В математике понятие отмены (или упразднимости ) является обобщением понятия обратимости .
Элемент a в магме ( M , ∗) обладает свойством левого сокращения (или является левосократительным ) , если для всех b и c в M из a ∗ b = a ∗ c всегда следует, что b = c .
Элемент a в магме ( M , ∗ ) обладает свойством сокращения справа (или является правом сокращения ) , если для всех b и c в M из b ∗ a = c ∗ a всегда следует, что b = c .
Элемент a в магме ( M , ∗) обладает свойством двустороннего сокращения (или является сокращающимся ), если он является как лево-, так и правосократяемым.
Магма ( M , ∗) обладает свойством левого сокращения (или является левосократительным), если все a в магме являются левосократительными, и аналогичные определения применимы для свойств правого или двустороннего сокращения.
Левообратимый элемент является левосократительным, аналогично правым и двусторонним. Если a⁻¹ является инверсией a, то из a ∗ b = a ∗ c влечет a⁻¹ ∗ a ∗ b = a⁻¹ ∗ a ∗ c, откуда следует b = c.
Например, каждая квазигруппа и, следовательно, каждая группа сокращаются.
Сказать, что элемент a в магме ( M , ∗) является левосократяющимся, значит сказать, что функция g : x ↦ a ∗ x инъективна . [1] Из того, что функция g является инъективной, следует, что при некотором равенстве вида a ∗ x = b , где единственным неизвестным является x , существует только одно возможное значение x , удовлетворяющее равенству. Точнее, мы можем определить некоторую функцию f , обратную g , такую, что для всех x f ( g ( x )) = f ( a ∗ x ) = x . Другими словами, для всех x и y в M , если a * x = a * y , то x = y . [2]
Аналогично, сказать, что элемент a является правосократяемым, значит сказать, что функция h : x ↦ x ∗ a инъективна и что для всех x и y в M , если x * a = y * a , то x = й .
Положительные (одинаково неотрицательные) целые числа при сложении образуют сокращающуюся полугруппу . Неотрицательные целые числа при сложении образуют сокращающийся моноид . Каждый из них является примером сокращающейся магмы, не являющейся квазигруппой.
Фактически, любая свободная полугруппа или моноид подчиняется закону сокращения, и вообще любая полугруппа или моноид, вложимая в группу (что ясно видно из приведенных выше примеров), будет подчиняться закону сокращения.
В другом ключе (подполугруппа) мультипликативная полугруппа элементов кольца, которые не являются делителями нуля (которая представляет собой просто набор всех ненулевых элементов, если рассматриваемое кольцо является областью , как и целые числа), имеет свойство отмены . Обратите внимание, что это остается справедливым, даже если рассматриваемое кольцо некоммутативно и/или неединично.
Хотя закон сокращения справедлив для сложения, вычитания, умножения и деления действительных и комплексных чисел (за единственным исключением умножения на ноль и деления нуля на другое число), существует ряд алгебраических структур, в которых закон сокращения не действует. .
Перекрестное произведение двух векторов не подчиняется закону сокращения. Если a × b = a × c , то из этого не следует, что b = c, даже если a ≠ 0 (возьмем, например, c = b + a )
Умножение матриц также не обязательно подчиняется закону сокращения. Если AB = AC и A ≠ 0 , то нужно показать, что матрица A обратима ( т.е. имеет det ( A ) ≠ 0 ), прежде чем можно будет заключить, что B = C. Если det( A ) = 0 , то B может не равняться C , потому что матричное уравнение AX = B не будет иметь уникального решения для необратимой матрицы A .
Также обратите внимание, что если AB = CA и A ≠ 0 и матрица A обратима (т.е. имеет det ( A ) ≠ 0 ), не обязательно верно, что B = C . Отмена работает только для AB = AC и BA = CA (при условии, что матрица A обратима ) , а не для AB = CA и BA = AC .