Теорема соответствия

В теории групп теорема о соответствии ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]} (также теорема о решетке ^[9] и по -разному и неоднозначно третья и четвертая теоремы об изоморфизме ^{[6] [10]} ) утверждает, что если — нормальная подгруппа группы , то существует биекция из множества всех подгрупп группы , содержащей , на множество всех подгрупп фактор-группы . Грубо говоря, структура подгрупп группы точно такая же, как структура подгрупп группы , содержащей , свернутая до единичного элемента . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

В частности, если

G — группа,

${\displaystyle N\triangleleft G}$, нормальная подгруппа группы G ,

${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{A\mid N\subseteq A<G\}}$, множество всех подгрупп A группы G , содержащих N , и

${\displaystyle {\mathcal {N}}=\{S\mid S<G/N\}}$, множество всех подгрупп G / N ,

то существует биективное отображение такое, что ${\displaystyle \phi :{\mathcal {G}}\to {\mathcal {N}}}$

${\displaystyle \phi (A)=A/N}$для всех ${\displaystyle A\in {\mathcal {G}}.}$

Далее следует, что если A и B находятся в то ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

• ${\displaystyle A\subseteq B}$тогда и только тогда, когда ; ${\displaystyle A/N\subseteq B/N}$
• если то , где - индекс A в B ( число смежных классов bA для A в B ); ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle |B:A|=|B/N:A/N|}$ ${\displaystyle |B:A|}$
• ${\displaystyle \langle A,B\rangle /N=\left\langle A/N,B/N\right\rangle ,}$где подгруппа , порожденная ${\displaystyle \langle A,B\rangle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A\cup B;}$
• ${\displaystyle (A\cap B)/N=A/N\cap B/N}$, и
• ${\displaystyle A}$является нормальной подгруппой тогда и только тогда, когда является нормальной подгруппой . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A/N}$ ${\displaystyle G/N}$

Этот список далеко не исчерпывающий. Фактически, большинство свойств подгрупп сохраняются в их образах при биекции на подгруппы факторгруппы.

В более общем случае существует монотонная связь Галуа между решеткой подгрупп группы ( не обязательно содержащей ) и решеткой подгрупп группы : нижний сопряженный элемент подгруппы группы задается выражением , а верхний сопряженный элемент подгруппы группы задается выражением . Соответствующий оператор замыкания на подгруппах группы равен ; соответствующий оператор ядра на подгруппах группы равен тождеству. Доказательство теоремы о соответствии можно найти здесь. ${\displaystyle (f^{*},f_{*})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f^{*}(H)=HN/N}$ ${\displaystyle K/N}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle f_{*}(K/N)=K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\bar {H}}=HN}$ ${\displaystyle G/N}$

Аналогичные результаты справедливы для колец , модулей , векторных пространств и алгебр . В более общем смысле аналогичный результат , который касается отношений конгруэнтности вместо нормальных подгрупп, справедлив для любой алгебраической структуры .

Смотрите также

• Модульная решетка

Ссылки

1. Дерек Джон Скотт Робинсон (2003). Введение в абстрактную алгебру . Вальтер де Грютер. п. 64. ИСБН 978-3-11-017544-8.
2. JF Humphreys (1996). Курс теории групп . Oxford University Press. стр. 65. ISBN 978-0-19-853459-4.
3. HE Rose (2009). Курс по конечным группам . Springer. стр. 78. ISBN 978-1-84882-889-6.
4. JL Alperin; Rowen B. Bell (1995). Группы и представления . Springer. стр. 11. ISBN 978-1-4612-0799-3.
5. I. Martin Isaacs (1994). Алгебра: курс для выпускников . Американское математическое общество. стр. 35. ISBN 978-0-8218-4799-2.
6. Джозеф Ротман (1995). Введение в теорию групп (4-е изд.). Springer. стр. 37–38. ISBN 978-1-4612-4176-8.
7. W. Keith Nicholson (2012). Введение в абстрактную алгебру (4-е изд.). John Wiley & Sons. стр. 352. ISBN 978-1-118-31173-8.
8. Стивен Роман (2011). Основы теории групп: продвинутый подход . Springer Science & Business Media. стр. 113–115. ISBN 978-0-8176-8301-6.
9. WR Scott: Теория групп , Prentice Hall, 1964, стр. 27.
10. Джонатан К. Ходж; Стивен Шликер; Тед Сандстром (2013). Абстрактная алгебра: подход, основанный на исследовании . CRC Press. стр. 425. ISBN 978-1-4665-6708-5.