Процесс рождения

Тип непрерывного процесса в теории вероятностей

Процесс рождения с показателями рождаемости . ${\displaystyle \lambda _{0},\lambda _{1},\lambda _{2},...}$

В теории вероятностей процесс рождения или чистый процесс рождения ^[1] является частным случаем непрерывного во времени процесса Маркова и обобщением процесса Пуассона . Он определяет непрерывный процесс, который принимает значения в натуральных числах и может только увеличиваться на единицу («рождение») или оставаться неизменным. Это тип процесса рождения-смерти без смертей. Скорость, с которой происходят рождения, задается экспоненциальной случайной величиной , параметр которой зависит только от текущего значения процесса

Определение

Определение рождаемости

Процесс рождения с показателями рождаемости и начальным значением является минимальным непрерывным справа процессом, таким что и времена между прибытиями являются независимыми экспоненциальными случайными величинами с параметром . ^[2] ${\displaystyle (\lambda _{n},n\in \mathbb {N} )}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (X_{t},t\geq 0)}$ ${\displaystyle X_{0}=k}$ ${\displaystyle T_{i}=\inf\{t\geq 0:X_{t}=i+1\}-\inf\{t\geq 0:X_{t}=i\}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$

Определение бесконечно малых величин

Процесс рождения с показателями и начальным значением — это процесс , при котором: ${\displaystyle (\lambda _{n},n\in \mathbb {N} )}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (X_{t},t\geq 0)}$

• ${\displaystyle X_{0}=k}$
• ${\displaystyle \forall s,t\geq 0:s<t\implies X_{s}\leq X_{t}}$
• ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{t+h}=X_{t}+1)=\lambda _{X_{t}}h+o(h)}$
• ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{t+h}=X_{t})=o(h)}$
• ${\displaystyle \forall s,t\geq 0:s<t\implies X_{t}-X_{s}}$не зависит от ${\displaystyle (X_{u},u<s)}$

(В третьем и четвертом условиях используется мало обозначений.)

Эти условия гарантируют, что процесс начинается при , не убывает и имеет независимые одиночные рождения непрерывно со скоростью , когда процесс имеет значение . ^[3] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \lambda _{n}}$ ${\displaystyle n}$

Определение непрерывной цепи Маркова

Процесс рождения можно определить как непрерывный во времени марковский процесс (CTMC) с ненулевыми элементами Q-матрицы и начальным распределением (случайная величина, которая принимает значение с вероятностью 1). ^[4] ${\displaystyle (X_{t},t\geq 0)}$ ${\displaystyle q_{n,n+1}=\lambda _{n}=-q_{n,n}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}-\lambda _{0}&\lambda _{0}&0&0&\cdots \\0&-\lambda _{1}&\lambda _{1}&0&\cdots \\0&0&-\lambda _{2}&\lambda _{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \ddots \end{pmatrix}}}$

Вариации

Некоторые авторы требуют, чтобы процесс рождения начинался с 0, т.е. чтобы , ^[3] в то время как другие допускают, чтобы начальное значение было задано распределением вероятностей по натуральным числам. ^[2] Пространство состояний может включать бесконечность в случае взрывного процесса рождения. ^[2] Показатели рождаемости также называются интенсивностями. ^[3] ${\displaystyle X_{0}=0}$

Характеристики

Что касается CTMC, процесс рождения имеет свойство Маркова . Определения CTMC для сообщающихся классов, неприводимости и т. д. применяются к процессам рождения. По условиям повторяемости и транзитивности процесса рождения –смерти ^[5] любой процесс рождения является транзитивным. Матрицы перехода процесса рождения удовлетворяют прямым и обратным уравнениям Колмогорова . ${\displaystyle ((p_{i,j}(t))_{i,j\in \mathbb {N} }),t\geq 0)}$

Обратные уравнения: ^[6]

${\displaystyle p'_{i,j}(t)=\lambda _{i}(p_{i+1,j}(t)-p_{i,j}(t))}$(для ) ${\displaystyle i,j\in \mathbb {N} }$

Прямые уравнения: ^[7]

${\displaystyle p'_{i,i}(t)=-\lambda _{i}p_{i,i}(t)}$(для ) ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle p'_{i,j}(t)=\lambda _{j-1}p_{i,j-1}(t)-\lambda _{j}p_{i,j}(t)}$(для ) ${\displaystyle j\geq i+1}$

Из прямых уравнений следует, что: ^[7]

${\displaystyle p_{i,i}(t)=e^{-\lambda _{i}t}}$(для ) ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle p_{i,j}(t)=\lambda _{j-1}e^{-\lambda _{j}t}\int _{0}^{t}e^{\lambda _{j}s}p_{i,j-1}(s)\,{\text{d}}s}$(для ) ${\displaystyle j\geq i+1}$

В отличие от процесса Пуассона, процесс рождения может иметь бесконечно много рождений за конечное время. Мы определяем и говорим, что процесс рождения взрывается, если является конечным. Если то процесс является взрывным с вероятностью 1; в противном случае он не является взрывным с вероятностью 1 («честный»). ^{[8] [9]} ${\displaystyle T_{\infty }=\sup\{T_{n}:n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle T_{\infty }}$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}}}<\infty }$

Примеры

Пуассоновский процесс — это частный случай процесса рождения.

Пуассоновский процесс – это процесс рождаемости, при котором коэффициенты рождаемости постоянны, т.е. для некоторых . ^[3] ${\displaystyle \lambda _{n}=\lambda }$ ${\displaystyle \lambda >0}$

Простой процесс рождения

Простой процесс рождаемости, при котором уровень рождаемости равен численности текущего населения.

Простой процесс рождения — это процесс рождения с темпами . ^[10] Он моделирует популяцию, в которой каждая особь рожает неоднократно и независимо со скоростью . Udny Yule изучал эти процессы, поэтому их можно назвать процессами Юла . ^[11] ${\displaystyle \lambda _{n}=n\lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Число рождений во времени в результате простого процесса рождения населения определяется по формуле: ^[3] ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle p_{n,n+m}(t)={\binom {n}{m}}(\lambda t)^{m}(1-\lambda t)^{n-m}+o(h)}$

В точном виде число рождений представляет собой отрицательное биномиальное распределение с параметрами и . Для частного случая это геометрическое распределение с показателем успешности . ^[12] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e^{-\lambda t}}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle e^{-\lambda t}}$

Ожидание процесса растет экспоненциально; в частности, если , то . [ ^10] ${\displaystyle X_{0}=1}$ ${\displaystyle \mathbb {E} (X_{t})=e^{\lambda t}}$

Простой процесс рождения с иммиграцией является модификацией этого процесса с коэффициентами . Это моделирует популяцию с рождениями каждого члена популяции в дополнение к постоянному коэффициенту иммиграции в систему. ^[3] ${\displaystyle \lambda _{n}=n\lambda +\nu }$

Примечания

1. Аптон и Кук (2014), процесс рождения и смерти.
2. Norris (1997), стр. 81.
3. Гримметт и Стирзакер (1992), стр. 232.
4. Норрис (1997), стр. 81–82.
5. Карлин и МакГрегор (1957).
6. Росс (2010), стр. 386.
7. Ross (2010), стр. 389.
8. Норрис (1997), стр. 83.
9. Гримметт и Стирзакер (1992), стр. 234.
10. Norris (1997), стр. 82.
11. Росс (2010), стр. 375.
12. Росс (2010), стр. 383.

Ссылки

• Grimmett, GR ; Stirzaker, DR (1992). Вероятность и случайные процессы (второе изд.). Oxford University Press. ISBN 0198572220.
• Карлин, Сэмюэл ; МакГрегор, Джеймс (1957). «Классификация процессов рождения и смерти» (PDF) . Труды Американского математического общества . 86 (2): 366–400.
• Норрис, Дж. Р. (1997). Цепи Маркова . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780511810633.
• Росс, Шелдон М. (2010). Введение в вероятностные модели (десятое изд.). Academic Press. ISBN 9780123756862.
• Аптон, Г.; Кук, И. (2014). Словарь статистики (третье изд.). ISBN 9780191758317.