Решетка подгрупп

Диаграмма Хассе решетки подгрупп диэдральной группы Dih ₄ , где подгруппы представлены их графами циклов

В математике решетка подгрупп группы — это решетка , элементами которой являются подгруппы группы , причем частичный порядок — включение множества . В этой решетке объединение двух подгрупп — это подгруппа , порожденная их объединением , а встреча двух подгрупп — это их пересечение . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Пример

Группа диэдра Dih ₄ имеет десять подгрупп, включая себя и тривиальную подгруппу. Пять из восьми элементов группы порождают подгруппы второго порядка , а два других нетождественных элемента порождают одну и ту же циклическую подгруппу четвертого порядка. Кроме того, существуют две подгруппы вида Z ₂ × Z ₂ , порожденные парами элементов второго порядка . Решетка, образованная этими десятью подгруппами, показана на рисунке.

Этот пример также показывает, что решетка всех подгрупп группы не является модулярной решеткой в ​​общем случае. Действительно, эта конкретная решетка содержит запрещенный "пентагон" N ₅ в качестве подрешетки .

Характеристики

Для любых подгрупп A , B и C группы с A ≤ C ( A подгруппа C ), то AB ∩ C = A ( B ∩ C ); умножение здесь является произведением подгрупп . Это свойство было названо модулярным свойством групп (Aschbacher 2000) или ( модулярным законом Дедекинда) ( Robinson 1996, Cohn 2000). Поскольку для двух нормальных подгрупп произведение фактически является наименьшей подгруппой, содержащей их две, нормальные подгруппы образуют модулярную решетку .

Теорема о решетке устанавливает связь Галуа между решеткой подгрупп группы и решеткой ее частных .

Лемма Цассенхауза устанавливает изоморфизм между некоторыми комбинациями частных и произведений в решетке подгрупп.

Поскольку группы являются алгебраическими структурами, из общей теоремы (Burris & Sankappanavar 2011, стр. 33) следует, что их решетки подгрупп являются алгебраическими решетками. Это означает, что они полны и компактно порождены. Однако в общем случае нет ограничений на возможные подрешетки решетки подгрупп в том смысле, что каждая решетка изоморфна подрешетке решетки подгрупп некоторой группы. Более того, каждая конечная решетка изоморфна подрешетке решетки подгрупп некоторой конечной группы (Schmidt 1994, стр. 9). Каждая конечная дистрибутивная решетка также изоморфна нормальной решетке подгрупп некоторой группы (Silcock 1977).

Характерные решетки

Подгруппы с определенными свойствами образуют решетки, а с другими свойствами — нет.

• Нормальные подгруппы всегда образуют модулярную решетку . Фактически, существенное свойство, гарантирующее модулярность решетки, заключается в том, что подгруппы коммутируют друг с другом, т. е. являются квазинормальными подгруппами .
• Нильпотентные нормальные подгруппы образуют решетку, которая является (частью) содержания теоремы Фиттинга .
• Класс групп называется классом Фиттинга , если он замкнут относительно изоморфизма, субнормальных подгрупп и произведений субнормальных подгрупп. Для любого класса Фиттинга F как субнормальные F -подгруппы, так и нормальные F -подгруппы образуют решетки. Это обобщает вышесказанное с F - классом нильпотентных групп, а другой пример - с F - классом разрешимых групп .
• Центральные подгруппы образуют решетку.

Однако ни конечные подгруппы, ни подгруппы кручения не образуют решетку: например, свободное произведение порождается двумя элементами кручения , но является бесконечным и содержит элементы бесконечного порядка. ${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} *\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$

Тот факт, что нормальные подгруппы образуют модулярную решетку, является частным случаем более общего результата, а именно, что в любом многообразии Мальцева (примером которого являются группы) решетка конгруэнций является модулярной (Kearnes & Kiss 2013).

Характеристика групп по решеткам их подгрупп

Решеточно-теоретическая информация о решетке подгрупп иногда может быть использована для вывода информации об исходной группе, идея, которая восходит к работам Эйстейна Оре  (1937, 1938). Например, как доказал Оре , группа локально циклична тогда и только тогда, когда ее решетка подгрупп дистрибутивна . Если дополнительно решетка удовлетворяет условию возрастающей цепи , то группа циклична.

Группы, решетка подгрупп которых является дополняемой решеткой, называются дополняемыми группами (Zacher 1953), а группы, решетка подгрупп которых является модулярными решетками , называются группами Ивасавы или модулярными группами (Iwasawa 1941). Решеточно-теоретические характеризации этого типа существуют также для разрешимых групп и совершенных групп (Suzuki 1951).

Ссылки

• Ашбахер, М. (2000). Теория конечных групп . Cambridge University Press. стр. 6. ISBN 978-0-521-78675-1.
• Бэр, Рейнхольд (1939). «Значение системы подгрупп для структуры группы». American Journal of Mathematics . 61 (1). Издательство Университета Джона Хопкинса: 1–44. doi :10.2307/2371383. JSTOR  2371383.
• Кон, Пол Мориц (2000). Классическая алгебра . Wiley. стр. 248. ISBN 978-0-471-87731-8.
• Ивасава, Кенкити (1941), «Über die endlichen Gruppen und die Verbände ihrer Untergruppen», J. Fac. наук. Имп. унив. Токио. Секта. И. , 4 : 171–199, МР  0005721
• Кернс, Кит; Кисс, Эмиль В. (2013). Форма конгруэнтных решеток . Американское математическое общество. стр. 3. ISBN 978-0-8218-8323-5.
• Оре, Эйстейн (1937). «Структуры и теория групп. I». Duke Mathematical Journal . 3 (2): 149–174. doi :10.1215/S0012-7094-37-00311-9. MR  1545977.
• Оре, Эйстейн (1938). «Структуры и теория групп. II». Duke Mathematical Journal . 4 (2): 247–269. doi :10.1215/S0012-7094-38-00419-3. hdl : 10338.dmlcz/100155 . MR  1546048.
• Робинсон, Дерек (1996). Курс теории групп . Springer Science & Business Media. стр. 15. ISBN 978-0-387-94461-6.
• Роттлендер, Ада (1928). «Nachweis der Existenz nicht-isomorpher Gruppen von gleicher Situation der Untergruppen». Mathematische Zeitschrift . 28 (1): 641–653. дои : 10.1007/BF01181188. S2CID  120596994.
• Шмидт, Роланд (1994). Решетки подгрупп групп . Выставки по математике. Том. 14. Вальтер де Грюйтер. ISBN 978-3-11-011213-9.Обзор Ральфа Фриза в Bull. AMS 33 (4): 487–492.
• Судзуки, Мичио (1951). «О решетке подгрупп конечных групп». Труды Американского математического общества . 70 (2). Американское математическое общество: 345–371. doi : 10.2307/1990375 . JSTOR  1990375.
• Судзуки, Митио (1956). Структура группы и структура ее решетки подгрупп . Берлин: Springer Verlag.
• Яковлев, Б. В. (1974). «Условия, при которых решетка изоморфна решетке подгрупп группы». Алгебра и логика . 13 (6): 400–412. doi :10.1007/BF01462952. S2CID  119943975.
• Силкок, Ховард Л. (1977). «Обобщенные сплетения и решетка нормальных подгрупп группы» (PDF) . Algebra Universalis . 7 : 361–372.
• Захер, Джованни (1953). «Caratterizzazione dei gruppi risolubili d'ordine finito compleati». Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova . 22 : 113–122. ISSN  0041-8994. МР  0057878.
• Burris, S.; Sankappanavar, HP (2011). Курс универсальной алгебры . Graduate Texts in Mathematics. Том 78. Springer Verlag. ISBN 978-1-4613-8132-7.

Внешние ссылки

• Запись PlanetMath о решетке подгрупп
• Пример: Решетка подгрупп симметрической группы S4