Теорема о главном идеале

Теорема теории полей классов об отображениях, индуцированных расширением идеалов

В математике теорема о главном идеале теории полей классов , раздела алгебраической теории чисел , гласит, что расширение идеалов даёт отображение на группе классов поля алгебраических чисел в группу классов его поля классов Гильберта , которое переводит все классы идеалов в класс главного идеала. Это явление также называется принципализацией или иногда капитуляцией .

Официальное заявление

Для любого алгебраического числового поля K и любого идеала I кольца целых чисел K , если L — поле классов Гильберта кольца K , то

${\displaystyle IO_{L}\ }$

— главный идеал α O _L , для O _{L —} кольцо целых чисел кольца L и некоторый элемент α в нем.

История

Теорема о главном идеале была выдвинута Давидом Гильбертом  (1902) и стала последним оставшимся аспектом его программы о полях классов, который был завершен в 1929 году.

Эмиль Артин (1927, 1929) свел теорему о главном идеале к вопросу о конечных абелевых группах: он показал, что она будет следовать, если переход от конечной группы к ее производной подгруппе тривиален. Этот результат был доказан Филиппом Фуртвенглером (1929).

Ссылки

• Артин, Эмиль (1927), «Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 5 (1): 353–363, doi : 10.1007/BF02952531, S2CID  123050778
• Артин, Эмиль (1929), «Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetz», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 7 (1): 46–51, doi : 10.1007/BF02941159, S2CID  121475651
• Фуртвенглер, Филипп (1929). «Beweis des Hauptidealsatzes for Klassenkörper алгебраический Zahlkörper». Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg . 7 : 14–36. дои : 10.1007/BF02941157. ЖФМ  55.0699.02. S2CID  123544263.
• Gras, Georges (2003). Теория полей классов. От теории к практике . Springer Monographs in Mathematics. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-44133-6. Збл  1019.11032.
• Гильберт, Дэвид (1902) [1898], «Über die Theorie der relativ-Abel'schen Zahlkörper», Acta Mathematica , 26 (1): 99–131, doi : 10.1007/BF02415486
• Кох, Хельмут (1997). Алгебраическая теория чисел . Encycl. Math. Sci. Vol. 62 (2-е издание 1-го изд.). Springer-Verlag . стр. 104. ISBN 3-540-63003-1. Збл  0819.11044.
• Serre, Jean-Pierre (1979). Локальные поля . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 67. Перевод Гринберга, Марвина Джея . Springer-Verlag . стр. 120–122. ISBN 0-387-90424-7. Збл  0423.12016.