, построенных из тензора Риччи: тензоры Вейля и Римана совпадают, в некоторой области тогда и только тогда, когда это область вакуума. ${\displaystyle R_{abcd}=C_{abcd}}$

Гравитационная энергия

Поскольку в области вакуума, может показаться, что согласно общей теории относительности, области вакуума не должны содержать никакой энергии . Но гравитационное поле может выполнять работу , поэтому мы должны ожидать, что само гравитационное поле будет обладать энергией, и оно ею обладает. Однако определение точного местоположения этой энергии гравитационного поля технически проблематично в общей теории относительности, по самой ее природе чистого разделения на универсальное гравитационное взаимодействие и «все остальное». ${\displaystyle T^{ab}=0}$

Тот факт, что гравитационное поле само по себе обладает энергией, дает способ понять нелинейность уравнения поля Эйнштейна: эта энергия гравитационного поля сама по себе производит больше гравитации. (Это описывается как «гравитация гравитации» ^[1] или как говорят, что «гравитация притягивает».) Это означает, что гравитационное поле за пределами Солнца немного сильнее согласно общей теории относительности, чем согласно теории Ньютона.

Примеры

Известные примеры явных вакуумных решений включают в себя:

• Пространство-время Минковского (которое описывает пустое пространство без космологической постоянной )
• Модель Милна (модель, разработанная Э. А. Милном, описывающая пустую вселенную, не имеющую кривизны)
• Вакуум Шварцшильда (описывающий геометрию пространства-времени вокруг сферической массы),
• Вакуум Керра (описывающий геометрию вокруг вращающегося объекта),
• Вакуум Тауба–НУТ (знаменитый контрпример, описывающий внешнее гравитационное поле изолированного объекта со странными свойствами),
• Вакуум Кернса–Уайлда (Роберт М. Кернс и Уолтер Дж. Уайлд, 1982) (объект Шварцшильда, погруженный в окружающее «почти однородное» гравитационное поле),
• двойной вакуум Керра (два объекта Керра, имеющих одну и ту же ось вращения, но удерживаемых друг от друга нефизическими «кабелями» с нулевой активной гравитационной массой , выходящими в бесконечно удаленные точки подвеса),
• Вакуум Хана-Пенроуза (КА Хан и Роджер Пенроуз 1971) (простая модель сталкивающихся плоских волн),
• Вакуум Освата-Шюкинга (кругово поляризованная синусоидальная гравитационная волна, еще один известный контрпример).
• Метрика Каснера (анизотропное решение, используемое для изучения гравитационного хаоса в трех или более измерениях).

Все они принадлежат к одному или нескольким общим семействам решений:

• вакуум Вейля ( Герман Вейль ) (семейство всех статических вакуумных решений),
• вакуум Бека ( Гвидо Бек 1925 ^[2] ) (семейство всех цилиндрически симметричных невращающихся вакуумных решений),
• вакуум Эрнста (Фредерик Дж. Эрнст 1968) (семейство всех стационарных осесимметричных вакуумных решений),
• вакуум Элерса ( Юрген Элерс ) (семейство всех цилиндрически симметричных вакуумных решений),
• вакуум Секереша ( George Szekeres ) (семейство всех моделей сталкивающихся гравитационных плоских волн),
• Gowdy vacua (Роберт Х. Гоуди) (космологические модели, построенные с использованием гравитационных волн),

Некоторые из упомянутых здесь семейств, члены которых получаются путем решения соответствующего линейного или нелинейного, действительного или комплексного уравнения в частных производных, оказываются очень тесно связанными, возможно, удивительным образом.

В дополнение к ним у нас также есть вакуумные pp-волновые пространства-времена , которые включают в себя гравитационные плоские волны .

Смотрите также

• Введение в математику общей теории относительности
• Топологический дефект

Ссылки

1. Маркус Пёссель (2007), «Гравитация гравитации», Einstein Online , Институт гравитационной физики Общества Макса Планка
2. Бек, Гвидо (1 декабря 1925 г.). "Zur Theorie binärer Gravitationsfelder". Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 33 (1): 713–728. дои : 10.1007/BF01328358. ISSN  0044-3328.

Источники

• Стефани, Ганс, ред. (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна (PDF) . Кембриджские монографии по математической физике (2-е изд.). Кембридж, Великобритания; Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46136-8.