Ряд Гильберта–Пуанкаре

В математике , и в частности в области алгебры , ряд Гильберта–Пуанкаре (также известный под названием ряд Гильберта ), названный в честь Давида Гильберта и Анри Пуанкаре , является адаптацией понятия размерности к контексту градуированных алгебраических структур (где размерность всей структуры часто бесконечна). Это формальный степенной ряд с одной неизвестной, скажем , где коэффициент при дает размерность (или ранг) подструктуры элементов, однородных степени . Он тесно связан с многочленом Гильберта в случаях, когда последний существует; однако ряд Гильберта–Пуанкаре описывает ранг в каждой степени, в то время как многочлен Гильберта описывает его только во всех, кроме конечного числа степеней, и поэтому дает меньше информации. В частности, ряд Гильберта–Пуанкаре не может быть выведен из многочлена Гильберта, даже если последний существует. В хороших случаях ряд Гильберта–Пуанкаре можно выразить как рациональную функцию своего аргумента . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$

Определение

Пусть K — поле, и пусть — градуированное векторное пространство над K , где каждое подпространство векторов степени i конечномерно. Тогда ряд Гильберта–Пуанкаре V — это формальный степенной ряд ${\displaystyle V=\textstyle \bigoplus _{i\in \mathbb {N} }V_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle V_{i}}$

${\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {N} }\dim _{K}(V_{i})t^{i}.}$^[1]

Аналогичное определение можно дать для -градуированного R -модуля над любым коммутативным кольцом R , в котором каждый подмодуль элементов, однородных фиксированной степени n, свободен от конечного ранга; достаточно заменить размерность на ранг. Часто градуированное векторное пространство или модуль, ряд Гильберта–Пуанкаре которого рассматривается, имеет дополнительную структуру, например, структуру кольца, но ряд Гильберта–Пуанкаре не зависит от мультипликативной или другой структуры. ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Пример: Поскольку существуют мономы степени k от переменных (например, по индукции), можно вывести, что сумма ряда Гильберта–Пуанкаре является рациональной функцией . ^[2] ${\displaystyle \textstyle {\binom {n+k}{n}}}$ ${\displaystyle X_{0},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle K[X_{0},\dots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle 1/(1-t)^{n+1}}$

Теорема Гильберта–Серра

Предположим, что M — конечно порожденный градуированный модуль над с артиновым кольцом (например, полем) A . Тогда ряд Пуанкаре модуля M — это многочлен с целыми коэффициентами, деленными на . ^[3] Стандартное доказательство сегодня — это индукция по n . Первоначальное доказательство Гильберта использовало теорему Гильберта о сизигиях (проективное разрешение M ) , которая дает больше гомологической информации. ${\displaystyle A[x_{1},\dots ,x_{n}],\deg x_{i}=d_{i}}$ ${\displaystyle \prod (1-t^{d_{i}})}$

Вот доказательство индукцией по числу n неопределенностей. Если , то, поскольку M имеет конечную длину, если k достаточно велико. Далее предположим, что теорема верна для и рассмотрим точную последовательность градуированных модулей (точную по степеням), с обозначением , ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle M_{k}=0}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle N(l)_{k}=N_{k+l}}$

${\displaystyle 0\to K(-d_{n})\to M(-d_{n}){\overset {x_{n}}{\to }}M\to C\to 0}$.

Поскольку длина аддитивна, ряды Пуанкаре также аддитивны. Следовательно, имеем:

${\displaystyle P(M,t)=-P(K(-d_{n}),t)+P(M(-d_{n}),t)-P(C,t)}$.

Мы можем написать . Поскольку K уничтожается , мы можем рассматривать его как градуированный модуль над ; то же самое верно для C . Теорема, таким образом, теперь следует из индуктивного предположения. ${\displaystyle P(M(-d_{n}),t)=t^{d_{n}}P(M,t)}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle A[x_{0},\dots ,x_{n-1}]}$

Цепной комплекс

Пример градуированного векторного пространства связан с цепным комплексом или коцепным комплексом C векторных пространств; последний принимает вид

${\displaystyle 0\to C^{0}{\stackrel {d_{0}}{\longrightarrow }}C^{1}{\stackrel {d_{1}}{\longrightarrow }}C^{2}{\stackrel {d_{2}}{\longrightarrow }}\cdots {\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}C^{n}\longrightarrow 0.}$

Ряд Гильберта–Пуанкаре (здесь часто называемый многочленом Пуанкаре) градуированного векторного пространства для этого комплекса имеет вид ${\displaystyle \bigoplus _{i}C^{i}}$

${\displaystyle P_{C}(t)=\sum _{j=0}^{n}\dim(C^{j})t^{j}.}$

Полином Гильберта–Пуанкаре когомологий с пространствами когомологий H ^j  =  H ^j ( C ) равен

${\displaystyle P_{H}(t)=\sum _{j=0}^{n}\dim(H^{j})t^{j}.}$

Известное соотношение между ними заключается в том, что существует многочлен с неотрицательными коэффициентами, такой что ${\displaystyle Q(t)}$ ${\displaystyle P_{C}(t)-P_{H}(t)=(1+t)Q(t).}$

Ссылки

1. Атья и Макдональд 1969, гл. 11.
2. Атья и Макдональд 1969, гл. 11, пример сразу после предложения 11.3.
3. Атья и Макдональд 1969, гл. 11, теорема 11.1.

• Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969). Введение в коммутативную алгебру . Westview Press. ISBN 978-0-201-40751-8.