свойство CLRg

В математике понятие свойства «общий предел в области», обозначаемое свойством CLRg ^{[1] [2] [3],} представляет собой теорему, которая объединяет, обобщает и расширяет сжимающие отображения в нечетких метрических пространствах, где область отображения не обязательно должна быть замкнутым подпространством непустого множества . ${\displaystyle X}$

Предположим, что — непустое множество, и — метрика расстояния; таким образом, — метрическое пространство. Теперь предположим, что у нас есть собственные отображения . Говорят, что эти отображения удовлетворяют свойству CLRg, если  ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle f,g:X\to X.}$

$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }fx_{k}=\lim _{k\to \infty }gx_{k}=gx,}$$для некоторых ${\displaystyle x\in X.}$ 

Далее мы приведем несколько примеров, удовлетворяющих свойству CLRg .

Примеры

Источник: ^[1]

Пример 1

Предположим, что — обычное метрическое пространство, причем теперь отображения определяются соответственно следующим образом: ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X=[0,\infty ).}$ ${\displaystyle f,g:X\to X}$

• ${\displaystyle fx={\frac {x}{4}}}$
• ${\displaystyle gx={\frac {3x}{4}}}$

для всех Теперь, если рассмотреть следующую последовательность . Мы можем увидеть, что ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle \{x_{k}\}=\{1/k\}}$

$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }fx_{k}=\lim _{k\to \infty }gx_{k}=g0=0,}$$

Таким образом, отображения и удовлетворяют свойству CLRg . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Ниже приведен еще один пример, который еще больше подчеркивает это свойство CLRg.

Пример 2

Пусть — обычное метрическое пространство, причем теперь отображения определяются соответственно следующим образом: ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X=[0,\infty ).}$ ${\displaystyle f,g:X\to X}$

• ${\displaystyle fx=x+1}$
• ${\displaystyle gx=2x}$

для всех Теперь, если рассмотреть следующую последовательность . Мы можем легко увидеть, что ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle \{x_{k}\}=\{1+1/k\}}$

$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }fx_{k}=\lim _{k\to \infty }gx_{k}=g1=2,}$$

следовательно, отображения и удовлетворяют свойству CLRg . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Ссылки

1. Sintunavarat, Wutiphol; Kumam, Poom (14 августа 2011 г.). "Общие теоремы о неподвижных точках для пары слабо совместимых отображений в нечетких метрических пространствах". Журнал прикладной математики . 2011 : e637958. doi : 10.1155/2011/637958 .
2. MOHAMMAD, MDAD; BD, Pant; SUNNY, CHAUHAN (2012). "ТЕОРЕМЫ О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ В ПРОСТРАНСТВАХ МЕНГЕРА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВА $(CLR\_$\{$ST$\}$) $ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ". Журнал нелинейного анализа и оптимизации: теория \& приложения . 3 : 225–237. doi : 10.1186/1687-1812-2012-55 .
3. P Agarwal, Ravi; K Bisht, Ravindra; Shahzad, Naseer (13 февраля 2014 г.). «Сравнение различных некоммутирующих условий в метрической теории неподвижных точек и их приложения». Fixed Point Theory and Applications . 2014 : 1–33. doi : 10.1186/1687-1812-2014-38 .