В геометрии тригексагональная мозаика — одна из 11 равномерных мозаик евклидовой плоскости правильными многоугольниками . [1] Она состоит из равносторонних треугольников и правильных шестиугольников , расположенных так, что каждый шестиугольник окружен треугольниками и наоборот. Название происходит от того факта, что она объединяет правильную шестиугольную мозаику и правильную треугольную мозаику . Два шестиугольника и два треугольника чередуются вокруг каждой вершины , а ее ребра образуют бесконечное расположение линий . Ее двойственной является ромбическая мозаика . [2]
Этот узор и его место в классификации однородных мозаик были известны еще Иоганну Кеплеру в его книге 1619 года Harmonices Mundi . [3] Этот узор долгое время использовался в японском плетении , где он назывался кагоме . Японский термин для этого узора был взят в физике, где он называется решеткой кагоме . Он также встречается в кристаллических структурах некоторых минералов. Конвей называет его гексадельтилем , объединяя альтернативные элементы из гексагональной мозаики (гекстиль) и треугольной мозаики (дельтиль). [4]
Кагомэ ( яп .籠目) — традиционный японский узор, плетённый из бамбука; его название образовано от слов каго , что означает «корзина», и мэ , что означает «глаз(а)», что отсылает к рисунку отверстий в плетёной корзине.
Узор кагоме распространен в бамбуковом плетении в Восточной Азии. В 2022 году археологи обнаружили остатки бамбукового плетения в руинах Дунсуньба в Чунцине, Китай, 200 г. до н. э. Спустя 2200 лет узор кагоме все еще отчетливо виден. [5] [6]
Это тканое расположение планок, составленных из переплетенных треугольников, так что каждая точка пересечения двух планок имеет четыре соседние точки, образуя узор тригексагональной плитки. Тканый процесс придает Кагоме хиральную симметрию группы обоев , p6 (632).
Термин решетка кагоме был придуман японским физиком Коди Хусими и впервые появился в статье 1951 года его помощника Ичиро Сёдзи. [7] Решетка кагоме в этом смысле состоит из вершин и ребер тригексагональной мозаики. Несмотря на название, эти точки пересечения не образуют математическую решетку .
Связанная трехмерная структура, образованная вершинами и ребрами четвертькубических сот , заполняющих пространство правильными тетраэдрами и усеченными тетраэдрами , была названа решеткой гиперкагоме . [8] Она представлена вершинами и ребрами четвертькубических сот , заполняющих пространство правильными тетраэдрами и усеченными тетраэдрами . Она содержит четыре набора параллельных плоскостей точек и линий, причем каждая плоскость является двумерной решеткой кагоме. Второе выражение в трех измерениях имеет параллельные слои двумерных решеток и называется орторомбической решеткой кагоме . [8] Тригексагональные призматические соты представляют свои ребра и вершины.
Некоторые минералы , а именно ярозиты и гербертсмититы , содержат двумерные слои или трехмерную решетку кагоме, в которой атомы расположены в своей кристаллической структуре . Эти минералы демонстрируют новые физические свойства, связанные с геометрически фрустрированным магнетизмом . Например, спиновое расположение магнитных ионов в Co3V2O8 находится в решетке кагоме, которая демонстрирует захватывающее магнитное поведение при низких температурах. [ 9] Было обнаружено, что квантовые магниты, реализованные на металлах кагоме, демонстрируют множество неожиданных электронных и магнитных явлений. [10] [ 11] [12] [13] Также предполагается, что поведение SYK можно наблюдать в двумерной решетке кагоме с примесями. [14]
В настоящее время этот термин широко используется в научной литературе, особенно теоретиками, изучающими магнитные свойства теоретической решетки кагоме.
См. также: Гербы Кагоме .
Тригексагональная мозаика имеет символ Шлефли r{6,3}, или диаграмму Коксетера ,
, символизируя тот факт, что это выпрямленная шестиугольная мозаика , {6,3}. Ее симметрии можно описать группой обоев p6mm, (*632), [15], и мозаика может быть выведена как конструкция Витхоффа в пределах отражательных фундаментальных областей этой группы . Тригексагональная мозаика является квазирегулярной мозаикой , чередующейся из двух типов многоугольников, с конфигурацией вершин (3.6) 2 . Это также однородная мозаика , одна из восьми, полученных из правильной шестиугольной мозаики.
Существует две различные однородные раскраски тригексагональной мозаики. Названия цветов индексами на 4 гранях вокруг вершины (3.6.3.6): 1212, 1232. [1] Вторая называется кантической гексагональной мозаикой , h 2 {6,3}, с двумя цветами треугольников, существующими в симметрии p3m1 (*333).
Тригексагональную мозаику можно использовать в качестве упаковки кругов , размещая круги одинакового диаметра в центре каждой точки. [16] Каждый круг соприкасается с 4 другими кругами в упаковке ( число соприкосновения ).
Тригексагональная мозаика может быть геометрически искажена в топологически эквивалентные мозаики с более низкой симметрией. [1] В этих вариантах мозаики края не обязательно выстраиваются в линию, образуя прямые линии.
Тригексагональная мозаика существует в последовательности симметрий квазирегулярных мозаик с конфигурациями вершин (3. n ) 2 , прогрессирующих от мозаик сферы до евклидовой плоскости и в гиперболической плоскости. С симметрией орбифолдной нотации * n 32 все эти мозаики являются wythoff конструкцией в фундаментальной области симметрии с точками генератора в прямоугольном углу области. [17] [18]
Существует 2 правильных комплексных апейрогона , разделяющих вершины тригексагональной мозаики. Правильные комплексные апейрогоны имеют вершины и ребра, где ребра могут содержать 2 или более вершин. Правильные апейрогоны p { q } r ограничены: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Ребра имеют p вершин, расположенных как правильный многоугольник , а вершинные фигуры являются r -угольными. [19]
Первый состоит из треугольных ребер, по два вокруг каждой вершины, второй имеет шестиугольные ребра, по два вокруг каждой вершины.
{{cite web}}: CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )