Модуль и характеристика выпуклости

В математике модуль выпуклости и характеристика выпуклости являются мерами того, «насколько выпуклым » является единичный шар в банаховом пространстве . В некотором смысле модуль выпуклости имеет такое же отношение к ε - δ определению равномерной выпуклости , как модуль непрерывности имеет к ε - δ определению непрерывности .

Определения

Модуль выпуклости банахова пространства ( X , ||⋅||) — это функция δ  : [0, 2] → [0, 1], определяемая соотношением

${\displaystyle \delta (\varepsilon )=\inf \left\{1-\left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\,:\,x,y\in S,\|x-y\|\geq \varepsilon \right\},}$

где S обозначает единичную сферу ( X , || ||). В определении  δ ( ε ) можно также взять инфимум по всем векторам x , y в  X таким, что ǁ x ǁ, ǁ y ǁ ≤ 1 и ǁ x − y ǁ ≥ ε . ^[1]

Характеристикой выпуклости пространства ( X , || ||) является число ε _0, определяемое соотношением

${\displaystyle \varepsilon _{0}=\sup\{\varepsilon \,:\,\delta (\varepsilon )=0\}.}$

Эти понятия подразумеваются в общем исследовании равномерной выпуклости Дж. А. Кларксона (Кларксон (1936); это та же статья, содержащая утверждения неравенств Кларксона ). Термин «модуль выпуклости», по-видимому, принадлежит М. М. Дэю. ^[2]

Характеристики

• Модуль выпуклости δ ( ε ) является неубывающей функцией ε , и частное δ ( ε ) /  ε также не убывает на  (0, 2] . ^[3] Модуль выпуклости сам по себе не обязательно должен быть выпуклой функцией ε  . ^[4] Однако модуль выпуклости эквивалентен выпуклой функции в следующем смысле: [ ^5] существует выпуклая функция δ ₁ ( ε ) такая, что

${\displaystyle \delta (\varepsilon /2)\leq \delta _{1}(\varepsilon )\leq \delta (\varepsilon ),\quad \varepsilon \in [0,2].}$

• Нормированное пространство ( X , ǁ ⋅ ǁ) равномерно выпукло тогда и только тогда, когда его характеристика выпуклости ε ₀ равна 0, т.е. тогда и только тогда, когда δ ( ε ) > 0 для любого  ε > 0 .
• Банахово пространство ( X , ǁ ⋅ ǁ) является строго выпуклым пространством (т. е. граница единичного шара B не содержит отрезков прямых) тогда и только тогда, когда δ (2) = 1, т. е . если только антиподальные точки (вида x и y  = − x ) единичной сферы могут иметь расстояние, равное 2.
• Когда X равномерно выпукло, оно допускает эквивалентную норму с модулем выпуклости степенного типа. ^[6] А именно, существует q ≥ 2 и константа  c > 0 такие, что

${\displaystyle \delta (\varepsilon )\geq c\,\varepsilon ^{q},\quad \varepsilon \in [0,2].}$

Модуль выпуклостиЛПпространства

Модуль выпуклости известен для пространств L ^{P. [7]} Если , то он удовлетворяет следующему неявному уравнению: ${\displaystyle 1<p\leq 2}$

${\displaystyle \left(1-\delta _{p}(\varepsilon )+{\frac {\varepsilon }{2}}\right)^{p}+\left(1-\delta _{p}(\varepsilon )-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)^{p}=2.}$

Зная, что можно предположить, что . Подставляя это в вышеприведенное выражение и разлагая левую часть в ряд Тейлора вокруг , можно вычислить коэффициенты: ${\displaystyle \delta _{p}(\varepsilon +)=0,}$ ${\displaystyle \delta _{p}(\varepsilon )=a_{0}\varepsilon +a_{1}\varepsilon ^{2}+\cdots }$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle \delta _{p}(\varepsilon )={\frac {p-1}{8}}\varepsilon ^{2}+{\frac {1}{384}}(3-10p+9p^{2}-2p^{3})\varepsilon ^{4}+\cdots .}$

Для , имеется явное выражение ${\displaystyle 2<p<\infty }$

${\displaystyle \delta _{p}(\varepsilon )=1-\left(1-\left({\frac {\varepsilon }{2}}\right)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Поэтому, . ${\displaystyle \delta _{p}(\varepsilon )={\frac {1}{p2^{p}}}\varepsilon ^{p}+\cdots }$

Смотрите также

• Равномерно гладкое пространство

Примечания

1. стр. 60 в Линденштраус и Цафрири (1979).
2. Дэй, Махлон (1944), «Равномерная выпуклость в факторных и сопряженных пространствах», Annals of Mathematics , 2, 45 (2): 375–385, doi :10.2307/1969275, JSTOR  1969275
3. Лемма 1.e.8, с. 66 в Линденштраусе и Цафрири (1979).
4. см. Примечания, стр. 67 в Lindenstrauss & Tzafriri (1979).
5. см. Предложение 1.e.6, стр. 65 и Лемму 1.e.7, 1.e.8, стр. 66 в Lindenstrauss & Tzafriri (1979).
6. см. Pisier, Gilles (1975), «Мартингалы со значениями в равномерно выпуклых пространствах», Israel Journal of Mathematics , 20 (3–4): 326–350, doi :10.1007/BF02760337, MR  0394135, S2CID  120947324.
7. Ханнер, Олоф (1955), «О равномерной выпуклости и », Arkiv for Matematik , 3 : 239–244, doi : 10.1007/BF02589410 ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

Ссылки

• Бозами, Бернард (1985) [1982]. Введение в банаховы пространства и их геометрию (Второе исправленное издание). Северная Голландия. ISBN 0-444-86416-4. МР  0889253.
• Кларксон, Джеймс (1936), «Равномерно выпуклые пространства», Труды Американского математического общества , 40 (3), Американское математическое общество: 396–414, doi : 10.2307/1989630 , JSTOR  1989630
• Фустер, Энрике Льоренс. Некоторые модули и константы, связанные с метрической теорией неподвижных точек. Справочник по метрической теории неподвижных точек , 133–175, Kluwer Acad. Publ., Дордрехт, 2001. MR 1904276
• Линденштраус, Иорам и Беньямини, Иоав. Геометрический нелинейный функциональный анализ, публикации коллоквиума, 48. Американское математическое общество.
• Линденштраусс, Йорам ; Цафрири, Лиор (1979), Классические банаховы пространства. II. Функциональные пространства , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Результаты по математике и смежным областям], том. 97, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. x+243, ISBN. 3-540-08888-1.
• Виталий Д. Мильман . Геометрическая теория банаховых пространств II. Геометрия единичной сферы. Успехи математических наук, т. 26, № 6, 73–149, 1971; Обзоры уч. мат. наук , т. 26 6, 80–159.