Свободный спектральный диапазон

Концепция волновой оптики

Свободный спектральный диапазон ( FSR ) — это интервал оптической частоты или длины волны между двумя последовательными отраженными или прошедшими оптическими максимумами или минимумами интенсивности интерферометра или дифракционного оптического элемента . ^[1]

FSR не всегда представлен как или , но вместо этого иногда представлен просто буквами FSR. Причина в том, что эти разные термины часто относятся к полосе пропускания или ширине линии излучаемого источника соответственно. ${\displaystyle \Delta \nu }$ ${\displaystyle \Delta \lambda }$

В общем

Свободный спектральный диапазон (FSR) полости в общем случае определяется выражением ^[2]

${\displaystyle \left|\Delta \lambda _{\text{FSR}}\right|={\frac {2\pi }{L}}\left|\left({\frac {\partial \beta }{\partial \lambda }}\right)^{-1}\right|}$

или, что то же самое,

${\displaystyle \left|\Delta \nu _{\text{FSR}}\right|={\frac {2\pi }{L}}\left|\left({\frac {\partial \beta }{\partial \nu }}\right)^{-1}\right|}$

Эти выражения можно вывести из условия резонанса путем разложения в ряд Тейлора. Здесь — волновой вектор света внутри полости, а — волновой вектор и длина волны в вакууме, — показатель преломления полости, а — длина пути туда и обратно через полость (обратите внимание, что для полости со стоячей волной равно удвоенной физической длине полости). ${\displaystyle \Delta \beta L=2\pi }$ ${\displaystyle \Delta \beta }$ ${\displaystyle \beta =k_{0}n(\lambda )={\frac {2\pi }{\lambda }}n(\lambda )}$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Учитывая , что FSR (в длине волны) определяется как ${\displaystyle \left|\left({\frac {\partial \beta }{\partial \lambda }}\right)\right|={\frac {2\pi }{\lambda ^{2}}}\left[n(\lambda )-\lambda {\frac {\partial n}{\partial \lambda }}\right]={\frac {2\pi }{\lambda ^{2}}}n_{g}}$

${\displaystyle \Delta \lambda _{\text{FSR}}={\frac {\lambda ^{2}}{n_{\text{g}}L}},}$

бытие — групповой индекс среды внутри полости. или, что то же самое, ${\displaystyle n_{\text{g}}}$

${\displaystyle \Delta \nu _{\text{FSR}}={\frac {c}{n_{\text{g}}L}},}$

где скорость света в вакууме. ${\displaystyle c}$

Если дисперсия материала незначительна, т.е. , то два приведенных выше выражения сводятся к ${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial \lambda }}\approx 0}$

${\displaystyle \Delta \lambda _{\text{FSR}}\approx {\frac {\lambda ^{2}}{n(\lambda )L}},}$

и

${\displaystyle \Delta \nu _{\text{FSR}}\approx {\frac {c}{n(\lambda )L}}.}$

Простая интуитивная интерпретация FSR заключается в том, что это величина, обратная времени прохождения сигнала туда и обратно : ${\displaystyle T_{R}}$

${\displaystyle T_{R}={\frac {n_{\text{g}}L}{c}}={\frac {1}{\Delta \nu _{\text{FSR}}}}.}$

В длине волны FSR определяется как

${\displaystyle \Delta \lambda _{\text{FSR}}={\frac {\lambda ^{2}}{n_{\text{g}}L}},}$

где — длина волны света в вакууме. Для линейной полости, такой как интерферометр Фабри-Перо ^[3], обсуждаемый ниже, , где — расстояние, пройденное светом за один круговой обход вокруг закрытой полости, а — длина полости. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle L=2l}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle l}$

Дифракционные решетки

Свободный спектральный диапазон дифракционной решетки - это наибольший диапазон длин волн для данного порядка, который не перекрывает тот же диапазон в соседнем порядке. Если ( m  + 1)-й порядок и m -й порядок лежат под одним и тем же углом, то ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle (\lambda +\Delta \lambda )}$

${\displaystyle \Delta \lambda ={\frac {\lambda }{m}}.}$

Интерферометр Фабри–Перо

В интерферометре Фабри–Перо ^[3] или эталоне расстояние между длинами волн между соседними пиками пропускания называется свободным спектральным диапазоном эталона и определяется выражением

${\displaystyle \Delta \lambda ={\frac {\lambda _{0}^{2}}{2nl\cos \theta +\lambda _{0}}}\approx {\frac {\lambda _{0}^{2}}{2nl\cos \theta }},}$

где λ ₀ — центральная длина волны ближайшего пика пропускания, n — показатель преломления среды полости, — угол падения, — толщина полости. Чаще всего FSR указывается в единицах частоты, а не длины волны: ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle \Delta f\approx {\frac {c}{2nl\cos \theta }}.}$

Пропускание эталона как функция длины волны. Высокоточный эталон (красная линия) показывает более острые пики и более низкие минимумы пропускания, чем низкоточный эталон (синий). Свободный спектральный диапазон равен Δλ (показан над графиком).

FSR связан с полной шириной полумаксимума δλ любой полосы пропускания через величину, известную как тонкость :

${\displaystyle {\mathcal {F}}={\frac {\Delta \lambda }{\delta \lambda }}={\frac {\pi }{2\arcsin(1/{\sqrt {F}})}},}$

где - коэффициент изящества , а R - отражательная способность зеркал. ${\displaystyle F={\frac {4R}{(1-R)^{2}}}}$

Обычно это аппроксимируется (для R > 0,5) следующим образом:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\approx {\frac {\pi {\sqrt {F}}}{2}}={\frac {\pi R^{1/2}}{(1-R)}}.}$

Ссылки

1. Хехт, Юджин (2017). Оптика (5-е изд.). С. 431–433, 614. ISBN 9780133977226. OCLC  953709783.
2. Рабус, Доминик.Г. (26 апреля 2007 г.). Интегрированные кольцевые резонаторы . ISBN 978-3-540-68788-7. OCLC  123893382.
3. Ismail, N.; Kores, CC; Geskus, D.; Pollnau, M. (2016). «Резонатор Фабри-Перо: формы спектральных линий, общие и связанные распределения Эйри, ширина линий, тонкости и производительность при низкой или частотно-зависимой отражательной способности». Optics Express . 24 (15): 16366–16389. Bibcode :2016OExpr..2416366I. doi : 10.1364/OE.24.016366 . PMID  27464090.