Самосопряженный

Элемент алгебры, где x* равен x

В математике элемент *-алгебры называется самосопряженным , если он совпадает со своим сопряженным (т.е. ). ${\displaystyle a=a^{*}}$

Определение

Пусть будет *-алгеброй. Элемент называется самосопряженным, если . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a=a^{*}}$

Множество самосопряженных элементов называется . ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}}$

Подмножество , замкнутое относительно инволюции * , т.е. , называется самосопряженным. ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{*}}$

Частным случаем особой важности является случай, когда — полная нормированная *-алгебра , удовлетворяющая C*-тождеству ( ), которая называется C*-алгеброй . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}}$

Особенно в старой литературе по *-алгебрам и C*-алгебрам такие элементы часто называют эрмитовыми. ^[1] Из-за этого обозначения , или для множества самосопряженных элементов также иногда используются, даже в более поздней литературе. ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{h}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{H}}$ ${\displaystyle H({\mathcal {A}})}$

Примеры

• Каждый положительный элемент C*-алгебры является самосопряженным. ^[3]
• Для каждого элемента *-алгебры элементы и являются самосопряженными, поскольку * — инволютивный антиавтоморфизм . ^[4] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle aa^{*}}$ ${\displaystyle a^{*}a}$
• Для каждого элемента *-алгебры действительная и мнимая части и являются самосопряженными, где обозначает мнимую единицу . ^[1] ${\displaystyle a}$ ${\textstyle \operatorname {Re} (a)={\frac {1}{2}}(a+a^{*})}$ ${\textstyle \operatorname {Im} (a)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(a-a^{*})}$ ${\displaystyle \mathrm {i} }$
• Если — нормальный элемент C*-алгебры , то для каждой действительной функции , которая непрерывна на спектре , непрерывное функциональное исчисление определяет самосопряженный элемент . ^[5] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(a)}$

Критерии

Пусть будет *-алгеброй. Тогда: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• Пусть , тогда является самосопряженным, так как . Аналогичное вычисление дает, что также является самосопряженным. ^[6] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a^{*}a}$ ${\displaystyle (a^{*}a)^{*}=a^{*}(a^{*})^{*}=a^{*}a}$ ${\displaystyle aa^{*}}$
• Пусть будет произведением двух самосопряженных элементов . Тогда является самосопряженным, если и коммутируют , так как всегда выполняется. ^[1] ${\displaystyle a=a_{1}a_{2}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle (a_{1}a_{2})^{*}=a_{2}^{*}a_{1}^{*}=a_{2}a_{1}}$
• Если — C*-алгебра, то нормальный элемент является самосопряженным тогда и только тогда, когда его спектр вещественен, т.е. [ ^5] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }$

Характеристики

В *-алгебрах

Пусть будет *-алгеброй. Тогда: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• Каждый элемент можно однозначно разложить на действительную и мнимую части, т.е. существуют однозначно определенные элементы , так что выполняется. Где и . ^[1] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle a=a_{1}+\mathrm {i} a_{2}}$ ${\textstyle a_{1}={\frac {1}{2}}(a+a^{*})}$ ${\textstyle a_{2}={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(a-a^{*})}$
• Множество самосопряженных элементов является действительным линейным подпространством . Из предыдущего свойства следует, что является прямой суммой двух действительных линейных подпространств, т.е. . ^[7] ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {A}}_{sa}\oplus \mathrm {i} {\mathcal {A}}_{sa}}$
• Если является самосопряженным, то является нормальным. ^[1] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle a}$
• *-алгебра называется эрмитовой *-алгеброй, если каждый самосопряженный элемент имеет действительный спектр . ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }$

В C*-алгебрах

Пусть будет C*-алгеброй и . Тогда: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$

• Для спектра или справедливо, так как является действительным и справедливо для спектрального радиуса , так как является нормальным. ^[9] ${\displaystyle \left\|a\right\|\in \sigma (a)}$ ${\displaystyle -\left\|a\right\|\in \sigma (a)}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle r(a)=\left\|a\right\|}$ ${\displaystyle a}$
• Согласно непрерывному функциональному исчислению существуют однозначно определенные положительные элементы , такие, что при . Для нормы выполняется . ^[10] Элементы и также называются положительной и отрицательной частями . Кроме того, выполняется для абсолютного значения, определенного для каждого элемента . ^[11] ${\displaystyle a_{+},a_{-}\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle a=a_{+}-a_{-}}$ ${\displaystyle a_{+}a_{-}=a_{-}a_{+}=0}$ ${\displaystyle \left\|a\right\|=\max(\left\|a_{+}\right\|,\left\|a_{-}\right\|)}$ ${\displaystyle a_{+}}$ ${\displaystyle a_{-}}$ ${\displaystyle |a|=a_{+}+a_{-}}$ ${\textstyle |a|=(a^{*}a)^{\frac {1}{2}}}$
• Для каждого и нечетного существует однозначно определенный , который удовлетворяет , т.е. единственный -й корень , как можно показать с помощью непрерывного функционального исчисления. ^[12] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle b^{n}=a}$ ${\displaystyle n}$

Смотрите также

• Самосопряженная матрица
• Самосопряженный оператор

Примечания

1. Диксмье 1977, стр. 4.
2. Диксмье 1977, стр. 3.
3. Палмер 2001, стр. 800.
4. Диксмье 1977, стр. 3–4.
5. Kadison & Ringrose 1983, стр. 271.
6. Палмер 2001, стр. 798–800.
7. Палмер 2001, стр. 798.
8. Палмер 2001, стр. 1008.
9. Кадисон и Рингроуз 1983, стр. 238.
10. Кадисон и Рингроуз 1983, стр. 246.
11. Диксмье 1977, стр. 15.
12. Блэкадар 2006, стр. 63.

Ссылки

• Блэкадар, Брюс (2006). Операторные алгебры. Теория C*-алгебр и алгебр фон Неймана . Берлин/Гейдельберг: Springer. стр. 63. ISBN 3-540-28486-9.
• Диксмье, Жак (1977). C*-алгебры . Перевод Джеллетта, Фрэнсиса. Амстердам/Нью-Йорк/Оксфорд: Северная Голландия. ISBN 0-7204-0762-1.Английский перевод Les C*-algèbres et leurs représentations (на французском языке). Готье-Виллар. 1969.
• Кадисон, Ричард В.; Рингроуз, Джон Р. (1983). Основы теории операторных алгебр. Том 1 Элементарная теория . Нью-Йорк/Лондон: Academic Press. ISBN 0-12-393301-3.
• Палмер, Теодор В. (2001). Банаховы алгебры и общая теория *-алгебр: Том 2, *-алгебры . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-36638-0.