Теорема о рядах Римана

Безусловно сходящиеся ряды сходятся абсолютно

В математике теорема Римана о рядах , также называемая теоремой Римана о перестановке , названная в честь немецкого математика 19-го века Бернхарда Римана , гласит, что если бесконечный ряд действительных чисел условно сходится , то его члены можно расположить в перестановке так, чтобы новый ряд сходился к произвольному действительному числу, и переставить так, чтобы новый ряд расходился . Это означает, что ряд действительных чисел абсолютно сходится тогда и только тогда, когда он безусловно сходится . ^{[1] [2]}

В качестве примера можно привести серию

${\displaystyle 1-1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4}}+\dots }$

сходится к 0 (для достаточно большого числа членов частичная сумма становится произвольно близкой к 0); но замена всех членов их абсолютными значениями дает

${\displaystyle 1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}+\dots }$

что в сумме дает бесконечность. Таким образом, исходный ряд условно сходится и может быть переставлен (взяв первые два положительных члена, за которыми следует первый отрицательный член, за которым следуют следующие два положительных члена, а затем следующий отрицательный член и т. д.), чтобы получить ряд, который сходится к другой сумме, например,

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}-1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{2}}+\dots }$

что вычисляется как ln 2. В более общем случае использование этой процедуры с p положительными числами, за которыми следуют q отрицательных, дает сумму ln( p / q ). Другие перестановки дают другие конечные суммы или не сходятся ни к какой сумме.

История

Основной результат заключается в том, что сумма конечного числа чисел не зависит от порядка их сложения. Например, 2 + 6 + 7 = 7 + 2 + 6. Наблюдение о том, что сумма бесконечной последовательности чисел может зависеть от порядка слагаемых, обычно приписывается Огюстену-Луи Коши в 1833 году. ^[3] Он проанализировал знакопеременный гармонический ряд , показав, что определенные перестановки его слагаемых приводят к различным пределам. Примерно в то же время Петер Гюстав Лежен Дирихле подчеркнул, что такие явления исключаются в контексте абсолютной сходимости , и привел дополнительные примеры явления Коши для некоторых других рядов, которые не являются абсолютно сходящимися. ^[4]

В ходе своего анализа рядов Фурье и теории интегрирования Римана Бернхард Риман дал полную характеристику явления перестановки. ^[5] Он доказал, что в случае сходящегося ряда, который не сходится абсолютно (известного как условная сходимость ), можно найти перестановки так, что новый ряд сходится к любому произвольно заданному действительному числу. ^[6] Теорема Римана в настоящее время рассматривается как основная часть области математического анализа . ^[7]

Для любого ряда можно рассмотреть множество всех возможных сумм, соответствующих всем возможным перестановкам слагаемых. Теорему Римана можно сформулировать так, что для ряда действительных чисел это множество либо пусто, либо является единственной точкой (в случае абсолютной сходимости), либо всей числовой прямой (в случае условной сходимости). В этой формулировке теорема Римана была распространена Полем Леви и Эрнстом Штейницем на ряды, слагаемые которых являются комплексными числами или, еще более общо, элементами конечномерного действительного векторного пространства . ^{[8] [9]} Они доказали, что множество возможных сумм образует действительное аффинное подпространство . Расширения теоремы Леви–Штейница на ряды в бесконечномерных пространствах рассматривались рядом авторов. ^[10]

Определения

Ряд сходится, если существует значение , такое что последовательность частичных сумм ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle (S_{1},S_{2},S_{3},\ldots ),\quad S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k},}$

сходится к . То есть, для любого ε  > 0 существует целое число N такое, что если n  ≥  N , то ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \left\vert S_{n}-\ell \right\vert \leq \varepsilon .}$

Ряд сходится условно, если ряд сходится, но расходится . ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left\vert a_{n}\right\vert }$

Перестановка — это просто биекция из множества положительных целых чисел в себя. Это означает, что если — перестановка, то для любого положительного целого числа существует ровно одно положительное целое число такое, что В частности, если , то . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sigma (a)=b.}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle \sigma (x)\neq \sigma (y)}$

Формулировка теоремы

Предположим, что — последовательность действительных чисел , и что она условно сходится. Пусть — действительное число. Тогда существует перестановка такая, что ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=M.}$

Существует также перестановка, такая что ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=\infty .}$

Сумму также можно переставить так, чтобы она отклонялась или не приближалась к какому-либо пределу, конечному или бесконечному. ${\displaystyle -\infty }$

Знакопеременный гармонический ряд

Изменение суммы

Знакопеременный гармонический ряд является классическим примером условно сходящегося ряда: сходится, тогда как — обычный гармонический ряд , который расходится. Хотя в стандартном представлении знакопеременный гармонический ряд сходится к ln(2) , его члены можно расположить так, чтобы они сходились к любому числу или даже расходились. $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\right|=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$$

Один из примеров этого следующий. Начните с серии, написанной в обычном порядке,

${\displaystyle \ln(2)=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}\cdots }$

и переставьте и перегруппируйте термины следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}&1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\=&{}\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \end{aligned}}}$

где шаблон таков: первые два члена — 1 и −1/2, сумма которых равна 1/2. Следующий член — −1/4. Следующие два члена — 1/3 и −1/6, сумма которых равна 1/6. Следующий член — −1/8. Следующие два члена — 1/5 и −1/10, сумма которых равна 1/10. В общем, поскольку каждое нечетное целое число встречается один раз положительно, а каждое четное целое число встречается один раз отрицательно (половина из них как кратные 4, другая половина как дважды нечетные целые числа), сумма состоит из блоков по три, которые можно упростить следующим образом:

${\displaystyle \left({\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2(2k-1)}}\right)-{\frac {1}{4k}}=\left({\frac {1}{2(2k-1)}}\right)-{\frac {1}{4k}},\quad k=1,2,\dots .}$

Следовательно, приведенный выше ряд фактически можно записать как:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}+\cdots +{\frac {1}{2(2k-1)}}-{\frac {1}{2(2k)}}+\cdots \\={}&{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2)\end{aligned}}}$

что является половиной суммы изначально и может быть равно исходной последовательности только в том случае, если значение равно нулю. Можно показать, что эта последовательность больше нуля, доказав теорему Лейбница, используя то, что вторая частичная сумма равна половине. ^[11] В качестве альтернативы, значение, к которому она сходится, не может быть нулем. Следовательно, показано, что значение последовательности зависит от порядка, в котором вычисляется последовательность. ${\displaystyle \ln(2)}$

Верно, что последовательность:

${\displaystyle \{b_{n}\}=1,-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{6}},-{\frac {1}{8}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{10}},-{\frac {1}{12}},{\frac {1}{7}},-{\frac {1}{14}},-{\frac {1}{16}},\cdots }$

содержит все элементы в последовательности:

${\displaystyle \{a_{n}\}=1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{6}},{\frac {1}{7}},-{\frac {1}{8}},{\frac {1}{9}},-{\frac {1}{10}},{\frac {1}{11}},-{\frac {1}{12}},{\frac {1}{13}},-{\frac {1}{14}},{\frac {1}{15}},\cdots }$

Однако, поскольку суммирование определяется как и , порядок членов может влиять на предел. ^[11] ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}:=\lim _{n\to \infty }\left(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\right)}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}:=\lim _{n\to \infty }\left(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n}\right)}$

Получение произвольной суммы

Эффективный способ восстановить и обобщить результат предыдущего раздела — использовать тот факт, что

${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+\cdots +{1 \over n}=\gamma +\ln n+o(1),}$

где γ — постоянная Эйлера–Маскерони , а обозначение o (1) обозначает величину, которая зависит от текущей переменной (здесь переменной является  n ) таким образом, что эта величина стремится к 0, когда переменная стремится к бесконечности.

Отсюда следует, что сумма q четных членов удовлетворяет условию

${\displaystyle {1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 6}+\cdots +{1 \over 2q}={1 \over 2}\,\gamma +{1 \over 2}\ln q+o(1),}$

и взяв разницу, видим, что сумма p нечетных членов удовлетворяет

${\displaystyle {1}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+\cdots +{1 \over 2p-1}={1 \over 2}\,\gamma +{1 \over 2}\ln p+\ln 2+o(1).}$

Предположим, что даны два положительных целых числа a и b , и что перестановка знакопеременного гармонического ряда образована путем взятия по порядку a положительных членов знакопеременного гармонического ряда, за которыми следуют b отрицательных членов, и повторения этой последовательности на бесконечности (сам знакопеременный ряд соответствует a = b = 1 , пример в предыдущем разделе соответствует a  = 1, b  = 2):

${\displaystyle {1}+{1 \over 3}+\cdots +{1 \over 2a-1}-{1 \over 2}-{1 \over 4}-\cdots -{1 \over 2b}+{1 \over 2a+1}+\cdots +{1 \over 4a-1}-{1 \over 2b+2}-\cdots }$

Тогда частичная сумма порядка ( a  +  b ) n этого переставленного ряда содержит p = an положительных нечетных членов и q = bn отрицательных четных членов, следовательно

${\displaystyle S_{(a+b)n}={1 \over 2}\ln p+\ln 2-{1 \over 2}\ln q+o(1)={1 \over 2}\ln \left({\frac {a}{b}}\right)+\ln 2+o(1).}$

Отсюда следует, что сумма этого перестроенного ряда равна ^[12]

${\displaystyle {1 \over 2}\ln \left({\frac {a}{b}}\right)+\ln 2=\ln \left(2{\sqrt {\frac {a}{b}}}\right).}$

Предположим теперь, что, в более общем смысле, перестроенный ряд знакопеременного гармонического ряда организован таким образом, что отношение p _n / q _n между числом положительных и отрицательных членов в частичной сумме порядка n стремится к положительному пределу r . Тогда сумма такой перестройки будет

${\displaystyle \ln \left(2{\sqrt {r}}\right),}$

и это объясняет, что любое действительное число x может быть получено как сумма переставленного ряда знакопеременного гармонического ряда: достаточно образовать перестановку, для которой предел r равен e ^{2 x} / 4 .

Доказательство

Существование перестановки, которая в сумме дает любое положительное действительное числоМ

Описание теоремы Римана и ее доказательство полностью выглядят так: ^[13]

… бесконечные ряды делятся на два различных класса в зависимости от того, остаются ли они сходящимися, когда все члены сделаны положительными. В первом классе члены могут быть произвольно переставлены; во втором, с другой стороны, значение зависит от порядка членов. Действительно, если мы обозначим положительные члены ряда во втором классе через a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... , а отрицательные члены через − b ₁ , − b ₂ , − b ₃ , ... , то ясно, что Σ a , а также Σ b должны быть бесконечными. Поскольку, если бы они оба были конечными, ряд все равно был бы сходящимся после того, как все знаки стали бы одинаковыми. Если бы только один был бесконечным, то ряд расходился бы. Теперь ясно, что произвольно заданное значение C может быть получено подходящим переупорядочением членов. Мы попеременно берем положительные члены ряда, пока сумма не станет больше C , а затем отрицательные члены, пока сумма не станет меньше C . Отклонение от C никогда не превышает размера члена в последнем месте, где знаки были изменены. Теперь, поскольку число a, а также число b становятся бесконечно малыми с ростом индекса, то же самое происходит и с отклонениями от C. Если мы продвинемся достаточно далеко в ряду, отклонение станет сколь угодно малым, то есть ряд сойдется к C.

Это можно объяснить более подробно следующим образом. ^[14] Напомним, что условно сходящийся ряд действительных членов имеет как бесконечно много отрицательных членов, так и бесконечно много положительных членов. Сначала определим две величины и : ${\displaystyle a_{n}^{+}}$ ${\displaystyle a_{n}^{-}}$

${\displaystyle a_{n}^{+}={\begin{cases}a_{n}&{\text{if }}a_{n}\geq 0\\0&{\text{if }}a_{n}<0,\end{cases}}\qquad a_{n}^{-}={\begin{cases}0&{\text{if }}a_{n}\geq 0\\a_{n}&{\text{if }}a_{n}<0.\end{cases}}}$

То есть ряд включает все a _n положительных членов, со всеми отрицательными членами, замененными нулями, и ряд включает все a _n отрицательных членов, со всеми положительными членами, замененными нулями. Так как является условно сходящимся, то как «положительный», так и «отрицательный» ряды расходятся. Пусть M — любое действительное число. Возьмем ровно столько положительных членов , чтобы их сумма превышала M . То есть пусть p ₁ будет наименьшим положительным целым числом, таким что ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{+}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{-}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}^{+}}$

${\displaystyle M<\sum _{n=1}^{p_{1}}a_{n}^{+}.}$

Это возможно, поскольку частичные суммы ряда стремятся к . Теперь пусть q ₁ будет наименьшим положительным целым числом, таким что ${\displaystyle a_{n}^{+}}$ ${\displaystyle +\infty }$

${\displaystyle M>\sum _{n=1}^{p_{1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{1}}a_{n}^{-}.}$

Это число существует, поскольку частичные суммы стремятся к . Теперь продолжайте индуктивно, определяя p ₂ как наименьшее целое число, большее p _1, такое, что ${\displaystyle a_{n}^{-}}$ ${\displaystyle -\infty }$

${\displaystyle M<\sum _{n=1}^{p_{2}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{1}}a_{n}^{-},}$

и т. д. Результат можно рассматривать как новую последовательность

${\displaystyle a_{1}^{+},\ldots ,a_{p_{1}}^{+},a_{1}^{-},\ldots ,a_{q_{1}}^{-},a_{p_{1}+1}^{+},\ldots ,a_{p_{2}}^{+},a_{q_{1}+1}^{-},\ldots ,a_{q_{2}}^{-},a_{p_{2}+1}^{+},\ldots .}$

Более того, частичные суммы этой новой последовательности сходятся к M. Это видно из того факта, что для любого i ,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{p_{i+1}-1}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-}\leq M<\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-},}$

причем первое неравенство выполняется из-за того, что p _{i +1} было определено как наименьшее число, большее, чем p _i , что делает второе неравенство верным; как следствие, выполняется, что

${\displaystyle 0<\left(\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-}\right)-M\leq a_{p_{i+1}}^{+}.}$

Так как правая часть сходится к нулю из-за предположения об условной сходимости, это показывает, что ( p _{i +1} + q _i ) '-я частичная сумма новой последовательности сходится к M при увеличении i . Аналогично, ( p _{i +1} + q _{i +1} ) '-я частичная сумма также сходится к M . Так как ( p _{i +1} + q _i + 1) '-я, ( p _{i +1} + q _i + 2) '-я, ... ( p _{i +1} + q _{i +1} − 1) '-я частичные суммы оцениваются между ( p _{i +1} + q _i ) '-й и ( p _{i +1} + q _{i +1} ) '-й частичными суммами, то следует, что вся последовательность частичных сумм сходится к M .

Каждый элемент исходной последовательности a _n появляется в этой новой последовательности, частичные суммы которой сходятся к M . Те элементы исходной последовательности, которые равны нулю, появятся в новой последовательности дважды (один раз в «положительной» последовательности и один раз в «отрицательной» последовательности), и каждое второе такое появление может быть удалено, что никак не повлияет на суммирование. Таким образом, новая последовательность является перестановкой исходной последовательности.

Существование перегруппировки, которая расходится к бесконечности

Пусть — условно сходящийся ряд. Ниже приводится доказательство того, что существует перестановка этого ряда, которая стремится к (подобный аргумент можно использовать, чтобы показать, что также может быть достигнуто). ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Приведенное выше доказательство исходной формулировки Римана нужно только изменить так, чтобы p _{i +1} было выбрано как наименьшее целое число, большее p _{i ,} такое, что

${\displaystyle i+1<\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-},}$

и где q _{i +1} выбрано как наименьшее целое число, большее q _{i ,} такое, что

${\displaystyle i+1>\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i+1}}a_{n}^{-}.}$

Выбор i +1 в левых частях несущественен, так как его можно заменить любой последовательностью, возрастающей до бесконечности. Поскольку сходится к нулю при увеличении n , для достаточно большого i существует ${\displaystyle a_{n}^{-}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i+1}}a_{n}^{-}>i,}$

и это доказывает (так же, как и анализ сходимости выше), что последовательность частичных сумм новой последовательности расходится до бесконечности.

Существование перегруппировки, которая не достигает какого-либо предела, конечного или бесконечного

Приведенное выше доказательство нужно только изменить так, чтобы p _{i +1} было выбрано как наименьшее целое число, большее, чем p _{i ,} такое, что

${\displaystyle 1<\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-},}$

и где q _{i +1} выбрано как наименьшее целое число, большее q _{i ,} такое, что

${\displaystyle -1>\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i+1}}a_{n}^{-}.}$

Это напрямую показывает, что последовательность частичных сумм содержит бесконечно много элементов, которые больше 1, а также бесконечно много элементов, которые меньше −1 , так что последовательность частичных сумм не может сходиться.

Обобщения

Теорема Серпинского

Учитывая бесконечный ряд , мы можем рассмотреть набор «неподвижных точек» и изучить действительные числа, которые ряд может суммировать, если нам разрешено только переставлять индексы в . То есть, мы позволяем С этими обозначениями мы имеем: ${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},...)}$ ${\displaystyle I\subset \mathbb {N} }$ ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle S(a,I)=\left\{\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{\pi (n)}:\pi {\text{ is a permutation on }}\mathbb {N} ,{\text{ such that }}\forall n\not \in I,\pi (n)=n,{\text{ and the summation converges.}}\right\}}$$

• Если конечно, то . Здесь означает симметричную разность . ${\displaystyle I\mathbin {\triangle } I'}$ ${\displaystyle S(a,I)=S(a,I')}$ ${\displaystyle \triangle }$
• Если тогда . ${\displaystyle I\subset I'}$ ${\displaystyle S(a,I)\subset S(a,I')}$
• Если ряд представляет собой абсолютно сходящуюся сумму, то для любого . ${\displaystyle S(a,I)=\left\{\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}\right\}}$ ${\displaystyle I}$
• Если ряд является условно сходящейся суммой, то по теореме Римана о рядах, . ${\displaystyle S(a,\mathbb {N} )=[-\infty ,+\infty ]}$

Серпинский доказал, что, переставляя только положительные члены, можно получить ряд, сходящийся к любому заданному значению, меньшему или равному сумме исходного ряда, но больших значений в общем случае достичь невозможно. ^{[15] [16] [17]} То есть, пусть — условно сходящаяся сумма, тогда содержит , но нет никакой гарантии, что она содержит какое-либо другое число. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S(a,\{n\in \mathbb {N} :a_{n}>0\})}$ ${\displaystyle \left[-\infty ,\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}\right]}$

В более общем случае пусть будет идеалом , тогда мы можем определить . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle S(a,J)=\cup _{I\in J}S(a,I)}$

Пусть — множество всех множеств нулевой асимптотической плотности , то есть . Ясно, что — идеал . ${\displaystyle J_{d}}$ ${\displaystyle I\subset \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {|[0,n]\cap I|}{n}}=0}$ ${\displaystyle J_{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

(Владислав, 2007) ^[18]  —  Если — условно сходящаяся сумма, то (то есть достаточно переставить набор индексов асимптотической плотности ноль). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S(a,J_{d})=[-\infty ,\infty ]}$

Набросок доказательства: Дано , условно сходящаяся сумма, постройте некоторые такие, что и оба являются условно сходящимися. Тогда достаточно переставить, чтобы сошлись к любому числу из . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle I\in J_{d}}$ ${\displaystyle \sum _{n\in I}a_{n}}$ ${\displaystyle \sum _{n\not \in I}a_{n}}$ ${\displaystyle \sum _{n\in I}a_{n}}$ ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$

Филипов и Шуца доказали, что и другие идеалы обладают этим свойством. ^[19]

Теорема Стейница

При наличии сходящегося ряда комплексных чисел может возникнуть несколько случаев при рассмотрении множества возможных сумм для всех рядов, полученных путем перестановки (перестановки) членов этого ряда: ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum a_{\sigma (n)}}$

• ряд может сходиться безусловно; тогда все переставленные ряды сходятся и имеют одну и ту же сумму: множество сумм переставленного ряда сводится к одной точке; ${\textstyle \sum a_{n}}$
• ряд может не сходиться безусловно; если S обозначает множество сумм тех переставленных рядов, которые сходятся, то либо множество S является прямой L в комплексной плоскости  C , имеющей вид , либо множество S является всей комплексной плоскостью  C . ${\textstyle \sum a_{n}}$ $${\displaystyle L=\{a+tb:t\in \mathbb {R} \},\quad a,b\in \mathbb {C} ,\ b\neq 0,}$$

В более общем случае, если задан сходящийся ряд векторов в конечномерном действительном векторном пространстве E , множество сумм сходящихся переставленных рядов является аффинным подпространством E. 

Смотрите также

• Абсолютная сходимость § Перестановки и безусловная сходимость
• Теорема Агню — описывает все перестановки, которые сохраняют сходимость к одной и той же сумме для всех сходящихся рядов.

Ссылки

1. Апостол 1967, стр. 413-414.
2. Спивак, Майкл (2008). Calculus (4-е изд.). Хьюстон, Техас, США: Publish or Perish, Inc. стр. 483–486. ISBN 978-0-914098-91-1.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)
3. Коши 1833, Раздел 8; Апостол 1967, стр. 411.
4. Дирихле 1837, Раздел 1.
5. Риман 1868.
6. Клайн 1990, стр. 966.
7. Апостол 1967, Раздел 10.21; Апостол 1974, Раздел 8.18; Рудин 1976, Теорема 3.54; Уиттекер и Уотсон 2021, Раздел II.17.
8. Леви, Поль (1905), «Sur les séries semi-convergentes», Nouvelles Annales de Mathématiques , 64 : 506–511.
9. Стейниц, Эрнст (1913), "Bedingt Konvergente Reihen und Konvexe Systeme", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 143 : 128–175, doi : 10.1515/crll.1913.143.128.
10. Банащик 1991, раздел 10; Молдин 2015, Задача 28 и Задача 106.
11. Spivak, Michael (2008). Calculus (4-е изд.). Хьюстон, Техас: Publish or Perish. стр. 482–483. ISBN 978-0-914098-91-1.
12. Апостол, Том М. (1991-01-16). Исчисление, том 1. John Wiley & Sons. стр. 416. ISBN 978-0-471-00005-1.
13. Riemann 1868, стр. 97, цитата из английского перевода 2004 года.
14. Апостол 1967, Раздел 10.21; Уиттакер и Уотсон 2021, Раздел II.17.
15. Серпинский, Вацлав (1910). «Przyczynek do teoryi szeregów rozbieżnych [Вклад в теорию расходящихся рядов]» [Вклад в теорию расходящихся рядов]. Sprawozdania Z Posiedzen Towarzystwa Naukowego Warszawskiego (на польском языке). 3 : 89–93.
16. Серпинский, Вацлав (1910). «Uwaga do twierdzenia Riemanna o szeregach warunkowo zbieżnych [Замечание к теореме Римана о полусходящихся рядах]» [Замечание к теореме Римана о полусходящихся рядах]. Prace Matematyczno-Fizyczne (на польском языке). 21 (1): 17–20.
17. Серпинский, Вацлав (1911). «Sur une proprieté des séries qui ne sont pas absolument convergentes [O pewnej własności szeregów warunkowo zbieżnych]». Международный бюллетень Академии наук Краковии, серия A : 149–158.
18. Вильчинский, Владислав (2007). «О теореме Римана о расстройстве». Słupskie Prace Matematyczno-Fizyczne . 4 : 79–82.
19. Filipów, Rafał; Szuca, Piotr (февраль 2010). «Перестановка условно сходящихся рядов на малом множестве». Journal of Mathematical Analysis and Applications . 362 (1): 64–71. doi : 10.1016/j.jmaa.2009.07.029 .

• Апостол, Том М. (1967). Исчисление. Том I: Одномерное исчисление с введением в линейную алгебру (Второе издание оригинального издания 1961 г.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00005-1. MR  0214705. Zbl  0148.28201.
• Апостол, Том М. (1974). Математический анализ (Второе издание оригинального издания 1957 г.). Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing Co. MR  0344384. Zbl  0309.26002.
• Банащик, Войцех (1991). Аддитивные подгруппы топологических векторных пространств . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 1466. Berlin: Springer-Verlag . pp. 93–109. doi :10.1007/BFb0089147. ISBN 3-540-53917-4. MR  1119302. Zbl  0743.46002.
• Коши, М. Огюстен Луи (1833). Аналитические резюме . Турин: L'imprimerie royale.
• Дирихле, ПГЛ (1837). «Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält». Abhandlungen der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften : 45–81.

  Лежен Дирихле, Ж. (1889). «Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält». В Кронекер, Л. (ред.). Верке. Группа Я. Берлин: Дитрих Раймер Верлаг. стр. 313–342. ЖФМ  21.0016.01. МР  0249268.

• Клайн, Моррис (1990). Математическая мысль от древних до современных времен. Том 3 (Второе издание оригинального издания 1972 года). Нью-Йорк: The Clarendon Press . ISBN 0-19-506137-3. MR  1058203. Zbl  0864.01001.
• Mauldin, R. Daniel, ed. (2015). The Scottish Book. Математика из Scottish Café с избранными задачами из новой Scottish Book . Включая избранные доклады, представленные на Scottish Book Conference, состоявшейся в North Texas University, Denton, TX, май 1979 г. (Второе издание оригинального издания 1981 г.). Springer, Cham . doi :10.1007/978-3-319-22897-6. ​​ISBN 978-3-319-22896-9. MR  3242261. Zbl  1331.01039.
• Риман, Бернхард (1868). «Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe». Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen . 13 : 87–132. ЖФМ  01.0131.03.

  Riemann, Bernhard (2004). "О представлении функции тригонометрическим рядом". Сборник статей . Перевод Бейкера, Роджера; Кристенсона, Чарльза; Орда, Генри. Перевод немецкого издания 1892 года. Heber City, UT: Kendrick Press. ISBN 0-9740427-2-2. MR  2121437. Zbl  1101.01013.

• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Международная серия по чистой и прикладной математике (Третье издание 1953 г., оригинальное издание). Нью-Йорк: McGraw-Hill Book Co. MR  0385023. Zbl  0346.26002.
• Whittaker, ET ; Watson, GN (2021). Moll, Victor H. (ред.). Курс современного анализа — введение в общую теорию бесконечных процессов и аналитических функций с учетом главных трансцендентных функций . С предисловием SJ Patterson (Пятое издание 1902 г., оригинальное издание). Cambridge: Cambridge University Press . doi : 10.1017/9781009004091. ISBN 978-1-316-51893-9. MR  4286926. Zbl  1468.30001.

Внешние ссылки

• Weisstein, Eric W. "Теорема о рядах Римана". MathWorld . Получено 1 февраля 2023 г. .