Серия Каптейн

Ряд Каптейна — это разложение аналитических функций на области определения по функции Бесселя первого рода . Ряды Каптейна названы в честь Виллема Каптейна, который впервые изучил такие ряды в 1893 году. ^{[1] [2]} Пусть — аналитическая на области определения функция ${\displaystyle f}$

${\displaystyle D_{a}=\left\{z\in \mathbb {C} :\Omega (z)=\left|{\frac {z\exp {\sqrt {1-z^{2}}}}{1+{\sqrt {1-z^{2}}}}}\right|\leq a\right\}}$

с . Тогда можно разложить в виде ${\displaystyle a<1}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(z)=\alpha _{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}J_{n}(nz)\quad (z\in D_{a}),}$

где

${\displaystyle \alpha _{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint \Theta _{n}(z)f(z)dz.}$

Путь интегрирования — граница . Здесь , а для , определяется соотношением ${\displaystyle D_{a}}$ ${\displaystyle \Theta _{0}(z)=1/z}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \Theta _{n}(z)}$

${\displaystyle \Theta _{n}(z)={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\frac {(n-2k)^{2}(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {nz}{2}}\right)^{2k-n}}$

Ряды Каптейна важны в физических задачах. Среди других приложений, решение уравнения Кеплера может быть выражено через ряд Каптейна: ^{[2] [3]} ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M=E-e\sin E}$

${\displaystyle E=M+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(nM)}{n}}J_{n}(ne).}$

Связь между коэффициентами Тейлора иα нкоэффициенты функции

Предположим, что ряд Тейлора имеет вид ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.}$

Тогда коэффициенты в разложении Каптейна можно определить следующим образом. ^{[4] : 571} ${\displaystyle \alpha _{n}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{0}&=a_{0},\\\alpha _{n}&={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(n-2k)^{2}(n-k-1)!}{k!(n/2)^{(n-2k+1)}}}a_{n-2k}\quad (n\geq 1).\end{aligned}}}$

Примеры

Каптейновский ряд способностей найден самим Каптейном: ^{[1] : 103,   [4] : ​​565.} ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \left({\frac {z}{2}}\right)^{n}=n^{2}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(n+m-1)!}{(n+2m)^{n+1}\,m!}}J_{n+2m}\{(n+2m)z\}\quad (z\in D_{1}).}$

Ибо следует (см. также ^{[4] : ​​567} ) ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle z=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {J_{2k+1}((2k+1)z)}{(2k+1)^{2}}},}$

и для ^{[4] : 566} ${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle z^{2}=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {J_{2k}(2kz)}{k^{2}}}.}$

Кроме того, внутри региона , ^{[4] : ​​559} ${\displaystyle D_{1}}$

${\displaystyle {\frac {1}{1-z}}=1+2\sum _{k=1}^{\infty }J_{k}(kz).}$

Смотрите также

• Серия Шлемильха

Ссылки

1. Каптейн, В. (1893). Исследования по функциям Фурье-Бесселя. Энн. наук. де л'Эколь Норм. Суп., 3, 91-120.
2. Baricz, Árpád; Jankov Maširević, Dragana; Pogány, Tibor K. (2017). "Ряды функций Бесселя и Куммера". Lecture Notes in Mathematics . Cham: Springer International Publishing. doi :10.1007/978-3-319-74350-9. ISBN 978-3-319-74349-3. ISSN  0075-8434.
3. Борги, Риккардо (2021). «Решение уравнения Кеплера с помощью нелинейных преобразований последовательностей». arXiv : 2112.15154 [math.CA].
4. Уотсон, ГН (2011-06-06). Трактат по теории функций Бесселя (ред. 1944 г.). Cambridge University Press. OL  22965724M.