В математике решетка Нимейера — одна из 24 положительно определенных четных унимодулярных решеток ранга 24, которые были классифицированы Гансом-Фолькером Нимейером (1973). Венков (1978) дал упрощенное доказательство классификации. Витт (1941) упоминает , что нашел более 10 таких решеток, но не приводит никаких дополнительных подробностей. Одним из примеров решетки Нимейера является решетка Лича, найденная в 1967 году.
Решетки Нимейера обычно маркируются диаграммой Дынкина их корневой решетки . Каждая решетка Нимейера может быть построена из ее корневой решетки (за исключением решетки Лича, которая не имеет корней) путем присоединения элементов, известных как клеевые векторы, как подробно описано в §16.1 работы Конвея и Слоана (1998). Диаграммы Дынкина, связанные с решеткой Нимейера, имеют ранг либо 0, либо 24, и все их компоненты имеют одинаковое число Коксетера . (Число Коксетера, по крайней мере в этих случаях, представляет собой число корней, деленное на размерность.) Существует ровно 24 диаграммы Дынкина с этими свойствами, и оказывается, что для каждой из этих диаграмм Дынкина существует уникальная решетка Нимейера.
Полный список решеток Нимейера приведен в следующей таблице. В таблице
Если L — нечетная унимодулярная решетка размерности 8 n , а M — ее подрешетка четных векторов, то M содержится ровно в 3 унимодулярных решетках, одна из которых — L , а две другие — четные. (Если L имеет вектор нормы 1, то две четные решетки изоморфны .) Граф окрестностей Кнезера в 8 n измерениях имеет точку для каждой четной решетки и линию, соединяющую две точки, для каждой нечетной 8 n размерной решетки без векторов нормы 1, где вершины каждой линии — две четные решетки, связанные с нечетной решеткой. Между одной и той же парой вершин может быть несколько линий, и могут быть линии из вершины в нее саму. Кнезер доказал, что этот граф всегда связен. В 8 измерениях он имеет одну точку и ни одной линии, в 16 измерениях он имеет две точки, соединенные одной линией, а в 24 измерениях это следующий граф:
Каждая точка представляет одну из 24 решеток Нимейера, а соединяющие их линии представляют 24-мерные нечетные унимодулярные решетки без векторов нормы 1. Число слева — это число Кокстера решетки Нимейера. Красный индексный номер в узле указывает строку соответствующей таблицы выше.
В 32 измерениях граф соседства имеет более миллиарда вершин.
Некоторые из решеток Нимейера связаны со спорадическими простыми группами . Решетка Лича находится под действием двойного покрытия группы Конвея , а решетки A 1 24 и A 2 12 находятся под действием групп Матье M 24 и M 12 .
Решетки Нимейера, отличные от решетки Лича, соответствуют глубоким дырам решетки Лича. Это подразумевает, что аффинные диаграммы Дынкина решеток Нимейера можно увидеть внутри решетки Лича, когда две точки решетки Лича не соединены линиями, если они находятся на расстоянии , одной линией, если они находятся на расстоянии , и двойной линией, если они находятся на расстоянии .
Решетки Нимейера также соответствуют 24 орбитам примитивных векторов нулевой нормы w четной унимодулярной лоренцевой решетки II 25,1 , где решетка Нимейера, соответствующая w , есть w ⊥ / w .
