В математике самоподобный объект точно или приблизительно подобен своей части (т. е. целое имеет ту же форму, что и одна или несколько частей) . Многие объекты в реальном мире, такие как береговые линии , статистически самоподобны: части из них демонстрируют одинаковые статистические свойства во многих масштабах. [2] Самоподобие — типичное свойство фракталов . Масштабная инвариантность — это точная форма самоподобия, при которой при любом увеличении остается меньшая часть объекта, похожая на целое. Например, сторона снежинки Коха одновременно симметрична и масштабно-инвариантна; его можно постоянно увеличивать в 3 раза без изменения формы. Нетривиальное сходство, проявляющееся во фракталах, отличается их тонкой структурой или детализацией в сколь угодно малых масштабах. В качестве контрпримера , хотя любая часть прямой линии может напоминать целое, дальнейшие детали не раскрываются.
Говорят, что явление, развивающееся во времени, демонстрирует самоподобие, если численное значение некоторой наблюдаемой величины, измеренной в разное время, различно, но соответствующая безразмерная величина при данном значении остается неизменной. Это происходит, если количество демонстрирует динамическое масштабирование . Идея является лишь развитием идеи подобия двух треугольников. [3] [4] [5] Обратите внимание, что два треугольника подобны, если численные значения их сторон различны, однако соответствующие безразмерные величины, такие как их углы, совпадают.
Пейтген и др. объясните это понятие как таковое:
Если части фигуры являются маленькими копиями целого, то фигура называется самоподобной .... Фигура является строго самоподобной, если ее можно разложить на части, являющиеся точными копиями целого. Любая произвольная часть содержит точную копию всей фигуры. [6]
Поскольку математически фрактал может проявлять самоподобие при неограниченном увеличении, воссоздать это физически невозможно. Пейтген и др. предложить изучать самоподобие с помощью приближений:
Чтобы придать операциональный смысл свойству самоподобия, мы неизбежно ограничиваемся конечными приближениями предельной фигуры. Это делается с помощью метода, который мы назовем коробочным самоподобием, при котором измерения производятся на конечных этапах фигуры с использованием сеток различных размеров. [7]
Этот словарь был введен Бенуа Мандельбротом в 1964 году. [8]
В математике самоаффинность — это свойство фрактала , части которого масштабируются на разную величину в направлениях x и y. Это означает, что для того, чтобы оценить самоподобие этих фрактальных объектов, их необходимо масштабировать с помощью анизотропного аффинного преобразования .
Компактное топологическое пространство X называется самоподобным, если существует конечное множество S , индексирующее множество несюръективных гомеоморфизмов , для которых
Если , мы называем X самоподобным, если это единственное непустое подмножество Y такое , что приведенное выше уравнение справедливо для . Мы называем
самоподобная структура . Гомеоморфизмы могут повторяться , в результате чего получается итерированная система функций . Композиция функций создает алгебраическую структуру моноида . Когда множество S состоит только из двух элементов, моноид известен как диадический моноид . Диадический моноид можно представить как бесконечное двоичное дерево ; в более общем смысле, если множество S имеет p элементов, то моноид можно представить как p-адическое дерево.
Автоморфизмы диадического моноида — модулярная группа ; автоморфизмы можно представить как гиперболические вращения бинарного дерева.
Более общим понятием, чем самоподобие, является Самоподобие .
Множество Мандельброта также самоподобно относительно точек Мисюревича .
Самоподобие имеет важные последствия для проектирования компьютерных сетей, поскольку типичный сетевой трафик имеет свойства самоподобия. Например, в инженерии телетрафика модели трафика данных с коммутацией пакетов кажутся статистически самоподобными. [9] Это свойство означает, что простые модели, использующие распределение Пуассона, являются неточными, а сети, спроектированные без учета самоподобия, скорее всего, будут функционировать неожиданным образом.
Аналогичным образом, движения фондового рынка описываются как демонстрирующие самоподобие , т.е. они кажутся самоподобными при преобразовании с помощью соответствующего аффинного преобразования для отображаемого уровня детализации. [10] Эндрю Ло описывает самоподобие журнала доходности фондового рынка в эконометрике . [11]
Правила конечного подразделения — мощный метод построения самоподобных множеств, включая множество Кантора и треугольник Серпинского .
Модель жизнеспособной системы Стаффорда Бира представляет собой организационную модель с аффинной самоподобной иерархией, где данная жизнеспособная система является одним элементом Системы Один из жизнеспособной системы на один рекурсивный уровень выше, и для которой элементы ее Системы Один являются жизнеспособными системами на один рекурсивный уровень ниже.
Самоподобие можно найти и в природе. Справа — математически созданное, совершенно самоподобное изображение папоротника , которое имеет заметное сходство с естественными папоротниками. Другие растения, такие как брокколи романеско , демонстрируют сильное самоподобие.
{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )