Ромбоэдр

Многогранник с шестью ромбами в качестве граней

В геометрии ромбоэдр (также называемый ромбическим шестигранником ^{[1] [2]} или, неточно, ромбоидом [ ^a] ) является частным случаем параллелепипеда, в котором все шесть граней являются конгруэнтными ромбами . ^[3] Его можно использовать для определения ромбоэдрической решетчатой ​​системы , сот с ромбоэдрическими ячейками. Ромбоэдр имеет две противоположные вершины , в которых все углы граней равны; вытянутый ромбоэдр имеет этот общий угол острый, а сплющенный ромбоэдр имеет тупой угол в этих вершинах. Куб является частным случаем ромбоэдра со всеми сторонами квадратными .

Особые случаи

Общий угол при двух вершинах здесь дается как . Существуют две общие формы ромбоэдра: сплющенный (уплощенный) и вытянутый (растянутый). ${\displaystyle \theta }$

В сплющенном и вытянутом случае . Поскольку фигура — куб. ${\displaystyle \theta >90^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta <90^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$

Определенные пропорции ромбов приводят к некоторым хорошо известным особым случаям. Они обычно встречаются как в вытянутой, так и в сплющенной форме.

Твёрдая геометрия

Для единичного (т.е. с длиной стороны 1) ромбоэдра ^[4] с ромбическим острым углом , с одной вершиной в начале координат (0, 0, 0) и с одним ребром, лежащим вдоль оси x, три порождающих вектора равны ${\displaystyle \theta ~}$

е ₁  : ${\displaystyle {\biggl (}1,0,0{\biggr )},}$

е ₂  : ${\displaystyle {\biggl (}\cos \theta ,\sin \theta ,0{\biggr )},}$

е ₃  : ${\displaystyle {\biggl (}\cos \theta ,{\cos \theta -\cos ^{2}\theta \over \sin \theta },{{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }} \over \sin \theta }{\biggr )}.}$

Остальные координаты можно получить путем сложения векторов ^[5] трех векторов направления: e ₁ + e ₂ , e ₁ + e ₃ , e ₂ + e ₃ и e ₁ + e ₂ + e ₃ .

Объем ромбоэдра, выраженный через длину его стороны и его ромбический острый угол , является упрощением объема параллелепипеда и определяется по формуле ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \theta ~}$

${\displaystyle V=a^{3}(1-\cos \theta ){\sqrt {1+2\cos \theta }}=a^{3}{\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}(1+2\cos \theta )}}=a^{3}{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }}~.}$

Мы можем выразить объем другим способом: ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=2{\sqrt {3}}~a^{3}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {1-{\frac {4}{3}}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)}}~.}$

Так как площадь (ромбического) основания определяется как , а высота ромбоэдра определяется его объемом, деленным на площадь его основания, то высота ромбоэдра через длину его стороны и его ромбический острый угол определяется как ${\displaystyle a^{2}\sin \theta ~}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle h=a~{(1-\cos \theta ){\sqrt {1+2\cos \theta }} \over \sin \theta }=a~{{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }} \over \sin \theta }~.}$

Примечание:

${\displaystyle h=a~z}$₃ , где ₃ — третья координата e ₃ . ${\displaystyle z}$

Диагональ тела между остроугольными вершинами самая длинная. По вращательной симметрии относительно этой диагонали, остальные три диагонали тела между тремя парами противоположных тупоугольных вершин имеют одинаковую длину.

Отношение к ортоцентрическим тетраэдрам

Четыре точки, образующие несмежные вершины ромбоэдра, обязательно образуют четыре вершины ортоцентрического тетраэдра , и все ортоцентрические тетраэдры могут быть образованы таким образом. ^[6]

Ромбоэдрическая решетка

Система ромбоэдрической решетки имеет ромбоэдрические ячейки с 6 конгруэнтными ромбическими гранями, образующими треугольный трапецоэдр ^{[ требуется ссылка ]} :

Смотрите также

• Списки фигур

Примечания

1. Точнее, ромбоид — это двумерная фигура.

Ссылки

1. Миллер, Уильям А. (январь 1989). «Математический ресурс: головоломки с ромбическими додекаэдрами». Математика в школе . 18 (1): 18–24. JSTOR  30214564.
2. Инчбальд, Гай (июль 1997 г.). «Двойственные архимедовы соты». The Mathematical Gazette . 81 (491): 213–219. doi :10.2307/3619198. JSTOR  3619198.
3. Коксетер, HSM. Правильные многогранники. Третье издание. Довер. С.26.
4. Lines, L (1965). Стереометрия: с главами о пространственных решетках, пакетах сфер и кристаллах . Dover Publications.
5. "Vector Addition". Wolfram. 17 мая 2016 г. Получено 17 мая 2016 г.
6. Court, NA (октябрь 1934 г.), «Заметки об ортоцентрическом тетраэдре», American Mathematical Monthly , 41 (8): 499–502, doi :10.2307/2300415, JSTOR  2300415.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Ромбоэдр". MathWorld .
• Калькулятор объема https://rechneronline.de/pi/rhombohedron.php