Логарифм матрицы

Математические операции над обратимыми матрицами

В математике логарифм матрицы — это другая матрица , у которой матричная экспонента последней матрицы равна исходной матрице. Таким образом, это обобщение скалярного логарифма и в некотором смысле обратная функция матричной экспоненты . Не все матрицы имеют логарифм, а те матрицы, которые имеют логарифм, могут иметь более одного логарифма. Изучение логарифмов матриц приводит к теории Ли, поскольку, когда матрица имеет логарифм, то она находится в элементе группы Ли , а логарифм является соответствующим элементом векторного пространства алгебры Ли .

Определение

Экспонента матрицы A определяется формулой

${\displaystyle e^{A}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}}$.

Учитывая матрицу B , другая матрица A называется матричным логарифмом B , если e ^A = B.

Поскольку экспоненциальная функция не является биективной для комплексных чисел (например ), числа могут иметь несколько комплексных логарифмов, и как следствие этого, некоторые матрицы могут иметь более одного логарифма, как описано ниже. Если матричный логарифм существует и уникален, то он записывается так: в этом случае ${\displaystyle e^{\pi i}=e^{3\pi i}=-1}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \log B,}$ ${\displaystyle e^{\log B}=B.}$

Выражение степенного ряда

Если B достаточно близко к единичной матрице, то логарифм B можно вычислить с помощью следующего степенного ряда :

${\displaystyle \log(B)=\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)^{k+1}{\frac {(B-I)^{k}}{k}}}=(B-I)-{\frac {(B-I)^{2}}{2}}+{\frac {(B-I)^{3}}{3}}-{\frac {(B-I)^{4}}{4}}+\cdots }$.

В частности, если , то предыдущий ряд сходится и . ^[1] ${\displaystyle \left\|B-I\right\|<1}$ ${\displaystyle e^{\log(B)}=B}$

Пример: логарифм поворотов на плоскости.

Вращения на плоскости дают простой пример. Поворот угла α вокруг начала координат представлен матрицей 2 × 2

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\\\end{pmatrix}}.}$

Для любого целого числа n матрица

${\displaystyle B_{n}=(\alpha +2\pi n){\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}},}$

является логарифмом А.

Таким образом, матрица A имеет бесконечное число логарифмов. Это соответствует тому, что угол поворота определяется только до значений, кратных 2 π .

На языке теории Ли матрицы вращения A являются элементами группы Ли SO(2) . Соответствующие логарифмы B являются элементами алгебры Ли so(2), которая состоит из всех кососимметричных матриц . Матрица

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}}$

является генератором алгебры Ли so(2).

Существование

На вопрос о том, имеет ли матрица логарифм, проще всего ответить, если рассматривать его в сложной ситуации. Комплексная матрица имеет логарифм тогда и только тогда, когда она обратима . ^[2] Логарифм не уникален, но если матрица не имеет отрицательных действительных собственных значений , то существует уникальный логарифм, все собственные значения которого лежат в полосе . Этот логарифм известен как главный логарифм . ^[3] ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \ \vert \ -\pi <{\textit {Im}}\ z<\pi \}}$

Ответ больше связан с реальной обстановкой. Действительная матрица имеет действительный логарифм тогда и только тогда, когда она обратима и каждый жордановый блок , принадлежащий отрицательному собственному значению, встречается четное число раз. ^[4] Если обратимая вещественная матрица не удовлетворяет условию с жордановыми блоками, то она имеет только невещественные логарифмы. Это можно увидеть уже в скалярном случае: ни одна ветвь логарифма не может быть вещественной при -1. Существование действительных матричных логарифмов действительных матриц 2 × 2 рассматривается в следующем разделе.

Характеристики

Если A и B — положительно определенные матрицы , то

${\displaystyle \operatorname {tr} {\log {(AB)}}=\operatorname {tr} {\log {(A)}}+\operatorname {tr} {\log {(B)}}.}$

Предположим, что A и B коммутируют, то есть AB = BA . Затем

${\displaystyle \log {(AB)}=\log {(A)}+\log {(B)}\,}$

тогда и только тогда , когда , где является собственным значением и является соответствующим собственным значением . ^[5] В частности, когда A и B коммутируют и оба положительно определены . Полагая B = A ⁻¹ в этом уравнении, получаем ${\displaystyle \operatorname {arg} (\mu _{j})+\operatorname {arg} (\nu _{j})\in (-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle \mu _{j}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nu _{j}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \log(AB)=\log(A)+\log(B)}$

${\displaystyle \log {(A^{-1})}=-\log {(A)}.}$

Аналогично для некоммутирующих и можно показать, что ^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \log {(A+tB)}=\log {(A)}+t\int _{0}^{\infty }dz~{\frac {I}{A+zI}}B{\frac {I}{A+zI}}+O(t^{2}).}$

В более общем смысле, разложение в ряд по степеням можно получить, используя интегральное определение логарифма. ${\displaystyle \log {(A+tB)}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \log {(X+\lambda I)}-\log {(X)}=\int _{0}^{\lambda }dz{\frac {I}{X+zI}},}$

применяется к обоим и в пределе . ${\displaystyle X=A}$ ${\displaystyle X=A+tB}$ ${\displaystyle \lambda \rightarrow \infty }$

Дальнейший пример: логарифм вращений в трехмерном пространстве.

Вращение R ∈ SO(3) в ℝ³ задаётся ортогональной матрицей 3×3 .

Логарифм такой матрицы вращения R можно легко вычислить из антисимметричной части формулы вращения Родригеса , явно в угле оси . Он дает логарифм минимальной нормы Фробениуса , но терпит неудачу, когда R имеет собственные значения, равные −1, где это не уникально.

Далее обратите внимание, что, учитывая матрицы вращения A и B ,

${\displaystyle d_{g}(A,B):=\|\log(A^{\top }B)\|_{F}}$

- геодезическое расстояние на трехмерном многообразии матриц вращения.

Вычисление логарифма диагонализуемой матрицы

Метод нахождения log A для диагонализуемой матрицы A заключается в следующем:

Найдите матрицу V собственных векторов A (каждый столбец V является собственным вектором A ) .

Найдите обратное V ⁻¹ к V .

Позволять

${\displaystyle A'=V^{-1}AV.\,}$

Тогда A′ будет диагональной матрицей, диагональные элементы которой являются собственными значениями A .

Замените каждый диагональный элемент A ' его (натуральным) логарифмом, чтобы получить . ${\displaystyle \log A'}$

Затем

${\displaystyle \log A=V(\log A')V^{-1}.\,}$

Тот факт, что логарифм A может быть комплексной матрицей, даже если A действителен, следует из того факта, что матрица с действительными и положительными элементами, тем не менее, может иметь отрицательные или даже комплексные собственные значения (это верно, например, для матриц вращения ). Неединственность логарифма матрицы следует из неединственности логарифма комплексного числа.

Логарифм недиагонализируемой матрицы

Алгоритм, показанный выше, не работает для недиагонализуемых матриц, таких как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}$

Для таких матриц необходимо найти ее жорданово разложение , и вместо вычисления логарифма диагональных элементов, как указано выше, можно вычислить логарифм жордановых блоков .

Последнее достигается, если заметить, что жордановый блок можно записать как

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\0&0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&0&\lambda \\\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}1&\lambda ^{-1}&0&0&\cdots &0\\0&1&\lambda ^{-1}&0&\cdots &0\\0&0&1&\lambda ^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&1&\lambda ^{-1}\\0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}=\lambda (I+K)}$

где K — матрица с нулями на главной диагонали и под ней. (Число λ отлично от нуля в предположении, что матрица, логарифм которой пытаются взять, обратима.)

Затем по ряду Меркатора

${\displaystyle \log(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }$

каждый получает

${\displaystyle \log B=\log {\big (}\lambda (I+K){\big )}=\log(\lambda I)+\log(I+K)=(\log \lambda )I+K-{\frac {K^{2}}{2}}+{\frac {K^{3}}{3}}-{\frac {K^{4}}{4}}+\cdots }$

Эта серия имеет конечное число членов ( K ^m равно нулю, если m равно или больше размерности K ), и поэтому ее сумма четко определена.

Пример. Используя этот подход, можно найти

${\displaystyle \log {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},}$

в чем можно убедиться, подставив правую часть в матричную экспоненту:

$${\displaystyle \exp {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}=I+{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}+{\frac {1}{2}}\underbrace {{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}^{2}} _{=0}+\cdots ={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}$$

Перспектива функционального анализа

Квадратная матрица представляет собой линейный оператор в евклидовом пространстве Rn ^, где n — размерность матрицы. Поскольку такое пространство конечномерно, этот оператор фактически ограничен .

Используя инструменты голоморфного функционального исчисления , зная голоморфную функцию f , определенную на открытом множестве в комплексной плоскости , и ограниченный линейный оператор T , можно вычислить f ( T ) до тех пор, пока f определена в спектре T.

Функция f ( z )=log z может быть определена на любом односвязном открытом множестве в комплексной плоскости, не содержащем начала координат, и она голоморфна в такой области. Это означает, что можно определить ln T до тех пор, пока спектр T не содержит начала координат и существует путь, идущий от начала координат до бесконечности, не пересекающий спектр T (например, если спектр T представляет собой круг с начало внутри него невозможно определить ln T ).

Спектр линейного оператора на Rn представляет собой множество собственных значений его матрицы и поэтому является конечным множеством ^. Пока начало координат не находится в спектре (матрица обратима), условие пути из предыдущего абзаца удовлетворяется и ln T четко определен. Неединственность матричного логарифма следует из того, что можно выбрать более одной ветви логарифма, определенной на множестве собственных значений матрицы.

Взгляд на теорию групп Ли

В теории групп Ли существует экспоненциальное отображение алгебры Ли в соответствующую группу Ли G. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\rightarrow G.}$

Для матричных групп Ли элементы и G являются квадратными матрицами, а экспоненциальное отображение задается матричной экспонентой . Обратное отображение является многозначным и совпадает с обсуждаемым здесь матричным логарифмом. Логарифм отображает группу Ли G в алгебру Ли . Обратите внимание, что экспоненциальное отображение является локальным диффеоморфизмом между окрестностью U нулевой матрицы и окрестностью V единичной матрицы . ^[7] Таким образом, (матричный) логарифм корректно определен как отображение: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \log =\exp ^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\underline {0}}\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\underline {1}}\in G}$

${\displaystyle \log :G\supset V\rightarrow U\subset {\mathfrak {g}}.}$

Тогда важным следствием формулы Якоби является

${\displaystyle \log(\det(A))=\mathrm {tr} (\log A)~.}$

Ограничения в случае 2 × 2

Если действительная матрица 2 × 2 имеет отрицательный определитель , она не имеет вещественного логарифма. Прежде всего заметим, что любую действительную матрицу 2 × 2 можно рассматривать как один из трех типов комплексного числа z = x + yε , где ε² ∈ { −1, 0, +1 }. Этот z является точкой комплексной подплоскости кольца матриц . ^[8]

Случай, когда определитель отрицательный, возникает только в плоскости с ε² = +1, то есть в плоскости расщепленных комплексных чисел . Только одна четверть этой плоскости является изображением экспоненциальной карты, поэтому логарифм определяется только в этой четверти (квадранте). Остальные три квадранта являются его образами при четырехгруппе Клейна, порожденной ε и −1.

Например, пусть a = log 2; тогда cosh a = 5/4 и sinh a = 3/4. Для матриц это означает, что

${\displaystyle A=\exp {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh a&\sinh a\\\sinh a&\cosh a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.25&.75\\.75&1.25\end{pmatrix}}}$.

Итак, эта последняя матрица имеет логарифм

${\displaystyle \log A={\begin{pmatrix}0&\log 2\\\log 2&0\end{pmatrix}}}$.

Однако эти матрицы не имеют логарифма:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3/4&5/4\\5/4&3/4\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}-3/4&-5/4\\-5/4&-3/4\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}-5/4&-3/4\\-3/4&-5/4\end{pmatrix}}}$.

Они представляют три других сопряжения с помощью четырехгруппы приведенной выше матрицы, которая имеет логарифм.

Несингулярная матрица 2 x 2 не обязательно имеет логарифм, но она сопряжена группой четырех матрице, которая имеет логарифм.

Отсюда также следует, что, например, квадратный корень из этой матрицы A можно получить непосредственно из возведения в степень (log A )/2,

${\displaystyle {\sqrt {A}}={\begin{pmatrix}\cosh((\log 2)/2)&\sinh((\log 2)/2)\\\sinh((\log 2)/2)&\cosh((\log 2)/2)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.06&.35\\.35&1.06\end{pmatrix}}~.}$

В качестве более богатого примера начните с тройки Пифагора ( p,q,r ) и пусть a = log( p + r ) − log q . Затем

${\displaystyle e^{a}={\frac {p+r}{q}}=\cosh a+\sinh a}$.

Сейчас

${\displaystyle \exp {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r/q&p/q\\p/q&r/q\end{pmatrix}}}$.

Таким образом

${\displaystyle {\tfrac {1}{q}}{\begin{pmatrix}r&p\\p&r\end{pmatrix}}}$

имеет матрицу логарифмов

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}}$ ,

где а знак равно журнал ( п + р ) - журнал q .

Смотрите также

• Матричная функция
• Квадратный корень матрицы
• Матричная экспонента
• Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа
• Производная экспоненциальной карты

Примечания

1. Холл, 2015 г., Теорема 2.8.
2. Хайэм (2008), Теорема 1.27
3. Хайэм (2008), Теорема 1.31.
4. Калвер (1966)
5. АПРАМЯН, МЭРИ; ХИГЭМ, НИКОЛАС Дж. (2014). «Функция размотки матрицы с применением к вычислению матричной экспоненты». Журнал SIAM по матричному анализу и приложениям . 35 (1): 97. дои : 10.1137/130920137 . Проверено 13 декабря 2022 г.
6. Неопубликованная записка С. Адлера (IAS)
7. Холл, 2015 г., Теорема 3.42.
8. Абстрактная алгебра/действительные матрицы 2x2 в Wikibooks

Рекомендации

• Гантмахер, Феликс Р. (1959), Теория матриц , том. 1, Нью-Йорк: Челси, стр. 239–241..
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления. Элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666
• Калвер, Уолтер Дж. (1966), «О существовании и единственности действительного логарифма матрицы», Proceedings of the American Mathematical Society , 17 (5): 1146–1151, doi : 10.1090/S0002-9939-1966- 0202740-6 , ISSN  0002-9939.
• Хайэм, Николас (2008), Функции матриц. Теория и вычисления , SIAM , ISBN 978-0-89871-646-7.
• Энгё, Кент (июнь 2001 г.), «О формуле BCH в so (3)», BIT Numerical Mathematics , 41 (3): 629–632, doi : 10.1023/A: 1021979515229, ISSN  0006-3835, S2CID  126053191