Суммирование

Сложение нескольких чисел или других значений

В математике суммирование – это сложение последовательности чисел , называемой слагаемыми или слагаемыми ; _ результатом является их сумма или сумма . Помимо чисел, можно суммировать и другие типы значений: функции , векторы , матрицы , полиномы и, вообще, элементы любого типа математических объектов , над которыми определена операция , обозначенная «+».

Суммы бесконечных последовательностей называются сериями . Они включают в себя концепцию предела и не рассматриваются в данной статье.

Суммирование явной последовательности обозначается как последовательность сложений. Например, суммирование [1, 2, 4, 2] обозначается 1 + 2 + 4 + 2 и приводит к 9, то есть 1 + 2 + 4 + 2 = 9 . Поскольку сложение ассоциативно и коммутативно , скобки не нужны, и результат один и тот же независимо от порядка слагаемых. Суммирование последовательности только одного элемента приводит к самому этому элементу. Суммирование пустой последовательности (последовательности без элементов) по соглашению дает 0.

Очень часто элементы последовательности определяются посредством регулярного шаблона в зависимости от их места в последовательности. Для простых шаблонов суммирование длинных последовательностей может быть представлено заменой большинства слагаемых эллипсами. Например, суммирование первых 100 натуральных чисел можно записать как 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 99 + 100 . В противном случае суммирование обозначается с помощью обозначения Σ, где — увеличенная заглавная греческая буква сигма . Например, сумму первых n натуральных чисел можно обозначить как ${\textstyle \sum }$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}i.}$

Для длинных суммирований и суммирований переменной длины (определяемых с помощью эллипсов или обозначений Σ) распространенной проблемой является поиск выражений в замкнутой форме для результата. Например, ^[а]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}.}$

Хотя такие формулы не всегда существуют, было открыто множество формул суммирования, некоторые из наиболее распространенных и элементарных из которых перечислены в оставшейся части этой статьи.

Обозначения

Обозначение заглавной сигмы

Символ суммирования

В математических обозначениях используется символ, который компактно представляет сумму многих подобных терминов: символ суммирования , , увеличенная форма прямой заглавной греческой буквы сигма . Это определяется как ${\textstyle \sum }$

${\displaystyle \sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}$

где i — индекс суммирования ; a _i — индексированная переменная, представляющая каждый член суммы; m — нижняя граница суммирования , а n — верхняя граница суммирования . « i = m » под символом суммирования означает, что индекс i изначально равен m . Индекс i увеличивается на единицу для каждого последующего термина и останавливается, когда i = n . ^[б]

Это читается как «сумма a _i от i = m до n ».

Вот пример, показывающий суммирование квадратов:

${\displaystyle \sum _{i=3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.}$

В общем, хотя в качестве индекса суммирования можно использовать любую переменную (при условии, что не возникает двусмысленности), некоторые из наиболее распространенных включают такие буквы, как , ^[c] , и ; последний также часто используется для верхней границы суммирования. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

Альтернативно, индекс и границы суммирования иногда опускаются из определения суммирования, если контекст достаточно ясен. Это особенно применимо, когда индекс изменяется от 1 до n . ^[1] Например, можно написать так:

${\displaystyle \sum a_{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}.}$

Часто используются обобщения этого обозначения, в которых указывается произвольное логическое условие, а сумма предназначена для всех значений, удовлетворяющих этому условию. Например:

${\displaystyle \sum _{0\leq k<100}f(k)}$

— альтернативное обозначение суммы всех ( целых чисел ) в указанном диапазоне. Сходным образом, ${\textstyle \sum _{k=0}^{99}f(k),}$ ${\displaystyle f(k)}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \sum _{x\mathop {\in } S}f(x)}$

является суммой по всем элементам набора и ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \sum _{d\,|\,n}\;\mu (d)}$

является суммой всех положительных целых чисел , делящих . ^[д] ${\displaystyle \mu (d)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$

Есть также способы обобщить использование многих знаков сигмы. Например,

${\displaystyle \sum _{i,j}}$

такой же как

${\displaystyle \sum _{i}\sum _{j}.}$

Аналогичное обозначение используется для произведения последовательности , где вместо греческой заглавной буквы пи используется увеличенная форма. ${\textstyle \prod }$ ${\textstyle \sum .}$

Особые случаи

Можно суммировать менее двух чисел:

• Если суммирование имеет одно слагаемое , то вычисленная сумма равна . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• Если в суммировании нет слагаемых, то вычисленная сумма равна нулю , поскольку ноль является единицей сложения. Это известно как пустая сумма .

Эти вырожденные случаи обычно используются только тогда, когда обозначение суммирования дает вырожденный результат в особом случае. Например, если в определении выше, то в сумме только одно слагаемое; если , то его нет. ${\displaystyle n=m}$ ${\displaystyle n=m-1}$

Формальное определение

Суммирование можно определить рекурсивно следующим образом:

${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=0}$, для ; ${\displaystyle b<a}$

${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=g(b)+\sum _{i=a}^{b-1}g(i)}$, для . ${\displaystyle b\geqslant a}$

Обозначения теории меры

В обозначениях теории меры и интегрирования сумму можно выразить в виде определенного интеграла ,

${\displaystyle \sum _{k\mathop {=} a}^{b}f(k)=\int _{[a,b]}f\,d\mu }$

где – подмножество целых чисел от до и где – счетная мера по целым числам. ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mu }$

Исчисление конечных разностей

Учитывая функцию f , которая определена над целыми числами в интервале [ m , n ] , выполняется следующее уравнение:

${\displaystyle f(n)-f(m)=\sum _{i=m}^{n-1}(f(i+1)-f(i)).}$

Это известно как телескопический ряд и является аналогом фундаментальной теоремы исчисления конечных разностей , которая гласит, что:

${\displaystyle f(n)-f(m)=\int _{m}^{n}f'(x)\,dx,}$

где

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

является производной от f .

Примером применения приведенного выше уравнения является следующее:

${\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left((i+1)^{k}-i^{k}\right).}$

Используя биномиальную теорему , это можно переписать как:

${\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}{\biggl (}\sum _{j=0}^{k-1}{\binom {k}{j}}i^{j}{\biggr )}.}$

Приведенная выше формула чаще используется для обращения разностного оператора , определяемого следующим образом: ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta (f)(n)=f(n+1)-f(n),}$

где f — функция, определенная для целых неотрицательных чисел. Таким образом, учитывая такую ​​функцию f , проблема состоит в том, чтобы вычислить антиразность f , функции такой, что . То есть эта функция определена с точностью до добавления константы и может быть выбрана как ^[2] ${\displaystyle F=\Delta ^{-1}f}$ ${\displaystyle \Delta F=f}$ ${\displaystyle F(n+1)-F(n)=f(n).}$

${\displaystyle F(n)=\sum _{i=0}^{n-1}f(i).}$

Для такого суммирования не всегда существует выражение в замкнутой форме , но формула Фаульхабера обеспечивает замкнутую форму в случае, когда и, по линейности , для каждой полиномиальной функции от n . ${\displaystyle f(n)=n^{k}}$

Приближение определенными интегралами

Многие такие приближения можно получить с помощью следующей связи между суммами и интегралами , которая справедлива для любой возрастающей функции f :

${\displaystyle \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds.}$

и для любой убывающей функции f :

${\displaystyle \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds.}$

Для более общих приближений см. формулу Эйлера-Маклорена .

Для суммирования, в которых слагаемое задается (или может быть интерполировано) интегрируемой функцией индекса, суммирование можно интерпретировать как сумму Римана , входящую в определение соответствующего определенного интеграла. Поэтому можно ожидать, что, например,

${\displaystyle {\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\approx \int _{a}^{b}f(x)\ dx,}$

поскольку правая часть по определению является пределом левой части. Однако для данного суммирования n фиксировано, и мало что можно сказать об ошибке в приведенном выше приближении без дополнительных предположений относительно f : ясно, что для сильно осциллирующих функций сумма Римана может быть сколь угодно далекой от интеграла Римана. ${\displaystyle n\to \infty }$

Личности

В приведенных ниже формулах используются конечные суммы; для бесконечного суммирования или конечного суммирования выражений, включающих тригонометрические функции или другие трансцендентные функции , см. список математических рядов .

Общие идентичности

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)\quad }$( дистрибутивность ) ^[3]

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)\pm \sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left(f(n)\pm g(n)\right)\quad }$( коммутативность и ассоциативность ) ^[3]

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)\quad }$(индексный сдвиг)

${\displaystyle \sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m)),\quad }$для биекции σ из конечного множества A на множество B (замена индекса); это обобщает предыдущую формулу.

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)\quad }$(разделение суммы с использованием ассоциативности )

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=0}^{b}f(n)-\sum _{n=0}^{a-1}f(n)\quad }$(вариант предыдущей формулы)

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t-s}f(t-n)\quad }$(сумма от первого члена до последнего равна сумме от последнего до первого)

${\displaystyle \sum _{n=0}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t}f(t-n)\quad }$(частный случай формулы выше)

${\displaystyle \sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}\quad }$(опять же коммутативность и ассоциативность)

${\displaystyle \sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}\quad }$(еще одно применение коммутативности и ассоциативности)

${\displaystyle \sum _{n=2s}^{2t+1}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(2n)+\sum _{n=s}^{t}f(2n+1)\quad }$(разбиение суммы на нечетную и четную части, для четных индексов)

${\displaystyle \sum _{n=2s+1}^{2t}f(n)=\sum _{n=s+1}^{t}f(2n)+\sum _{n=s+1}^{t}f(2n-1)\quad }$(разделение суммы на нечетную и четную части для нечетных индексов)

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\biggr )}=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{n}a_{i}b_{j}\quad }$( дистрибутивность )

${\displaystyle \sum _{i=s}^{m}\sum _{j=t}^{n}{a_{i}}{c_{j}}={\biggl (}\sum _{i=s}^{m}a_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=t}^{n}c_{j}{\biggr )}\quad }$(дистрибутивность допускает факторизацию)

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}\log _{b}f(n)=\log _{b}\prod _{n=s}^{t}f(n)\quad }$( логарифм произведения – это сумма логарифмов множителей)

${\displaystyle C^{\sum \limits _{n=s}^{t}f(n)}=\prod _{n=s}^{t}C^{f(n)}\quad }$( экспонента суммы равна произведению экспоненты слагаемых)

Степени и логарифм арифметических прогрессий

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c=nc\quad }$для любого c , не зависящего от i

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\qquad }$(Сумма простейшей арифметической прогрессии , состоящей из первых n натуральных чисел.) ^{[2] : 52}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}\qquad }$(Сумма первых нечетных натуральных чисел)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}2i=n(n+1)\qquad }$(Сумма первых четных натуральных чисел)

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log i=\log n!\qquad }$(Сумма логарифмов есть логарифм произведения)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{2}=\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\qquad }$(Сумма первых квадратов см. квадрат пирамидального числа .) ^{[2] : 52}

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}={\biggl (}\sum _{i=0}^{n}i{\biggr )}^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}\qquad }$( теорема Никомаха ) ^{[2] : 52}

В более общем плане имеется формула Фаульхабера для ${\displaystyle p>1}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+\sum _{k=2}^{p}{\binom {p}{k}}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}\,n^{p-k+1},}$

где обозначает число Бернулли , а – биномиальный коэффициент . ${\displaystyle B_{k}}$ ${\displaystyle {\binom {p}{k}}}$

Индекс суммирования в показателях

В следующих суммированиях предполагается, что a отличается от 1.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}}$(сумма геометрической прогрессии )

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{i}}}=2-{\frac {1}{2^{n-1}}}}$(частный случай для a = 1/2 )

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}}$( a , умноженная на производную по a геометрической прогрессии)

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n-1}\left(b+id\right)a^{i}&=b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}+d\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}\\&=b\left({\frac {1-a^{n}}{1-a}}\right)+d\left({\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}\right)\\&={\frac {b(1-a^{n})-(n-1)da^{n}}{1-a}}+{\frac {da(1-a^{n-1})}{(1-a)^{2}}}\end{aligned}}}$

(сумма арифметико-геометрической последовательности )

Биномиальные коэффициенты и факториалы

Существует очень много тождеств суммирования с биномиальными коэффициентами (целая глава « Конкретной математики» посвящена только основным приемам). Некоторые из наиболее основных из них следующие.

Использование биномиальной теоремы

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{n-i}b^{i}=(a+b)^{n},}$биномиальная теорема

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n},}$частный случай, когда a = b = 1

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=1}$, специальный случай, когда p = a = 1 − b , который для выражает сумму биномиального распределения ${\displaystyle 0\leq p\leq 1,}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i{n \choose i}=n(2^{n-1}),}$значение при a = b = 1 производной по a биномиальной теоремы

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {n \choose i}{i+1}}={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}},}$значение при a = b = 1 первообразной по a биномиальной теоремы

Использование чисел перестановки

В следующих суммированиях – это количество k -перестановок n . ${\displaystyle {}_{n}P_{k}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{}_{i}P_{k}{n \choose i}={}_{n}P_{k}(2^{n-k})}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=0}^{k}(i+j)={\frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\sum _{i=0}^{n}{}_{n}P_{i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor ,\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}}$, где и обозначает функцию пола . ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

Другие

${\displaystyle \sum _{k=0}^{m}{\binom {n+k}{n}}={\binom {n+m+1}{n+1}}}$

${\displaystyle \sum _{i=k}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i\cdot i!=(n+1)!-1}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{m+i-1 \choose i}={m+n \choose n}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}={2n \choose n}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{i!}}={\frac {\lfloor n!\;e\rfloor }{n!}}}$

Гармонические числа

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}\quad }$( номер n- й гармоники )

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{k}\quad }$( обобщенный номер гармоники )

Темпы роста

Ниже приведены полезные приближения (с использованием тета-нотации ):

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{c}\in \Theta (n^{c+1})}$для реального c больше -1

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\in \Theta (\log _{e}n)}$(См. номер гармоники )

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c^{i}\in \Theta (c^{n})}$на самом деле c больше 1

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\in \Theta (n\cdot \log(n)^{c})}$для неотрицательного действительного c

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\in \Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})}$для неотрицательных действительных c , d

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}\in \Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})}$для неотрицательного действительного b > 1, c , d

История

• В 1675 году Готфрид Вильгельм Лейбниц в письме Генриху Ольденбургу предлагает использовать символ ∫ для обозначения суммы дифференциалов ( лат . Calculus summatorius ), отсюда и S-образная форма. ^{[4] [5] [6]} Переименование этого символа в интеграл возникло позже в беседах с Иоганном Бернулли . ^[6]
• В 1755 году символ суммирования Σ засвидетельствован в книге Леонарда Эйлера « Institutiones Calculi Differentialis» . ^{[7] [8]} Эйлер использует этот символ в таких выражениях, как:

${\displaystyle \Sigma \ (2wx+w^{2})=x^{2}}$

• В 1772 году использование Σ и Σ ⁿ засвидетельствовано Лагранжем . ^{[7] [9]}
• В 1823 году заглавная буква S была признана символом суммирования серий. Это использование, по-видимому, было широко распространено. ^[7]
• В 1829 году символ суммирования Σ засвидетельствован Фурье и К.Г. Якоби . ^[7] Использование Фурье включает в себя нижнюю и верхнюю границы, например: ^{[10] [11]}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }e^{-i^{2}t}\ldots }$

Смотрите также

• Обозначение заглавной буквы «пи»
• Обозначение Эйнштейна
• Кронштейн Айверсона
• Итерированная бинарная операция
• Алгоритм суммирования Кахана
• Продукт (математика)
• Суммирование по частям
• ∑ одиночный символ суммирования (U+2211 N-ARY SUMMATION )
• ⎲ начало парного глифа (U+23B2 SUMMATION TOP )
• ⎳ конец парного глифа (U+23B3 СУММАЦИЯ НИЖНЯЯ )

Примечания

1. Подробности см. в разделе Треугольное число .
2. Подробное описание обозначений суммирования и арифметики с суммами см. в Graham, Ronald L.; Кнут, Дональд Э.; Паташник, Орен (1994). «Глава 2: Суммы». Конкретная математика: Фонд информатики (PDF) (2-е изд.). Аддисон-Уэсли Профессионал. ISBN 978-0201558029.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
3. в контекстах, где нет возможности путаницы с воображаемой единицей ${\displaystyle i}$
4. Хотя имя фиктивной переменной не имеет значения (по определению), для обозначения целых чисел обычно используются буквы из середины алфавита ( до ), если есть риск путаницы. Например, даже если не должно быть никаких сомнений в интерпретации, многим математикам может показаться немного запутанным видеть вместо приведенных выше формул, включающих . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Рекомендации

1. «Обозначение суммирования». www.columbia.edu . Проверено 16 августа 2020 г.
2. Справочник по дискретной и комбинаторной математике , Кеннет Х. Розен, Джон Г. Майклс, CRC Press, 1999, ISBN 0-8493-0149-1 . 
3. «Исчисление I — обозначение суммирования». учебник.math.lamar.edu . Проверено 16 августа 2020 г.
4. Бертон, Дэвид М. (2011). История математики: Введение (7-е изд.). МакГроу-Хилл. п. 414. ИСБН 978-0-07-338315-6.
5. Лейбниц, Готфрид Вильгельм (1899). Герхардт, Карл Иммануэль (ред.). Der Briefwechsel фон Готфрида Вильгельма Лейбница с математикой. Эрстер Бэнд. Берлин: Майер и Мюллер. п. 154.
6. Каджори (1929), стр. 181-182.
7. Каджори (1929), с. 61.
8. Эйлер, Леонард (1755). Institutiones Calculi Differentialis (на латыни). Петрополис. п. 27.
9. Лагранж, Жозеф-Луи (1867–1892). Творения Лагранжа. Том 3 (на французском языке). Париж. п. 451.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
10. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France pour l'année 1825, том VIII (на французском языке). Пэрис: Дидо. 1829. стр. 581-622.
11. Фурье, Жан-Батист Жозеф (1888–1890). Творения Фурье. Том 2 (на французском языке). Париж: Готье-Виллар. п. 149.

Библиография

• Каджори, Флориан (1929). История математических обозначений, том II. Издательство «Открытый суд». ISBN 978-0-486-67766-8.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с суммированием, на Викискладе?