Инерционная волна

Экваториальный инерционный волновой импульс вызвал закономерности течения жидкости внутри равномерно вращающейся сферической камеры. Стрелки на этом поперечном сечении показывают направление и силу потока в экваториальной плоскости, поскольку сфера продолжает вращаться по часовой стрелке вокруг своей оси, показанной слева. Красный цвет указывает на поток из плоскости; синий цвет указывает на поток в плоскость.

Инерционные волны , также известные как инерционные колебания , являются типом механических волн, возможных во вращающихся жидкостях . В отличие от поверхностных гравитационных волн, которые обычно можно увидеть на пляже или в ванне, инерционные волны протекают через внутреннюю часть жидкости, а не по поверхности. Как и любой другой вид волны, инерционная волна вызывается восстанавливающей силой и характеризуется своей длиной волны и частотой . Поскольку восстанавливающей силой для инерционных волн является сила Кориолиса , их длины волн и частоты связаны особым образом. Инерционные волны являются поперечными . Чаще всего они наблюдаются в атмосферах, океанах, озерах и лабораторных экспериментах. Волны Россби , геострофические течения и геострофические ветры являются примерами инерционных волн. Инерционные волны также, вероятно, существуют в расплавленном ядре вращающейся Земли .

Восстановление силы

Инерционные волны восстанавливаются в равновесии силой Кориолиса , которая является результатом вращения. Точнее, сила Кориолиса возникает (вместе с центробежной силой ) во вращающейся системе отсчета, чтобы учесть тот факт, что такая система отсчета всегда ускоряется. Поэтому инерционные волны не могут существовать без вращения. Более сложная, чем натяжение струны, сила Кориолиса действует под углом 90° к направлению движения, и ее величина зависит от скорости вращения жидкости. Эти два свойства приводят к особым характеристикам инерционных волн.

Характеристики

Инерционные волны возможны только при вращении жидкости и существуют в объеме жидкости, а не на ее поверхности. Подобно световым волнам, инерционные волны являются поперечными , что означает, что их колебания происходят перпендикулярно направлению распространения волны. Одной из своеобразных геометрических характеристик инерционных волн является то, что их фазовая скорость , описывающая движение гребней и впадин волны , перпендикулярна их групповой скорости , которая является мерой распространения энергии.

В то время как звуковая волна или электромагнитная волна любой частоты возможны, инерционные волны могут существовать только в диапазоне частот от нуля до удвоенной скорости вращения жидкости. Более того, частота волны определяется направлением ее распространения. Волны, распространяющиеся перпендикулярно оси вращения, имеют нулевую частоту и иногда называются геострофическими модами. Волны, распространяющиеся параллельно оси, имеют максимальную частоту (удвоенную скорость вращения), а волны под промежуточными углами имеют промежуточные частоты. В свободном пространстве инерционная волна может существовать на любой частоте от 0 до удвоенной скорости вращения. Однако закрытый контейнер может накладывать ограничения на возможные частоты инерционных волн, как и для любого вида волн. Инерционные волны в закрытом контейнере часто называют инерционными модами . Например, в сфере инерционные моды вынуждены принимать дискретные частоты, оставляя промежутки, где не могут существовать никакие моды.

Примеры инерционных волн

Любой вид жидкости может поддерживать инерционные волны: вода, нефть, жидкие металлы, воздух и другие газы. Инерционные волны чаще всего наблюдаются в планетарных атмосферах ( волны Россби , геострофические ветры ) и в океанах и озерах ( геострофические течения ), где они отвечают за большую часть происходящего смешивания. Инерционные волны, на которые влияет наклон дна океана, часто называют волнами Россби . Инерционные волны можно наблюдать в лабораторных экспериментах или в промышленных потоках, где вращается жидкость. Инерционные волны также, вероятно, существуют в жидком внешнем ядре Земли, и по крайней мере одна группа [1] заявила о доказательствах их существования. Аналогично, инерционные волны, вероятно, существуют во вращающихся астрономических потоках, таких как звезды , аккреционные диски , планетарные кольца и галактики .

Математическое описание

Течение жидкости регулируется уравнением Навье-Стокса для импульса. Скорость течения жидкости с вязкостью под давлением и вращающейся со скоростью изменяется со временем в соответствии с ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}=-{\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}P+\nu \nabla ^{2}{\vec {u}}-2{\vec {\Omega }}\times {\vec {u}}.}$

Первый член справа учитывает давление, второй — вязкую диффузию, а третий (последний) член в правой части уравнения импульса (выше) — это член Кориолиса.

Если быть точным, это скорость потока, наблюдаемая во вращающейся системе отсчета. Поскольку вращающаяся система отсчета является ускоряющейся (т.е. неинерциальной), в результате этого преобразования координат возникают две дополнительные (псевдо)силы (как упоминалось выше): центробежная сила и сила Кориолиса. В приведенном выше уравнении центробежная сила включена как часть обобщенного давления , то есть связана с обычным давлением , в зависимости от расстояния от оси вращения , соотношением ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle P=p+{\frac {1}{2}}\rho r^{2}\Omega ^{2}.}$

В случае, когда скорость вращения велика, сила Кориолиса и центробежная сила становятся большими по сравнению с другими членами. Будучи малыми по сравнению с ними, диффузия и «конвективная производная» (второй член слева) могут быть опущены. Взяв завиток обеих сторон и применив несколько векторных тождеств, получаем результат

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times {\vec {u}}=2({\vec {\Omega }}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}.}$

Одним из классов решений этого уравнения являются волны, удовлетворяющие двум условиям. Во-первых, если — волновой вектор , ${\displaystyle {\vec {k}}}$

${\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {k}}=0,}$

то есть волны должны быть поперечными, как упоминалось выше. Во-вторых, решения должны иметь частоту, удовлетворяющую дисперсионному соотношению ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega =2{\hat {k}}\cdot {\vec {\Omega }}=2\Omega \cos {\theta },}$

где — угол между осью вращения и направлением волны. Эти частные решения известны как инерционные волны. ${\displaystyle \theta }$

Дисперсионное соотношение очень похоже на член Кориолиса в уравнении импульса — обратите внимание на скорость вращения и множитель два. Это сразу подразумевает диапазон возможных частот для инерционных волн, а также зависимость их частоты от направления.

Дальнейшее чтение

• Aldridge, KD; I. Lumb (1987). «Инерционные волны, идентифицированные в жидком внешнем ядре Земли». Nature . 325 (6103): 421–423. Bibcode :1987Natur.325..421A. doi :10.1038/325421a0. S2CID  4312055.
• Гринспен, Х. П. (1969). Теория вращающихся жидкостей . Cambridge University Press.
• Ландау, Л. Д.; Лифшиц, Э. М. (1987). Механика жидкости, второе издание . Нью-Йорк: Elsevier. ISBN 978-0-7506-2767-2.