Арка с корзинкой-ручкой характеризуется профилем интратос, образованным последовательностью круговых дуг, каждая из которых касается своих соседей, что приводит к плавному переходу между дугами. Самая простая форма, трехцентровая арка, состоит из трех дуговых сегментов с различными центрами, в то время как пятицентровая арка также широко используется. [1] Этот тип арки распространен в архитектурных приложениях, особенно в строительстве мостов. Форма арки с корзинкой-ручкой напоминает форму полуэллипса , [ 2] показывая непрерывную кривизну , которая варьируется от концов длинной оси до вершины короткой оси. Ее также называют утопленной аркой или корзиночной аркой, [3] подчеркивая ее отличительную кривизну и структурную функцию. [4]
Со времен Римской империи мостовые своды строились с полукруглыми арками , образующими полную полуокружность. Начиная с раннего Средневековья , сегментная арка , неполная полуокружность, использовалась для строительства сводов, которые были меньше половины высоты их проема. [5]
Стрельчатая арка , которая подчеркивает высоту, возвышаясь над половиной проема, не использовалась в строительстве мостов до Средних веков. [5]
Корзинчатая арка появилась в начале эпохи Возрождения , предлагая эстетические преимущества по сравнению с сегментными сводами, в частности, благодаря тому, что ее концевые арки были расположены вертикально по касательной к опорам. [5]
Самые ранние примеры использования арок с ручками-корзинами во Франции можно увидеть в мосту Пон-Нёф в Тулузе, построенном в XVI веке, и в мосту Пон-Рояль, построенном в следующем столетии. [6]
К XVIII веку использование арок с ручками-корзинами стало распространенным, особенно с тремя центрами, примером чего служат мосты в Визиле , Лаворе, Жиньяке , [7] Блуа (1716–1724), Орлеане (1750–1760), Мулене (1756–1764) и Сомюре (1756–1770). [6]
Известный архитектор Жан-Родольф Перроне проектировал мосты с одиннадцатью центрами во второй половине XVIII века, включая мосты в Манте (1757–1765), Ножане (1766–1769) и Нейи (1766–1774). Мост Тура (1764–1777) также имел одиннадцать центров. Другие арки, как правило, были уменьшены до одной трети или немного больше, [6] за исключением Нейи , который был уменьшен до одной четверти.
В XIX веке арки с корзинчатыми ручками использовались на первых крупных железнодорожных мостах Франции, включая мост Сен-Мар (1846–1847), мост Пор-де-Пиль (1846–1848), мосты Морандьер: Монлуи (1843–1845) и Плесси-ле-Тур (1855–1857).
В Англии, в то время как Глостерский мост (1826–1827) [8] и Лондонский мост (1824–1831) [9] были эллиптическими, мост Ватерлоо в Лондоне (1816–1818) сохранил форму арки с ручками в виде корзины. [6]
Несколько арок с ручками-корзинами продолжали строиться в конце 19-го и начале 20-го веков. Известные примеры включают мост Эдмонсон-авеню в Балтиморе (1908–1909) с тремя центрами, [10] мост Аннибала (1868–1870) [11] и мост Дьявола (1870–1872) [12] с пятью центрами, мост императора Франциска в Праге (1898–1901) с семью центрами, [13] и мост Синьяка (1871–1872) с девятнадцатью центрами. [14]
В Соединенных Штатах виадук Томаса с аркой в виде корзины был построен между 1833 и 1835 годами. [15] В настоящее время он принадлежит и управляется компанией CSX Transportation и остается одним из старейших железнодорожных мостов, все еще находящихся в эксплуатации.
Древние архитекторы придавали большое значение методам, используемым для определения контура арки ручки корзины. Гибкость, присущая этим процессам, допускала широкий спектр конфигураций, что привело к тому, что многие архитекторы отдавали предпочтение этому типу кривой, а не эллипсу, контур которого жестко определен геометрическими принципами. [16]
В случае эллипса, открытие свода и высота в центре — соответствующие большой и малой осям — приводят к фиксированным точкам вдоль кривой интратос , не оставляя места для архитектурных изменений. Напротив, многоцентровая кривая предлагает большую свободу дизайна, позволяя архитекторам регулировать основание и вершину кривой в соответствии со своими предпочтениями, в зависимости от расположения центров. Эта адаптивность сделала арку с ручкой корзины привлекательным вариантом для тех, кто ищет эстетическую гибкость. [16]
Преимущества такого подхода к компоновке были значительными: создание полномасштабных канавок воспринималось как более простой и точный процесс, позволяющий немедленно на месте компоновать нормали и сегментные соединения. [17]
Число форм клинчатых арок ограничивалось числом различных используемых радиусов, тогда как для эллиптических арок это число обычно равнялось половине числа клинчатых арок плюс один. [17]
Однако нарушение непрерывности планировки привело к появлению некрасивых клинчатых плит, которые не всегда удавалось удалить во время реставрационных работ. [17]
Хотя арка с корзинкой-ручкой не использовалась для мостовых сводов в древние времена, она нашла применение в строительстве других типов сводов. Герон Александрийский , который был автором математических трактатов более чем за столетие до нашей эры, изложил простой метод для трассировки этой арки. [18]
В методе Герона, если AB представляет ширину предполагаемого свода, а высота (или подъем) не определена, на AB описывается полуокружность. Через точку C на этой дуге проводится вертикальная линия OC, и в точке C строится касательная mn. Длины Cm и Cn принимаются равными половине радиуса дуги. Соединяя точки mO и nO, устанавливаются точки D и E. Затем чертится равнобедренный треугольник DOE с основанием, равным высоте арки. Затем отрезок DA делится на четыре равные части, и через эти точки деления (a, b, c) проводятся параллели к DO. Пересечения этих параллелей с горизонтальной осью AB и продолженной вертикальной осью CO дают необходимые центры для построения различных кривых с тремя центрами вдоль AB, часто называемых древним овалом. [18]
По мере того, как арка с корзинкой-ручкой становилась все более распространенной в строительстве мостов, появились многочисленные процедуры ее трассировки, что привело к увеличению числа используемых центров. [19] Целью было создание идеально непрерывных кривых с эстетически приятным контуром. Учитывая неопределенный характер проблемы, определенные условия часто налагались произвольно для достижения желаемого результата.
Например, иногда принималось, что дуги окружностей, составляющих кривую, должны соответствовать равным углам в центре, в то время как в других случаях эти дуги должны были иметь одинаковую длину. Кроме того, либо амплитуда углов, либо длины последовательных радиусов могли изменяться в соответствии с определенными пропорциями.
Также было установлено постоянное соотношение между опусканием арки и количеством центров, используемых для трассировки кривой интратос. Это опускание измеряется отношением подъема (b) к ширине арки (2a), выраженным как b/2a. Приемлемые соотношения могут включать одну треть, одну четверть или одну пятую; однако, если соотношение падает ниже одной пятой, дуга окружности, как правило, предпочтительнее дуги ручки корзины или эллипса. Для более крутых склонов рекомендуется использовать не менее пяти центров, а некоторые конструкции используют до одиннадцати центров, как видно на кривой моста Нейи, или даже до девятнадцати для моста Синьяк. Поскольку один из центров всегда должен быть расположен на вертикальной оси, остальные центры располагаются симметрично, что приводит к нечетному общему числу центров.
Для построения кривых с тремя центрами Гюйгенс описывает метод, который включает в себя прослеживание дуг различных радиусов, соответствующих равным углам, в частности углам в 60 градусов. [20]
Для начала пусть AB представляет собой отверстие, а OE обозначает стрелу свода. Из центральной точки O проводится дуга AMF с радиусом OA. Затем дуга AM принимается равной одной шестой окружности, то есть ее хорда равна радиусу OA. Проводятся хорды AM и MF, а затем линия Em через точку E, которая является конечной точкой малой оси, параллельная MF.
Пересечение хорд AM и Em определяет точку m, границу первой дуги. Проведя линию mP параллельно MO, мы устанавливаем точки n и P как два центра, необходимые для построения. Третий центр n расположен на расстоянии n'O от оси OE, равном nO.
Анализ рисунка показывает, что три дуги — Am, mEm' и m'B — составляют кривую и соответствуют равным углам в центрах Anm, mPm' и m'n'B, все размером 60 градусов. [20]
Шарль Боссю предложил более эффективный метод построения трехцентровой кривой, который упрощает процесс.
В этом методе AB представляет собой отверстие, а OE обозначает стрелку свода, выступая в качестве длинной и короткой осей кривой. Для начала проводится отрезок AE. Из точки E берется отрезок EF', равный разнице между OA и OE. Затем проводится перпендикулярная линия из средней точки m AF'. Точки n и P, где этот перпендикуляр пересекает большую ось и продолжение малой оси, служат двумя центрами, необходимыми для построения. [21]
При использовании того же проема и подъема кривая, полученная этим методом, демонстрирует минимальное отклонение от кривой, полученной с помощью предыдущих методов.
Для кривых с более чем тремя центрами методы, указанные Бераром, Жаном-Родольфом Перроне , Эмиланом Готе и другими, заключались, как и в случае моста Нейи , в действии методом проб и ошибок.
Проведение первой приблизительной кривой по произвольным данным, элементы которой затем были исправлены с использованием более или менее определенных формул так, чтобы они проходили точно через концы большой и малой осей.
В статье, опубликованной в 1831 году, математик Михал обратился к проблеме построения кривых с научным подходом. Он разработал таблицы, содержащие необходимые данные для рисования кривых с 5, 7 и 9 центрами, достигая точных результатов без необходимости проб и ошибок.
Метод расчета Михала применим к кривым с любым числом центров. Он отметил, что условия, необходимые для решения проблемы, могут быть несколько произвольными. Чтобы решить эту проблему, он предложил строить кривые с использованием либо дуг окружности , которые стягивают равные углы, либо дуг равной длины. Однако, чтобы полностью определить радиусы этих дуг, он также предположил, что радиусы должны соответствовать радиусам кривизны эллипса с центром в средней точке каждой дуги, где отверстие служит большой осью, а подъем функционирует как малая ось. [22]
По мере увеличения числа центров результирующая кривая приближается к форме эллипса с тем же раскрытием и наклоном.
Следующая таблица иллюстрирует конструкцию арки с ручкой корзины, характеризующейся равными углами, стягиваемыми различными дугами, которые ее составляют. Пропорциональные значения для начальных радиусов рассчитываются с использованием половины проема в качестве единицы измерения. Кроме того, свес определяется как отношение стрелки (вертикальное расстояние от самой высокой точки арки до линии, соединяющей ее конечные точки) к общему проему. [22]
Приведенная таблица позволяет легко построить арку ручки корзины с любым указанным отверстием, используя пять, семь или девять центров, что исключает необходимость в обширных расчетах. Единственное условие — перепад должен соответствовать одному из значений, предложенных Михалом.
Например, чтобы нарисовать кривую с семью центрами, 12-метровым проемом и 3-метровым уклоном, соответствующим перепаду в одну четверть (или 0,25), первый и второй радиусы можно рассчитать следующим образом: 6×0,265 и 6×0,419, что дает значения 1,594 метра и 2,514 метра соответственно.
Чтобы вписать кривую в прямоугольник, обозначенный ABCD, нужно начать с описания полуокружности на отрезке AB, который служит диаметром, и разделить его на семь равных частей. Затем проводятся хорды Aa, ab, bc и cd, причем хорда cd представляет собой половинное деление.
На оси AB от точки A отмеряется длина 1,590 метра для установления первого центра, обозначенного m 1 . Через эту точку проводится параллельная линия с радиусом O a , пересекающая хорду Aa в точке n , отмечая конечную точку первой дуги. От точки n отмеряется длина nm 2 , равная 2,514 метра, для определения второго центра m 2 . Параллельная линия с радиусом O b проводится из точки m 2 , в то время как параллельная хорде ab проводится из точки n. Пересечение этих двух параллелей в точке n′ определяет конечную точку второй дуги. [23]
Продолжая этот процесс, через точку n′ проводится параллель к хорде bc, а из точки E проводится параллель к хорде cd. Пересечение этих двух линий в точке n′′ используется для проведения параллели к радиусу O c . Точки m 3 и m 4 , где эта линия пересекает продолжения радиуса n′m 2 и вертикальную ось, становятся третьим и четвертым центрами. Последние три центра, m 5 , m 6 и m 7, располагаются симметрично относительно первых трех центров m 1 , m 2 и m 3 . [24]
Как показано на рисунке, дуги An, nn′, n′n′′ и т. д. стягивают равные углы в своих центрах, а именно 51° 34' 17" 14'. Более того, построение полуэллипса с AB в качестве большой оси и OE в качестве малой оси показывает, что дуги полуэллипса, содержащиеся в тех же углах, что и дуги окружности, обладают радиусом кривизны, равным радиусу самих дуг.
Этот метод демонстрирует легкость, с которой можно строить кривые с пятью, семью или девятью центрами.
После вклада г-на Михаля, предмет был дополнительно исследован г-ном Леружем, главным инженером Ponts et Chaussées. Леруж разработал таблицы для построения кривых с тремя, пятью, семью и даже до пятнадцати центров.
Его подход отличается от методологии Михала, поскольку он предусматривает, что последовательные радиусы должны увеличиваться в соответствии с арифметической прогрессией. Это требование означает, что углы, образованные между радиусами, не обязательно должны быть равными, что обеспечивает большую гибкость в проектировании кривых.
{{cite book}}: CS1 maint: другие ( ссылка ){{cite book}}: CS1 maint: другие ( ссылка )