Решение Лямбдавакуум

Решение уравнения поля Эйнштейна

В общей теории относительности лямбда -вакуумное решение является точным решением уравнения поля Эйнштейна , в котором единственным членом в тензоре энергии-импульса является космологическая постоянная . Это можно интерпретировать физически как своего рода классическое приближение к ненулевой энергии вакуума . Они обсуждаются здесь как отличные от вакуумных решений, в которых космологическая постоянная стремится к нулю.

Терминологическое примечание: в этой статье рассматривается стандартное понятие, но, по-видимому, стандартного термина для его обозначения не существует, поэтому мы попытались предоставить его для нужд Википедии .

Определение

Уравнение поля Эйнштейна часто записывается как с так называемым космологическим постоянным членом . Однако, можно переместить этот член в правую часть и поглотить его в тензоре энергии-импульса , так что космологический постоянный член станет просто еще одним вкладом в тензор энергии-импульса. Когда другие вклады в этот тензор исчезают, результатом является лямбда-вакуум. Эквивалентная формулировка в терминах тензора Риччи : $${\displaystyle G^{ab}+\Lambda \,g^{ab}=\kappa \,T^{ab},}$$ ${\displaystyle \Lambda \,g^{ab}}$ ${\displaystyle T^{ab}}$ $${\displaystyle G^{ab}=-\Lambda \,g^{ab}}$$ $${\displaystyle R^{ab}=\left({\tfrac {1}{2}}R-\Lambda \right)\,g^{ab}.}$$

Физическая интерпретация

Ненулевой космологический постоянный член можно интерпретировать в терминах ненулевой энергии вакуума . Возможны два случая:

• ${\displaystyle \Lambda >0}$: положительная плотность энергии вакуума и отрицательное изотропное давление вакуума, как в пространстве де Ситтера ,
• ${\displaystyle \Lambda <0}$: отрицательная плотность энергии вакуума и положительное изотропное давление вакуума, как в антидеситтеровском пространстве .

Идея о том, что вакуум имеет ненулевую плотность энергии, может показаться контринтуитивной, но это имеет смысл в квантовой теории поля. Действительно, ненулевые энергии вакуума могут быть даже экспериментально проверены в эффекте Казимира .

тензор Эйнштейна

Компоненты тензора, вычисленные относительно поля фрейма, а не координатного базиса , часто называются физическими компонентами , поскольку это компоненты, которые (в принципе) могут быть измерены наблюдателем. Фрейм состоит из четырех единичных векторных полей. Здесь первое — это времениподобное единичное векторное поле, а остальные — пространственноподобные единичные векторные поля, и оно всюду ортогонально мировым линиям семейства наблюдателей (не обязательно инерциальных наблюдателей). $${\displaystyle {\vec {e}}_{0},\;{\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e}}_{3}}$$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

Примечательно, что в случае лямбда-вакуума все наблюдатели измеряют одну и ту же плотность энергии и одно и то же (изотропное) давление. То есть тензор Эйнштейна принимает форму Сказать, что этот тензор принимает одну и ту же форму для всех наблюдателей, то же самое, что сказать, что группа изотропии лямбда-вакуума — это SO(1,3) , полная группа Лоренца . $${\displaystyle G^{{\hat {a}}{\hat {b}}}=-\Lambda {\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$$

Собственные значения

Характеристический полином тензора Эйнштейна лямбда-вакуума должен иметь вид Используя тождества Ньютона , это условие можно переписать через следы степеней тензора Эйнштейна как где — следы степеней линейного оператора, соответствующего тензору Эйнштейна, имеющего второй ранг. $${\displaystyle \chi (\zeta )=\left(\zeta +\Lambda \right)^{4}}$$ $${\displaystyle t_{2}={\tfrac {1}{4}}t_{1}^{2},\;t_{3}={\tfrac {1}{16}}t_{1}^{3},\;t_{4}={\tfrac {1}{64}}t_{1}^{4}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}t_{1}&={G^{a}}_{a},&t_{2}&={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a},\\t_{3}&={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a},&t_{4}&={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}\end{aligned}}}$$

Связь с многообразиями Эйнштейна

Определение решения лямбда-вакуума имеет математический смысл независимо от какой-либо физической интерпретации, а лямбда-вакуумы являются частным случаем концепции, изучаемой чистой математикой.

Многообразия Эйнштейна являются псевдоримановыми многообразиями, в которых тензор Риччи пропорционален метрическому тензору . Лоренцевы многообразия, которые также являются многообразиями Эйнштейна, являются именно решениями лямбда-вакуума.

Примеры

Примечательными примерами решений с использованием лямбда-вакуума являются:

• Пространство де Ситтера , часто называемое космологической моделью dS ,
• анти-де-ситтеровское пространство , часто называемое космологической моделью АдС ,
• Метрика де Ситтера–Шварцшильда , которая моделирует сферически симметричный массивный объект, погруженный во вселенную де Ситтера (и аналогично для AdS),
• Метрика Керра–де Ситтера, вращающееся обобщение последней,
• Пространство-время Нариаи ; это единственное решение в общей теории относительности, помимо электровакуума Бертотти–Робинсона, которое имеет структуру декартова произведения.

Смотрите также

• Точные решения в общей теории относительности