В геометрии ромбоэдр (также называемый ромб-шестигранником [1] или , неточно, ромбоидом ) — трёхмерная фигура с шестью гранями, являющимися ромбами . Это частный случай параллелепипеда , у которого все ребра одинаковой длины. Его можно использовать для определения ромбоэдрической решетчатой системы — сот с ромбоэдрическими ячейками. Куб — это частный случай ромбоэдра, у которого все стороны квадратные .
В общем, ромбоэдр может иметь до трех типов ромбических граней в конгруэнтных противоположных парах, симметрия C i , порядок 2.
Четыре точки, образующие несмежные вершины ромбоэдра, обязательно образуют четыре вершины ортоцентрического тетраэдра , и таким способом можно образовать все ортоцентрические тетраэдры. [2]
Ромбоэдрическая решётчатая система
Система ромбоэдрической решетки имеет ромбоэдрические ячейки с 6 конгруэнтными ромбическими гранями, образующими тригональный трапецоэдр :
Особые случаи симметрии
Куб : с симметрией Oh , порядок 48. Все грани квадратные .
Тригональный трапецоэдр (также называемый равногранным ромбоэдром ): [3] с симметрией D 3d , порядок 12. Все нетупые внутренние углы граней равны (все грани конгруэнтны ромбоэдра). В этом можно убедиться, растянув куб по его оси, диагональной телу. Например, правильный октаэдр с двумя правильными тетраэдрами , прикрепленными на противоположных гранях, образует тригональный трапецоэдр с углом 60 градусов .
Косая ромбическая призма : с симметрией C 2h , порядок 4. Она имеет только одну плоскость симметрии, проходящую через четыре вершины, и шесть ромбических граней.
Твердая геометрия
Для единичного (т. е. с длиной стороны 1) изоэдрального ромбоэдра, [3] с ромбическим острым углом , с одной вершиной в начале координат (0, 0, 0) и с одним ребром, лежащим вдоль оси x, три порождающие векторы
е 1 :
е 2 :
е 3 :
Остальные координаты могут быть получены векторным сложением [ 4 ] трех векторов направления : e1 + e2 , e1 + e3 , e2 + e3 и e1 + e2 + e3 .
Объем равногранного ромбоэдра, выраженный в терминах длины его стороны и ромбовидного острого угла , представляет собой упрощение объема параллелепипеда и определяется выражением
Мы можем выразить объем другим способом:
Поскольку площадь (ромбического) основания определяется выражением , а высота ромбоэдра определяется его объемом, деленным на площадь его основания, то высота равногранного ромбоэдра выражается через длину его стороны и его ромбический острый угол. дан кем-то
Примечание:
3 , где 3 — третья координата e 3 .
Диагональ тела между остроугольными вершинами самая длинная. Благодаря вращательной симметрии относительно этой диагонали все остальные три диагонали тела между тремя парами противоположных тупоугольных вершин имеют одинаковую длину.