Сбалансированный троичный

Система счисления, использующая цифры -1, 0 и 1

Сбалансированная троичная система счисления — это троичная система счисления (т. е. основание 3 с тремя цифрами ), которая использует сбалансированное знаковое представление целых чисел , в котором цифры имеют значения −1 , и 1. Это контрастирует со стандартной (несбалансированной) троичной системой, в которой цифры имеют значения 0, 1 и 2. Сбалансированная троичная система может представлять все целые числа без использования отдельного знака минус ; значение ведущей ненулевой цифры числа имеет знак самого числа. Сбалансированная троичная система является примером нестандартной позиционной системы счисления . Она использовалась в некоторых ранних компьютерах ^[1] , а также использовалась для решения головоломок на баланс . ^[2]

В разных источниках для представления трех цифр в сбалансированной троичной системе используются разные глифы. В этой статье T (которая напоминает лигатуру знака минус и 1) представляет −1 , в то время как и 1 представляют сами себя. Другие соглашения включают использование '−' и '+' для представления −1 и 1 соответственно или использование греческой буквы тета (Θ), которая напоминает знак минус в круге, для представления −1. В публикациях о компьютере Сетунь −1 представляется как перевернутая 1: "1". ^[1]

Сбалансированная троичная система впервые появляется в книге Михаэля Штифеля Arithmetica Integra (1544). ^[3] Она также встречается в работах Иоганна Кеплера и Леона Лаланна . Схожие схемы со знаковыми цифрами в других базах обсуждались Джоном Колсоном , Джоном Лесли , Огюстеном-Луи Коши и, возможно, даже в древнеиндийских Ведах . ^[2]

Определение

Пусть обозначает набор символов (также называемых глифами или символами ), где символ иногда используется вместо Определим целочисленную функцию по формуле ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}:=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace }$ ${\displaystyle {\bar {1}}}$ ${\displaystyle \operatorname {T} .}$ ${\displaystyle f=f_{{\mathcal {D}}_{3}}:{\mathcal {D}}_{3}\to \mathbb {Z} }$

${\displaystyle f_{}(\operatorname {T} )=-1,}$

${\displaystyle f_{}(0)=0\quad }$и

${\displaystyle f_{}(1)=1,}$^[4]

где правые части — целые числа с их обычными значениями. Эта функция строго и формально устанавливает, как целые значения присваиваются символам/глифам в Одним из преимуществ этого формализма является то, что определение «целых чисел» (как бы они ни были определены) не смешивается с какой-либо конкретной системой их записи/представления; таким образом, эти два различных (хотя и тесно связанных) понятия сохраняются раздельно. ${\displaystyle f_{},}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}.}$

Набор вместе с функцией образует сбалансированное знаково-цифровое представление, называемое сбалансированной троичной системой. Его можно использовать для представления целых и действительных чисел. ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}}$ ${\displaystyle f_{}}$

Оценка троичного целого числа

Пусть будет Клини плюс , который является набором всех конкатенированных строк конечной длины из одного или нескольких символов (называемых его цифрами ), где — неотрицательное целое число, а все цифры берутся из Начало — это символ (справа), его конец — ( слева ), а его длина — . Тернарная оценка — это функция, определяемая путем присвоения каждой строке целого числа ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}^{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}}$ ${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle d_{n},\ldots ,d_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace .}$ ${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$ ${\displaystyle d_{0}}$ ${\displaystyle d_{n}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle v=v_{3}~:~{\mathcal {D}}_{3}^{+}\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+}}$

${\displaystyle v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right)~=~\sum _{i=0}^{n}f_{}\left(d_{i}\right)3^{i}.}$

Строка представляет (относительно ) целое число Значение может быть альтернативно обозначено как Отображение является сюръективным , но не инъективным, поскольку, например, Однако каждое целое число имеет ровно одно представление под , которое не заканчивается (слева) символом , т.е. ${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right).}$ ${\displaystyle v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right)}$ ${\displaystyle {d_{n}\ldots d_{0}}_{\operatorname {bal} 3}.}$ ${\displaystyle v:{\mathcal {D}}_{3}^{+}\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 0=v(0)=v(00)=v(000)=\cdots .}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle d_{n}=0.}$

Если и тогда удовлетворяет: ${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v\left(d_{n}d_{n-1}\ldots d_{0}\right)~=~f_{}\left(d_{n}\right)3^{n}+v\left(d_{n-1}\ldots d_{0}\right)}$

что показывает, что удовлетворяет своего рода рекуррентному соотношению . Это рекуррентное соотношение имеет начальное условие, где — пустая строка. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v\left(\varepsilon \right)=0}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Это означает, что для каждой строки ${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+},}$

${\displaystyle v\left(0d_{n}\ldots d_{0}\right)=v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right)}$

что на словах означает, что начальные символы (слева в строке из 2 и более символов) не влияют на результирующее значение. ${\displaystyle 0}$

Следующие примеры иллюстрируют, как можно вычислить некоторые значения , где (как и прежде) все целые числа записаны в десятичной системе счисления (основание 10), а все элементы являются просто символами. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}^{+}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{10}v\left(\operatorname {T} \operatorname {T} \right)&=&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{1}+&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{0}&&=&&(-1)&&3&&\,+\,&&(-1)&&1&&=-4\\v\left(\operatorname {T} 1\right)&=&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{1}+&&f_{}\left(1\right)3^{0}&&=&&(-1)&&3&&\,+\,&&(1)&&1&&=-2\\v\left(1\operatorname {T} \right)&=&&f_{}\left(1\right)3^{1}+&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{0}&&=&&(1)&&3&&\,+\,&&(-1)&&1&&=2\\v\left(11\right)&=&&f_{}\left(1\right)3^{1}+&&f_{}\left(1\right)3^{0}&&=&&(1)&&3&&\,+\,&&(1)&&1&&=4\\v\left(1\operatorname {T} 0\right)&=f_{}\left(1\right)3^{2}+&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{1}+&&f_{}\left(0\right)3^{0}&&=(1)9\,+\,&&(-1)&&3&&\,+\,&&(0)&&1&&=6\\v\left(10\operatorname {T} \right)&=f_{}\left(1\right)3^{2}+&&f_{}\left(0\right)3^{1}+&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{0}&&=(1)9\,+\,&&(0)&&3&&\,+\,&&(-1)&&1&&=8\\\end{alignedat}}}$

и используя приведенное выше рекуррентное соотношение

${\displaystyle v\left(101\operatorname {T} \right)=f_{}\left(1\right)3^{3}+v\left(01\operatorname {T} \right)=(1)27+v\left(1\operatorname {T} \right)=27+2=29.}$

Перевод в десятичную систему

В сбалансированной троичной системе значение цифры n знаков слева от запятой является произведением цифры и 3 ⁿ . Это полезно при преобразовании между десятичной и сбалансированной троичной. В дальнейшем строки, обозначающие сбалансированную троичную систему, имеют суффикс bal3 . Например,

10 _бал3 = 1 × 3 ¹ + 0 × 3 ⁰ = 3 _дек

10𝖳 _бал3 = 1 × 3 ² + 0 × 3 ¹ + (−1) × 3 ⁰ = 8 _дек.

−9 _дек = −1 × 3 ² + 0 × 3 ¹ + 0 × 3 ⁰ = 𝖳00 _бал3

8 _дез = 1 × 3 ² + 0 × 3 ¹ + (−1) × 3 ⁰ = 10𝖳 _бал3

Аналогично, первое место справа от запятой занимает 3 ⁻¹ = ⁠1/3⁠ , второе место занимает 3 ⁻² = ⁠1/9⁠ и т. д. Например,

− ⁠2/3⁠ _дек = −1 + ⁠1/3⁠ = −1 × 3 ⁰ + 1 × 3 ⁻¹ = 𝖳.1 _бал3 .

Целое число делится на три тогда и только тогда, когда цифра в разряде единиц равна нулю.

Мы можем проверить четность сбалансированного троичного целого числа, проверив четность суммы всех тритов. Эта сумма имеет ту же четность, что и само целое число.

Сбалансированную троичную систему счисления можно также расширить до дробных чисел, подобно тому, как десятичные числа записываются справа от запятой . [ ^5]

В десятичной или двоичной системе целые числа и конечные дроби имеют несколько представлений. Например, ⁠1/10⁠ = 0,1 = 0,1 0 = 0,0 9 . И, ⁠1/2⁠ = 0,1 ₂ = 0,1 0 ₂ = 0,0 1 ₂ . Некоторые сбалансированные троичные дроби также имеют несколько представлений. Например, ⁠1/6⁠ = 0.1 𝖳 _bal3 = 0.0 1 _bal3 . Конечно, в десятичной и двоичной системе мы можем опустить самые правые конечные бесконечные нули после запятой и получить представление целого числа или конечной дроби. Но в сбалансированной троичной системе мы не можем опустить самые правые конечные бесконечные −1 после запятой, чтобы получить представление целого числа или конечной дроби.

Дональд Кнут ^[6] указал, что усечение и округление являются одной и той же операцией в сбалансированной троичной системе счисления — они дают совершенно одинаковый результат (свойство, общее с другими сбалансированными системами счисления). Число ⁠1/2⁠ не является исключением ; у него есть два равноправных представления и два равноправных усечения: 0. 1 (округлить до 0 и усечь до 0) и 1. 𝖳 (округлить до 1 и усечь до 1). При нечетном основании двойное округление также эквивалентно прямому округлению до конечной точности, в отличие от четного основания.

Основные операции — сложение, вычитание, умножение и деление — выполняются как в обычной троичной системе. Умножение на два может быть выполнено путем прибавления числа к самому себе или вычитания самого себя после сдвига влево на трит.

Арифметический сдвиг влево сбалансированного троичного числа эквивалентен умножению на (положительную, целую) степень числа 3; а арифметический сдвиг вправо сбалансированного троичного числа эквивалентен делению на (положительную, целую) степень числа 3.

Преобразование в дробь и обратно

Преобразование повторяющегося сбалансированного троичного числа в дробь аналогично преобразованию повторяющейся десятичной дроби . Например (из-за 111111 _bal3 = ( ⁠3 ⁶ − 1/3 − 1⁠ ) _​​дек ):

${\displaystyle 0.1{\overline {\mathrm {110TT0} }}={\tfrac {\mathrm {1110TT0-1} }{\mathrm {111111\times 1T\times 10} }}={\tfrac {\mathrm {1110TTT} }{\mathrm {111111\times 1T0} }}={\tfrac {\mathrm {111\times 1000T} }{\mathrm {111\times 1001\times 1T0} }}={\tfrac {\mathrm {1111\times 1T} }{\mathrm {1001\times 1T0} }}={\tfrac {1111}{10010}}={\tfrac {\mathrm {1T1T} }{\mathrm {1TTT0} }}={\tfrac {101}{\mathrm {1T10} }}}$

Иррациональные числа

Как и в любой другой целочисленной системе счисления, алгебраические иррациональные и трансцендентные числа не заканчиваются и не повторяются. Например:

Сбалансированное троичное разложение дано в OEIS как A331313, а разложение — как A331990. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle e}$

Преобразование из троичного

Несбалансированную троичную систему счисления можно преобразовать в сбалансированную троичную систему счисления двумя способами:

• Добавьте 1 трит-за-тритом от первого ненулевого трита с переносом, а затем вычтите 1 трит-за-тритом от того же трита без заимствования. Например,

  021 ₃ + 11 ₃ = 102 ₃ , 102 ₃ − 11 ₃ = 1T1 _бал3 = 7 _дец .

• Если в троичной системе присутствует 2, преобразуйте ее в 1T. Например,

  0212 ₃ = 0010 _бал3 + 1T00 _бал3 + 001T _бал3 = 10TT _бал3 = 23 _дек

Если три значения троичной логики — ложь , неизвестно и истина , и они отображаются в сбалансированной троичной системе как T, 0 и 1, а в обычных беззнаковых троичных значениях как 0, 1 и 2, то сбалансированную троичную систему можно рассматривать как смещенную систему счисления, аналогичную смещенной двоичной системе. Если троичное число имеет n тритов, то смещение b равно

${\displaystyle b=\left\lfloor {\frac {3^{n}}{2}}\right\rfloor }$

который представлен как все единицы в общепринятой или предвзятой форме. ^[7]

В результате, если эти два представления используются для сбалансированных и беззнаковых троичных чисел, беззнаковое n -трит положительное троичное значение может быть преобразовано в сбалансированную форму путем добавления смещения b , а положительное сбалансированное число может быть преобразовано в беззнаковую форму путем вычитания смещения b . Кроме того, если x и y являются сбалансированными числами, их сбалансированная сумма равна x + y − b при вычислении с использованием обычной беззнаковой троичной арифметики. Аналогично, если x и y являются обычными беззнаковыми троичными числами, их сумма равна x + y + b при вычислении с использованием сбалансированной троичной арифметики.

Преобразование в сбалансированную троичную систему счисления из любого целочисленного основания

Мы можем преобразовать в сбалансированную троичную систему с помощью следующей формулы:

${\displaystyle \left(a_{n}a_{n-1}\cdots a_{1}a_{0}.c_{1}c_{2}c_{3}\cdots \right)_{b}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b^{k}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}b^{-k}.}$

где,

a _n a _{n −1} ... a ₁ a ₀ . c ₁ c ₂ c ₃ ... — исходное представление в исходной системе счисления.

b — исходное основание системы счисления. При преобразовании из десятичной системы счисления b равно 10.

a _k и c _k — цифры , стоящие на k мест слева и справа от запятой соответственно.

Например,

−25,4 дек = −(1T×101 1 + 1TT×101 0 + 11×101 −1 ) = −(1Т×101 + 1ТТ + 11÷101) = −10T1.11TT = T01T.TT11

1010,1 2 = 1Т 10 + 1Т 1 + 1Т −1 = 10Т + 1Т + 0 , 1 = 101 , 1

Сложение, вычитание, умножение и деление

Таблицы сложения, вычитания, умножения и деления single-trit показаны ниже. Для вычитания и деления, которые не являются коммутативными , первый операнд дается слева от таблицы, а второй — сверху. Например, ответ на 1 − T = 1T находится в левом нижнем углу таблицы вычитания.

Многотритное сложение и вычитание

Сложение и вычитание многотритовых чисел аналогично двоичным и десятичным. Складывайте и вычитайте трит за тритом и добавляйте перенос соответствующим образом. Например:

 1TT1TT.1TT1 1TT1TT.1TT1 1TT1TT.1TT1 1TT1TT.1TT1 + 11Т1.Т − 11Т1.Т − 11Т1.Т → + ТТ1Т.1 ______________ ______________ _______________ 1T0T10.0TT1 1T1001.TTT1 1T1001.TTT1 + 1Т + Т Т1 + ТТ ______________ ________________ ________________ 1T1110.0TT1 1110TT.TTT1 1110TT.TTT1 + Т + Т 1 + Т 1 ______________ ________________ ________________ 1Т0110.0ТТ1 1100Т.ТТТ1 1100Т.ТТТ1

Многотритное умножение

Многотричное умножение аналогично двоичному и десятичному.

 1TT1.TT × Т11Т.1 _____________ 1TT.1TT умножить на 1 T11T.11 умножить T 1TT1T.T умножить на 1 1TT1TT умножить на 1 T11T11 умножить T _____________ 0T0000T.10T

Многотритное деление

Сбалансированное троичное деление аналогично двоичному и десятичному.

Однако 0,5 _dec = 0,1111... _bal3 или 1.TTTT... _bal3 . Если делимое больше плюса или минуса делителя, то trit частного должен быть равен 1 или T. Если делимое находится между плюсом и минусом половины делителя, то trit частного равен 0. Величину делимого необходимо сравнить с величиной половины делителя перед установкой trit частного. Например,

 1TT1.TT частное0,5 × делитель T01.0 _____________  делитель T11T.1 ) T0000T.10T делимое  T11T1 T000 < T010, набор 1 _______ 1Т1Т0 1TT1T 1T1T0 > 10T0, установить T _______ 111Т 1TT1T 111T > 10T0, установить T _______ Т00.1 T11T.1 T001 < T010, набор 1 ________ 1Т1.00 1TT.1T 1T100 > 10T0, установить T ________ 1Т.Т1Т 1T.T1T 1TT1T > 10T0, установить T ________ 0

Другой пример,

 1ТТТ 0,5 × делитель 1T _______ Делитель 11 )1T01T 1T = 1T, но 1T.01 > 1T, устанавливаем 1 11 _____ T10 T10 < T1, установить T ТТ ______ T11 T11 < T1, установить T ТТ ______ ТТ ТТ < Т1, установить Т ТТ ____ 0

Другой пример,

 101.ТТТТТТТ... или 100.111111111... 0,5 × делитель 1T _________________ делитель 11 )111T 11 > 1T, набор 1 11 _____ 1 T1 < 1 < 1T, установить 0 ___ 1T 1T = 1T, триты заканчиваются, устанавливается 1.TTTTTTTTTT... или 0.111111111...

Квадратные корни и кубические корни

Процесс извлечения квадратного корня в сбалансированной троичной системе аналогичен таковому в десятичной или двоичной системе.

${\displaystyle (10\cdot x+y)^{\mathrm {1T} }-100\cdot x^{\mathrm {1T} }=\mathrm {1T0} \cdot x\cdot y+y^{\mathrm {1T} }={\begin{cases}\mathrm {T10} \cdot x+1,&y=\mathrm {T} \\0,&y=0\\\mathrm {1T0} \cdot x+1,&y=1\end{cases}}}$

Как и при делении, мы должны сначала проверить значение половины делителя. Например,

 1. 1 1 Т 1 ТТ 0 0 ... _________________________ √ 1T 1<1T<11, набор 1 − 1 _____ 1×10=10 1,0T 1,0T>0,10, набор 1 1T0 −1.T0 ________ 11×10=110 1T0T 1T0T>110, набор 1 10Т0 −10Т0 ________ 111×10=1110 T1T0T T1T0T<TTT0, установить T 100T0 −T0010 _________ 111T×10=111T0 1TTT0T 1TTT0T>111T0, набор 1 10Т110 −10Т110 __________ 111T1×10=111T10 TT1TT0T TT1TT0T<TTT1T0, установить T 100TTT0 −T001110 ___________ 111T1T×10=111T1T0 T001TT0T T001TT0T<TTT1T10, установить T 10T11110 −T01TTTT0 ____________ 111T1TT×10=111T1TT0 T001T0T TTT1T110<T001T0T<111T1TT0, установить 0 − Т Возврат 1 ___________ 111T1TT0×10=111T1TT00 T001T000T TTT1T1100<T001T000T<111T1TT00, установить 0 − Т Возврат 1 _____________ 111T1TT00*10=111T1TT000 T001T00000T ...

Извлечение кубического корня в сбалансированной троичной системе счисления аналогично извлечению в десятичной или двоичной системе счисления:

${\displaystyle (10\cdot x+y)^{10}-1000\cdot x^{10}=y^{10}+1000\cdot x^{\mathrm {1T} }\cdot y+100\cdot x\cdot y^{\mathrm {1T} }={\begin{cases}\mathrm {T} +\mathrm {T000} \cdot x^{\mathrm {1T} }+100\cdot x,&y=\mathrm {T} \\0,&y=0\\1+1000\cdot x^{\mathrm {1T} }+100\cdot x,&y=1\end{cases}}}$

Как и при делении, мы должны сначала проверить значение половины делителя. Например:

 1. 1 Т 1 0 ... _____________________ ³√ 1T − 1 1<1T<10T, набор 1 _______ 1.000 1×100=100 −0.100 занять 100×, выполнить деление _______ 1TT 1.T00 1T00>1TT, набор 1 1×1×1000+1=1001 −1,001 __________ Т0Т000 11×100 − 1100 заимствовать 100×, выполнить деление _________ 10T000 TT1T00 TT1T00<T01000, установить T 11×11×1000+1=1ТТ1001 −Т11Т00Т ____________ 1ТТТ01000 11T×100 − 11T00 занять 100×, выполнить деление ___________ 1T1T01TT 1TTTT0100 1TTTT0100>1T1T01TT, набор 1 11T×11T×1000+1=11111001 − 11111001 ______________ 1T10T000 11T1×100 − 11T100 заимствовать 100×, выполнить деление __________ 10T0T01TT 1T0T0T00 T01010T11<1T0T0T00<10T0T01TT, установить 0 11T1×11T1×1000+1=1TT1T11001 − TT1T00 вернуть 100× _____________ 1T10T000000 ...

Следовательно, ³ √ 2 = 1,259921 _дец = 1,1T1 000 111 001 T01 00T 1T1 T10 111 _бал3 .

Приложения

В компьютерном дизайне

Операционные столы

На заре вычислительной техники несколько экспериментальных советских компьютеров были построены с использованием сбалансированной троичной системы вместо двоичной, самой известной из которых была Сетунь , построенная Николаем Брусенцовым и Сергеем Соболевым . Эта нотация имеет ряд вычислительных преимуществ по сравнению с традиционной двоичной и троичной. В частности, согласованность «плюс-минус» снижает скорость переноса при умножении многозначных чисел, а эквивалентность округления-усечения снижает скорость переноса при округлении дробей. В сбалансированной троичной системе таблица умножения с одной цифрой остается однозначной и не имеет переноса, а таблица сложения имеет только два переноса из девяти записей, по сравнению с несбалансированной троичной с одним и тремя соответственно. Кнут писал, что «Возможно, симметричные свойства и простая арифметика этой системы счисления когда-нибудь окажутся весьма важными», ^[6] отмечая, что,

Сложность арифметической схемы для сбалансированной троичной арифметики не намного больше, чем для двоичной системы, и заданное число требует только столько же разрядов для своего представления." ^[6] ${\displaystyle \log _{3}2\approx 63\%}$

Другие приложения

Теорема о том, что каждое целое число имеет единственное представление в сбалансированной троичной системе, была использована Леонардом Эйлером для обоснования тождественности формальных степенных рядов ^[8]

${\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }\left(x^{-3^{n}}+1+x^{3^{n}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n}.}$

Сбалансированная троичная система имеет и другие применения помимо вычислений. Например, классические двухчашечные весы с одним грузом для каждой степени 3 могут точно взвешивать относительно тяжелые объекты с небольшим количеством грузов, перемещая грузы между двумя чашками и столом. Например, с грузами для каждой степени от 3 до 81, 60-граммовый объект (60 _dec = 1T1T0 _bal3 ) будет идеально сбалансирован с грузом в 81 грамм на другой чашке, грузом в 27 грамм на своей собственной чашке, грузом в 9 грамм на другой чашке, грузом в 3 грамма на своей собственной чашке и грузом в 1 грамм, отложенным в сторону.

Аналогично рассмотрим валютную систему с монетами достоинством 1¤, 3¤, 9¤, 27¤, 81¤. Если у покупателя и продавца есть только по одной монете каждого вида, возможна любая транзакция до 121¤. Например, если цена составляет 7¤ (7 _dec = 1T1 _bal3 ), покупатель платит 1¤ + 9¤ и получает 3¤ сдачи.

Они также могут обеспечить более естественное представление кутрита и систем, которые его используют.

Смотрите также

• Представление числа со знаком
• Методы вычисления квадратных корней
• Система счисления
• Кутрит
• Таблетка Саламин
• Троичный компьютер
  • Сетунь — троичная вычислительная машина
• Троичная логика
• Обобщенный сбалансированный троичный

Ссылки

1. Н.А.Криницкий; Г.А.Миронов; Г.Д.Фролов (1963). "Глава 10. Программно-управляемая машина Сетунь". В М.Р.Шура-Бура (ред.). Программирование . Москва.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
2. Hayes, Brian (2001), «Третья база» (PDF) , American Scientist , 89 (6): 490–494, doi :10.1511/2001.40.3268. Перепечатано в Hayes, Brian (2008), Group Theory in the Bedroom, and Other Mathematical Diversions, Farrar, Straus and Giroux, стр. 179–200, ISBN 9781429938570
3. Стифель, Майкл (1544), Arithmetica integra (на латыни), apud Iohan Petreium, p. 38.
4. Символы и появляются дважды в равенствах и , но эти примеры не представляют одно и то же. Правая часть и означает целые числа , но примеры внутри скобок (которые принадлежат ) следует рассматривать как не более чем символы. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f_{}(0)=0}$ ${\displaystyle f_{}(1)=1,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \in \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}}$
5. Бхаттачарджи, Абхиджит (24 июля 2006 г.). "Сбалансированная тройка". Архивировано из оригинала 2009-09-19.
6. Кнут, Дональд (1997). Искусство программирования . Том 2. Эддисон-Уэсли. С. 195–213. ISBN 0-201-89684-2.
7. Дуглас У. Джонс, Троичные системы счисления, 15 октября 2013 г.
8. Эндрюс, Джордж Э. (2007). «De Partitio numerorum» Эйлера». Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 44 (4): 561–573. дои : 10.1090/S0273-0979-07-01180-9 . МР  2338365.

Внешние ссылки

• Разработка троичных компьютеров в МГУ
• Представление дробных чисел в сбалансированной троичной системе счисления
• «Третья база», троичные и сбалансированные троичные системы счисления
• Сбалансированная троичная система счисления (включает преобразователь десятичных целых чисел в сбалансированную троичную систему счисления)
• Последовательность OEIS A182929 (Биномиальный треугольник, сведенный к сбалансированным троичным спискам)
• Сбалансированная (знаковая) троичная нотация. Архивировано 03.03.2016 на Wayback Machine Брайаном Дж. Шелберном (файл PDF)
• Троичная вычислительная машина Томаса Фаулера Марка Глускера