Многогранник с шестью ромбами в качестве граней
В геометрии ромбоэдр (также называемый ромбическим шестигранником [1] [2] или, неточно, ромбоидом [ a] ) является частным случаем параллелепипеда, в котором все шесть граней являются конгруэнтными ромбами . [3] Его можно использовать для определения ромбоэдрической решетчатой системы , сот с ромбоэдрическими ячейками. Ромбоэдр имеет две противоположные вершины , в которых все углы граней равны; вытянутый ромбоэдр имеет этот общий угол острый, а сплющенный ромбоэдр имеет тупой угол в этих вершинах. Куб является частным случаем ромбоэдра со всеми сторонами квадратными .
Особые случаи
Общий угол при двух вершинах здесь дан как . Существуют две общие формы ромбоэдра: сплющенный (уплощенный) и вытянутый (растянутый).
В сплющенном и вытянутом случае . Ибо фигура — куб.
Определенные пропорции ромбов приводят к некоторым хорошо известным особым случаям. Они обычно встречаются как в вытянутой, так и в сплющенной форме.
Твёрдая геометрия
Для единичного (т.е. с длиной стороны 1) ромбоэдра [4] с ромбическим острым углом , с одной вершиной в начале координат (0, 0, 0) и с одним ребром, лежащим вдоль оси x, три порождающих вектора равны
- е 1 :
- е 2 :
- е 3 :
Остальные координаты можно получить путем сложения векторов [5] трех векторов направления: e 1 + e 2 , e 1 + e 3 , e 2 + e 3 и e 1 + e 2 + e 3 .
Объем ромбоэдра, выраженный через длину его стороны и его ромбический острый угол , является упрощением объема параллелепипеда и определяется по формуле
Мы можем выразить объем другим способом:
Так как площадь (ромбического) основания определяется как , а высота ромбоэдра определяется его объемом, деленным на площадь его основания, то высота ромбоэдра через длину его стороны и его ромбический острый угол определяется как
Примечание:
- 3 , где 3 — третья координата e 3 .
Диагональ тела между остроугольными вершинами самая длинная. По вращательной симметрии относительно этой диагонали, остальные три диагонали тела между тремя парами противоположных тупоугольных вершин имеют одинаковую длину.
Связь с ортоцентрическими тетраэдрами
Четыре точки, образующие несмежные вершины ромбоэдра, обязательно образуют четыре вершины ортоцентрического тетраэдра , и все ортоцентрические тетраэдры могут быть образованы таким образом. [6]
Ромбоэдрическая решетка
Система ромбоэдрической решетки имеет ромбоэдрические ячейки с 6 конгруэнтными ромбическими гранями, образующими треугольный трапецоэдр [ требуется ссылка ] :
Смотрите также
Примечания
- ^ Точнее, ромбоид — это двумерная фигура.
Ссылки
- ^ Миллер, Уильям А. (январь 1989). «Математический ресурс: головоломки с ромбическими додекаэдрами». Математика в школе . 18 (1): 18–24. JSTOR 30214564.
- ^ Инчбальд, Гай (июль 1997 г.). «Двойственные архимедовы соты». The Mathematical Gazette . 81 (491): 213–219. doi :10.2307/3619198. JSTOR 3619198.
- ^ Коксетер, HSM. Правильные многогранники. Третье издание. Довер. С.26.
- ^ Lines, L (1965). Стереометрия: с главами о пространственных решетках, пакетах сфер и кристаллах . Dover Publications.
- ^ "Vector Addition". Wolfram. 17 мая 2016 г. Получено 17 мая 2016 г.
- ↑ Court, NA (октябрь 1934 г.), «Заметки об ортоцентрическом тетраэдре», American Mathematical Monthly , 41 (8): 499–502, doi :10.2307/2300415, JSTOR 2300415.
Внешние ссылки