Гладкость (теория вероятностей)

В теории вероятностей и статистике гладкость функции плотности — это мера, которая определяет, сколько раз функция плотности может быть дифференцирована, или, что то же самое, предельное поведение характеристической функции распределения .

Формально распределение случайной величины X назовем обычным гладким порядка β ^[1] , если ее характеристическая функция удовлетворяет условию

${\displaystyle d_{0}|t|^{-\beta }\leq |\varphi _{X}(t)|\leq d_{1}|t|^{-\beta }\quad {\text{as }}t\to \infty }$

для некоторых положительных констант d ₀ , d ₁ , β . Примерами таких распределений являются гамма , экспоненциальное , равномерное и т. д.

Распределение называется сверхгладким порядка β ^[1] , если его характеристическая функция удовлетворяет условию

${\displaystyle d_{0}|t|^{\beta _{0}}\exp {\big (}-|t|^{\beta }/\gamma {\big )}\leq |\varphi _{X}(t)|\leq d_{1}|t|^{\beta _{1}}\exp {\big (}-|t|^{\beta }/\gamma {\big )}\quad {\text{as }}t\to \infty }$

для некоторых положительных констант d ₀ , d ₁ , β , γ и констант β ₀ , β ₁ . Такие сверхгладкие распределения имеют производные всех порядков. Примеры: нормальный , Коши , нормальная смесь.

Рекомендации

1. Фань, Цзяньцин (1991). «Об оптимальных скоростях сходимости для непараметрических задач деконволюции». Анналы статистики . 19 (3): 1257–1272. дои : 10.1214/aos/1176348248 . JSTOR  2241949.

• Лайтхилл, MJ (1962). Введение в анализ Фурье и обобщенные функции . Лондон: Издательство Кембриджского университета.