В математике , в частности в топологии , группа гомеоморфизмов топологического пространства — это группа, состоящая из всех гомеоморфизмов из пространства в себя с композицией функций в качестве групповой операции . Они важны для теории топологических пространств, обычно являются примерами групп автоморфизмов и топологически инвариантны в смысле изоморфизма групп .
Существует естественное групповое действие группы гомеоморфизмов пространства на этом пространстве. Пусть будет топологическим пространством и обозначим группу гомеоморфизмов через . Действие определяется следующим образом:
Это групповое действие, поскольку для всех ,
где обозначает действие группы, а единичный элемент ( который является единичной функцией на ) отправляет точки в себя. Если это действие транзитивно , то пространство называется однородным .
Как и в случае других наборов отображений между топологическими пространствами, группе гомеоморфизмов можно задать топологию, например, компактно-открытую топологию . В случае регулярных локально компактных пространств групповое умножение тогда непрерывно.
Если пространство компактно и хаусдорфово, то инверсия также непрерывна и становится топологической группой . Если пространство хаусдорфово, локально компактно и локально связно, то это также справедливо. [1] tНекоторые локально компактные сепарабельные метрические пространства демонстрируют отображение инверсии, которое не является непрерывным, в результате чего топологическая группа не образуется. [1]
В геометрической топологии , в частности, рассматривается фактор-группа, полученная путем факторизации по изотопии , называемая группой классов отображений :
MCG также можно интерпретировать как 0-ю гомотопическую группу , . Это дает короткую точную последовательность :
В некоторых приложениях, особенно на поверхностях, группа гомеоморфизмов изучается с помощью этой короткой точной последовательности, причем сначала изучается группа классов отображений и группа изотопически тривиальных гомеоморфизмов, а затем (иногда) расширение.
