Расширение оператора временной эволюции
В теории рассеяния , части математической физики , ряд Дайсона , сформулированный Фрименом Дайсоном , представляет собой пертурбативное разложение оператора эволюции во времени в картине взаимодействия . Каждый член может быть представлен суммой диаграмм Фейнмана .
Этот ряд асимптотически расходится , но в квантовой электродинамике (КЭД) во втором порядке отличие от экспериментальных данных составляет порядка 10 −10 . Это близкое согласие сохраняется, поскольку константа связи (также известная как константа тонкой структуры ) КЭД намного меньше 1. [ необходимы пояснения ]
Оператор Дайсона
В картине взаимодействия гамильтониан H можно разбить на свободную часть H 0 и взаимодействующую часть V S ( t ) как H = H 0 + V S ( t ) .
Потенциал во взаимодействующей картине
![{\displaystyle V_{\mathrm {I} }(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0}(tt_{0})/\hbar }V_ {\mathrm {S} }(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0}(t-t_{0})/\hbar },}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где не зависит от времени и является, возможно, зависящей от времени взаимодействующей частью картины Шрёдингера . Чтобы избежать индексов, в дальнейшем обозначает .![{\displaystyle H_{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V_{\mathrm {S} }(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle V (т)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V_{\mathrm {I} }(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В картине взаимодействия оператор эволюции U определяется уравнением:
![{\displaystyle \Psi (t)=U (t,t_{0})\Psi (t_{0})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Иногда его называют оператором Дайсона .
Оператор эволюции образует унитарную группу по параметру времени. Имеет групповые свойства:
- Идентичность и нормализация: [1]
![{\displaystyle U(t,t)=1,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Состав: [2]
![{\displaystyle U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0}),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Обращение времени: [ нужны разъяснения ]
![{\displaystyle U^{-1}(t,t_{0})=U(t_{0},t),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Унитарность: [3]
![{\displaystyle U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=\mathbb {1} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и из них можно вывести уравнение эволюции во времени пропагатора: [4]
![{\displaystyle я\hbar {\frac {d}{dt}}U(t,t_{0})\Psi (t_{0})=V(t)U(t,t_{0})\Psi ( t_{0}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В картине взаимодействия гамильтониан совпадает с потенциалом взаимодействия , и поэтому уравнение также можно записать в картине взаимодействия как![{\displaystyle H_{\rm {int}}=V(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle я\hbar {\frac {d}{dt}}\Psi (t)=H _ {\rm {int}}\Psi (t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Внимание : на этот раз уравнение эволюции не следует путать с уравнением Томонаги-Швингера .
Формальное решение
![{\displaystyle U(t,t_{0})=1-i\hbar ^{-1}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}\ V(t_{1})U (t_{1},t_{0})},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
что в конечном итоге является разновидностью интеграла Вольтерра .
Вывод серии Дайсона
Итерационное решение приведенного выше уравнения Вольтерра приводит к следующему ряду Неймана :
![{\displaystyle {\begin{aligned}U(t,t_{0})={}&1-i\hbar ^{-1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}V( t_{1})+(-i\hbar ^{-1})^{2}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_ {1}}\,dt_{2}V(t_{1})V(t_{2})+\cdots \\&{}+(-i\hbar ^{-1})^{n}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{ n-1}}dt_{n}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n})+\cdots .\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Здесь, и поэтому поля упорядочены по времени . Полезно ввести оператор , называемый оператором временного упорядочения , и определить![{\displaystyle t_{1}>t_{2}>\cdots >t_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {T}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle U_{n}(t,t_{0})=(-i\hbar ^{-1})^{n}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}\,{\mathcal {T} }V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Пределы интеграции можно упростить. В общем, по некоторой симметричной функции можно определить интегралы![{\displaystyle K(t_{1},t_{2},\dots,t_{n}),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S_{n}=\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _ {t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}\,K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и
![{\displaystyle I_{n}=\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{ 0}}^{t}dt_{n}K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Область интегрирования второго интеграла может быть разбита на подобласти, определяемые . Благодаря симметрии интеграл в каждой из этих подобластей один и тот же и равен по определению. Следует, что![{\displaystyle п!}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t_{1}>t_{2}>\cdots >t_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S_{n}={\frac {1}{n!}}I_{n}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Применительно к предыдущему тождеству это дает
![{\displaystyle U_{n}={\frac {(-i\hbar ^{-1})^{n}}{n!}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1} \int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V(t_{1 })V(t_{2})\cdots V(t_{n}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Суммируя все слагаемые, получается ряд Дайсона. Это упрощенная версия описанной выше серии Neumann, в которую входят продукты, заказанные по времени; это экспонента, упорядоченная по пути : [5]
![{\displaystyle {\begin{aligned}U(t,t_{0})&=\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(t,t_{0})\\&=\ sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\hbar ^{-1})^{n}}{n!}}\int _{t_{0}}^{t} dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V (t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n})\\&={\mathcal {T}}\exp {-i\hbar ^{-1}\int _{t_ {0}}^{t}{d\tau V(\tau )}}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Этот результат также называют формулой Дайсона. [6] Из этой формулы можно вывести групповые законы.
Приложение к векторам состояний
Вектор состояния во времени может быть выражен через вектор состояния во времени , например :![{\displaystyle т}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t_{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle т>t_{0},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }{(-i\hbar ^{-1})^{n} \over n!}\underbrace {\ int dt_{1}\cdots dt_{n}} _{t_{\rm {f}}\,\geq \,t_{1}\,\geq \,\cdots \,\geq \,t_{n} \,\geq \,t_{\rm {i}}}\,{\mathcal {T}}\left\{\prod _{k=1}^{n}e^{iH_{0}t_{k }/\hbar }V(t_{k})e^{-iH_{0}t_{k}/\hbar }\right\}|\Psi (t_{0})\rangle .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Внутренний продукт начального состояния at с конечным состоянием at в картине Шредингера для равен:![{\displaystyle t_{i}=t_{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t_{f}=t}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t_{f}>t_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \Psi (t_{\rm {i}}) &\mid \Psi (t_{\rm {f}})\rangle =\sum _{n=0}^ {\infty }{(-i\hbar ^{-1})^{n} \over n!}\times \\&\underbrace {\int dt_{1}\cdots dt_{n}} _{t_{ \rm {f}}\,\geq \,t_{1}\,\geq \,\cdots \,\geq \,t_{n}\,\geq \,t_{\rm {i}}}\ ,\langle \Psi (t_{i})\mid e^{-iH_{0}(t_{\rm {f}}-t_{1})/\hbar }V_{\rm {S}}(t_ {1})e^{-iH_{0}(t_{1}-t_{2})/\hbar }\cdots V_{\rm {S}}(t_{n})e^{-iH_{0 }(t_{n}-t_{\rm {i}})/\hbar }\mid \Psi (t_{i})\rangle \end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
S - матрицу можно получить, записав это в картине Гейзенберга , приняв входное и выходное состояния как бесконечные: [7]
![{\displaystyle \langle \Psi _ {\rm {out}} \mid S\mid \Psi _ {\rm {in}} \rangle =\langle \Psi _ {\rm {out}} \mid \sum _ {n=0}^{\infty }{(-i\hbar ^{-1})^{n} \over n!}\underbrace {\int d^{4}x_{1}\cdots d^{ 4}x_{n}} _{t_{\rm {out}}\,\geq \,t_{n}\,\geq \,\cdots \,\geq \,t_{1}\,\geq \ ,t_{\rm {in}}}\,{\mathcal {T}}\left\{H_{\rm {int}}(x_{1})H_{\rm {int}}(x_{2} )\cdots H_{\rm {int}}(x_{n})\right\}\mid \Psi _{\rm {in}}\rangle .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обратите внимание, что порядок времени в скалярном произведении был обратным.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Сакурай, Современная квантовая механика, 2.1.10
- ^ Сакурай, Современная квантовая механика, 2.1.12
- ^ Сакурай, Современная квантовая механика, 2.1.11
- ^ Сакураи, Современная квантовая механика, 2.1 стр. 69-71.
- ^ Сакураи, Современная квантовая механика, 2.1.33, стр. 72
- ^ Тонг 3.20, http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/qft.pdf
- ^ Дайсон (1949), «S-матрица в квантовой электродинамике», Physical Review , 75 (11): 1736–1755, doi : 10.1103/PhysRev.75.1736