Теорема Гейне–Бореля

Подмножество евклидова пространства компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.

В реальном анализе теорема Гейне–Бореля , названная в честь Эдуарда Гейне и Эмиля Бореля , гласит:

Для подмножества S евклидова пространства R n ^{следующие} два утверждения эквивалентны:

• S компактно , то есть каждое открытое покрытие S имеет конечное подпокрытие
• S замкнуто и ограничено .​

История и мотивация

История того, что сегодня называется теоремой Гейне–Бореля, начинается в 19 веке с поиска прочных основ вещественного анализа. Центральными в теории были концепция равномерной непрерывности и теорема, утверждающая, что каждая непрерывная функция на замкнутом и ограниченном интервале равномерно непрерывна. Петер Густав Лежен Дирихле был первым, кто доказал это, и неявно он использовал существование конечного подпокрытия заданного открытого покрытия замкнутого интервала в своем доказательстве. ^[1] Он использовал это доказательство в своих лекциях 1852 года, которые были опубликованы только в 1904 году. ^[1] Позже Эдуард Гейне , Карл Вейерштрасс и Сальваторе Пинкерле использовали похожие методы. Эмиль Борель в 1895 году был первым, кто сформулировал и доказал форму того, что сейчас называется теоремой Гейне–Бореля. Его формулировка была ограничена счетными покрытиями. Пьер Кузен (1895), Лебег (1898) и Шёнфлис (1900) обобщили его на произвольные покрытия. ^[2]

Доказательство

Если множество компактно, то оно должно быть замкнутым.

Пусть S будет подмножеством R ⁿ . Сначала заметим следующее: если a является предельной точкой S , то любая конечная совокупность C открытых множеств, такая, что каждое открытое множество U ∈ C не пересекается с некоторой окрестностью V U _{множества} a , не является покрытием S . Действительно, пересечение конечного семейства множеств V _U является окрестностью W множества a в R ⁿ . Поскольку a является предельной точкой S , W должно содержать точку x из S . Эта точка x ∈ S не покрывается семейством C , потому что каждое U из C не пересекается с V _U и, следовательно, не пересекается с W , которое содержит x .

Если S компактно, но не замкнуто, то оно имеет предельную точку a, не лежащую в S. Рассмотрим набор C ′, состоящий из открытой окрестности N ( x ) для каждого x ∈ S , выбранной достаточно малой, чтобы не пересекать некоторую окрестность V _x множества a . Тогда C ′ является открытым покрытием S , но любая конечная подколлекция C ′ имеет вид C , обсуждавшийся ранее, и, таким образом, не может быть открытым подпокрытием S . Это противоречит компактности S . Следовательно, каждая предельная точка S лежит в S , поэтому S замкнуто.

Приведенное выше доказательство практически без изменений применимо к показателю того, что любое компактное подмножество S хаусдорфова топологического пространства X замкнуто в X.

Если множество компактно, то оно ограничено.

Пусть будет компактным множеством в , и шаром радиуса 1 с центром в . Тогда множество всех таких шаров с центром в является, очевидно, открытым покрытием , так как содержит все из . Так как является компактным, возьмем конечное подпокрытие этого покрытия. Это подпокрытие является конечным объединением шаров радиуса 1. Рассмотрим все пары центров этих (конечного числа) шаров (радиуса 1) и пусть будет максимумом расстояний между ними. Тогда если и являются центрами (соответственно) единичных шаров, содержащих произвольные , неравенство треугольника гласит: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U_{x}}$ ${\displaystyle x\in \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \cup _{x\in S}U_{x}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C_{p}}$ ${\displaystyle C_{q}}$ ${\displaystyle p,q\in S}$

$${\displaystyle d(p,q)\leq d(p,C_{p})+d(C_{p},C_{q})+d(C_{q},q)\leq 1+M+1=M+2.}$$

Таким образом, диаметр ограничен величиной . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M+2}$

Лемма: Замкнутое подмножество компактного множества компактно.

Пусть K — замкнутое подмножество компактного множества T в Rn ^, а C _K — открытое покрытие K. Тогда U = Rn \ K — открытое множество ^и

$${\displaystyle C_{T}=C_{K}\cup \{U\}}$$

является открытым покрытием T . Поскольку T компактен, то C _T имеет конечное подпокрытие , которое также покрывает меньшее множество K . Поскольку U не содержит ни одной точки из K , множество K уже покрыто , которое является конечным подмножеством исходного множества C _K . Таким образом, из любого открытого покрытия C _K множества K можно извлечь конечное подпокрытие. ${\displaystyle C_{T}',}$ ${\displaystyle C_{K}'=C_{T}'\setminus \{U\},}$

Если множество замкнуто и ограничено, то оно компактно.

^Если множество S в Rn ограничено, то его можно заключить в n -бокс

$${\displaystyle T_{0}=[-a,a]^{n}}$$

где a > 0. По лемме выше достаточно показать, что T ₀ компактно.

Предположим, от противного, что T ₀ не является компактным. Тогда существует бесконечное открытое покрытие C для T ₀ , которое не допускает никакого конечного подпокрытия. Путем деления пополам каждой из сторон T ₀ ящик T ₀ можно разбить на 2 ⁿ подn -ящиков , каждый из которых имеет диаметр, равный половине диаметра T ₀ . Тогда по крайней мере одно из 2 ⁿ сечений T ₀ должно требовать бесконечное подпокрытие C , в противном случае само C имело бы конечное подпокрытие, объединяя вместе конечные покрытия секций. Назовем это сечение T ₁ .

Аналогично, стороны T ₁ можно разделить пополам, получив 2 ⁿ секций T ₁ , по крайней мере одна из которых должна требовать бесконечного подпокрытия C . Продолжая таким же образом, получаем убывающую последовательность вложенных n -ящиков:

$${\displaystyle T_{0}\supset T_{1}\supset T_{2}\supset \ldots \supset T_{k}\supset \ldots }$$

где длина стороны T _k равна (2 a ) / 2 ^k , которая стремится к 0, когда k стремится к бесконечности. Определим последовательность ( x _k ) такую, что каждый x _k лежит в T _k . Эта последовательность является последовательностью Коши , поэтому она должна сходиться к некоторому пределу L . Поскольку каждый T _k замкнут, и для каждого k последовательность ( x _k ) в конечном итоге всегда находится внутри T _k , мы видим, что L  ∈  T _k для каждого k .

Так как C покрывает T ₀ , то у него есть некоторый элемент U  ∈ C такой, что L  ∈ U . Так как U открыто, то существует n -шар B ( L ) ⊆ U . Для достаточно большого k имеем T _k ⊆ B ( L ) ⊆ U , но тогда бесконечное число элементов C, необходимых для покрытия T _{k ,} можно заменить всего одним: U , противоречие.

Таким образом, T ₀ компактно. Поскольку S замкнуто и является подмножеством компактного множества T ₀ , то S также компактно (см. лемму выше).

Обобщение теоремы Гейне-Бореля

В общих метрических пространствах имеет место следующая теорема:

Для подмножества метрического пространства следующие два утверждения эквивалентны: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,d)}$

• ${\displaystyle S}$компактный,
• ${\displaystyle S}$является предкомпактным ^[3] и полным. ^[4]

Вышеизложенное следует непосредственно из теоремы 3.16.1 Жана Дьедонне ^[5] , которая гласит:

Для метрического пространства следующие три условия эквивалентны: ${\displaystyle (X,d)}$

• (а) компактен; ${\displaystyle X}$
• (б) любая бесконечная последовательность имеет по крайней мере кластерное значение; ^[6] ${\displaystyle X}$
• (c) является предкомпактным и полным. ${\displaystyle X}$

Свойство Гейне–Бореля

Теорема Гейне–Бореля не выполняется в том виде, в котором она сформулирована для общих метрических и топологических векторных пространств , и это приводит к необходимости рассматривать специальные классы пространств, где это предложение верно. Говорят, что эти пространства обладают свойством Гейне–Бореля .

В теории метрических пространств

Говорят, что метрическое пространство обладает свойством Гейне –Бореля, если каждое замкнутое ограниченное ^[7] множество в является компактным. ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X}$

Многие метрические пространства не обладают свойством Гейне–Бореля, например, метрическое пространство рациональных чисел (или вообще любое неполное метрическое пространство). Полные метрические пространства также могут не обладать этим свойством; например, никакие бесконечномерные банаховы пространства не обладают свойством Гейне–Бореля (как метрические пространства). Еще более тривиально, если вещественная прямая не наделена обычной метрикой, она может не обладать свойством Гейне–Бореля.

Метрическое пространство имеет метрику Гейне–Бореля, которая локально идентична метрике Коши тогда и только тогда, когда она является полной , -компактной и локально компактной . ^[8] ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \sigma }$

В теории топологических векторных пространств

Говорят, что топологическое векторное пространство обладает свойством Гейне –Бореля ^[9] (RE Edwards использует термин ограниченно компактное пространство ^[10] ), если каждое замкнутое ограниченное ^[11] множество в является компактным. ^[12] Никакие бесконечномерные банаховы пространства не обладают свойством Гейне–Бореля (как топологические векторные пространства). Но некоторые бесконечномерные пространства Фреше обладают, например, пространство гладких функций на открытом множестве ^[10] и пространство голоморфных функций на открытом множестве . ^[10] В более общем смысле, любое квазиполное ядерное пространство обладает свойством Гейне–Бореля. Все пространства Монтеля также обладают свойством Гейне–Бореля. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle H(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} ^{n}}$

Смотрите также

• Теорема Больцано–Вейерштрасса

Примечания

1. Raman-Sundström, Manya (август–сентябрь 2015 г.). «Педагогическая история компактности». American Mathematical Monthly . 122 (7): 619–635. arXiv : 1006.4131 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619. JSTOR  10.4169/amer.math.monthly.122.7.619. S2CID  119936587.
2. Сундстрём, Манья Раман (2010). «Педагогическая история компактности». arXiv : 1006.4131v1 [math.HO].
3. Множество метрического пространства называется предкомпактным (или иногда «вполне ограниченным»), если для любого существует конечное покрытие множествами диаметра . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle <\epsilon }$
4. Множество метрического пространства называется полным, если любая последовательность Коши в сходится к точке в . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
5. Diedonnné, Jean (1969): Основы современного анализа, том 1, увеличенная и исправленная печать. Academic Press, Нью-Йорк, Лондон, стр. 58
6. Говорят, что точка является значением кластера бесконечной последовательности элементов , если существует подпоследовательность такая, что . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x_{n}\in X}$ ${\displaystyle (x_{n_{k}})}$ ${\displaystyle x=\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}}$
7. Множество в метрическом пространстве называется ограниченным, если оно содержится в шаре конечного радиуса, т.е. существует и такое, что . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle a\in X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B\subseteq \{x\in X:\ d(x,a)\leq r\}}$
8. Уильямсон и Янос 1987.
9. Кириллов и Гвишиани 1982, Теорема 28.
10. Эдвардс 1965, 8.4.7.
11. Множество в топологическом векторном пространстве называется ограниченным, если для каждой окрестности нуля в существует скаляр такой, что . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle B\subseteq \lambda \cdot U}$
12. В случае, когда топология топологического векторного пространства порождается некоторой метрикой, это определение не эквивалентно определению свойства Гейне–Бореля как метрического пространства, поскольку понятие ограниченного множества в как метрического пространства отличается от понятия ограниченного множества в как топологического векторного пространства. Например, пространство гладких функций на интервале с метрикой (здесь — -я производная функции ) обладает свойством Гейне–Бореля как топологическое векторное пространство, но не как метрическое пространство. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }[0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle d(x,y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}\cdot {\frac {\max _{t\in [0,1]}|x^{(k)}(t)-y^{(k)}(t)|}{1+\max _{t\in [0,1]}|x^{(k)}(t)-y^{(k)}(t)|}}}$ ${\displaystyle x^{(k)}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x\in {\mathcal {C}}^{\infty }[0,1]}$

Ссылки

• П. Дугач (1989). «Сюр-ла-переписка Бореля и теории Дирихле – Гейне – Вейерштрасса – Бореля – Шенфлиса – Лебега». Арх. Межд. Хист. Наука . 39 : 69–110.
• BookOfProofs: Собственность Гейне-Бореля
• Джеффрис, Х.; Джеффрис, Б.С. (1988). Методы математической физики . Cambridge University Press. ISBN 978-0521097239.
• Уильямсон, Р.; Янош, Л. (1987). «Метрики построения со свойством Гейне-Бореля». Proc. AMS . 100 (3): 567–573. doi : 10.1090/S0002-9939-1987-0891165-X .
• Кириллов А.А.; Гвишиани, А.Д. (1982). Теоремы и задачи функционального анализа . Спрингер-Верлаг Нью-Йорк. ISBN 978-1-4613-8155-6.
• Эдвардс, Р. Э. (1965). Функциональный анализ . Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 0030505356.

Внешние ссылки

• Ivan Kenig, Dr. Prof. Hans-Christian Graf v. Botthmer, Дмитрий Тиссен, Андреас Тимм, Виктор Виттман (2004). Теорема Гейне–Бореля. Ганновер: Leibniz Universität. Архивировано из оригинала (avi • mp4 • mov • swf • потоковое видео) 2011-07-19.
• «Теорема Бореля-Лебега о покрытии», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Mathworld "Теорема Гейне-Бореля"
• «Анализ первых доказательств теоремы Гейне-Бореля — доказательство Лебега»