Неравенство Буля

Неравенство, применяемое к вероятностным пространствам

В теории вероятностей неравенство Буля , также известное как предел объединения , утверждает, что для любого конечного или счетного множества событий вероятность того, что хотя бы одно из событий произойдет, не больше суммы вероятностей отдельных событий. Это неравенство дает верхнюю границу вероятности наступления хотя бы одного из счетного числа событий в терминах индивидуальных вероятностей событий. Неравенство Буля названо в честь его первооткрывателя Джорджа Буля . ^[1]

Формально, для счетного множества событий A ₁ , A ₂ , A ₃ , ..., имеем

${\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }{\mathbb {P} }(A_{i}).}$

В терминах теории меры неравенство Буля следует из того факта, что мера (и, конечно, любая вероятностная мера ) является σ - субаддитивной .

Доказательство

Доказательство с использованием индукции

Неравенство Буля можно доказать для конечных наборов событий, используя метод индукции. ${\displaystyle n}$

Для этого случая следует, что ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1})\leq \mathbb {P} (A_{1}).}$

Для случая мы имеем ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i}).}$

Так как и поскольку операция объединения является ассоциативной , мы имеем ${\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B),}$

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mathbb {P} (A_{n+1})-\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}\right).}$

С

${\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}\right)\geq 0,}$

по первой аксиоме вероятности имеем

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)\leq \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mathbb {P} (A_{n+1}),}$

и поэтому

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i})+\mathbb {P} (A_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}\mathbb {P} (A_{i}).}$

Доказательство без использования индукции

Для любых событий в нашем вероятностном пространстве мы имеем ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots }$

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)\leq \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i}).}$

Одна из аксиом вероятностного пространства заключается в том, что если являются непересекающимися подмножествами вероятностного пространства, то ${\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\dots }$

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i}B_{i}\right)=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i});}$

это называется счетной аддитивностью.

Если мы изменим множества так, что они станут непересекающимися, ${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle B_{i}=A_{i}-\bigcup _{j=1}^{i-1}A_{j}}$

мы можем показать, что

${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}.}$

доказав оба направления включения.

Предположим . Тогда для некоторого минимума такого, что . Следовательно . Итак, первое включение верно: . ${\displaystyle x\in \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$ ${\displaystyle x\in A_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i<k\implies x\notin A_{i}}$ ${\displaystyle x\in B_{k}=A_{k}-\bigcup _{j=1}^{k-1}A_{j}}$ ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}}$

Далее предположим, что . Отсюда следует, что для некоторых . И так , и имеем другое включение: . ${\displaystyle x\in \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}}$ ${\displaystyle x\in B_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B_{k}=A_{k}-\bigcup _{j=1}^{k-1}A_{j}}$ ${\displaystyle x\in A_{k}}$ ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$

По построению каждого , . Ибо это тот случай, когда ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle B_{i}\subset A_{i}}$ ${\displaystyle B\subset A,}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (B)\leq \mathbb {P} (A).}$

Итак, можно сделать вывод, что требуемое неравенство верно:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{i}B_{i}\right)=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i})\leq \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i}).}$

Неравенства Бонферрони

Неравенство Буля можно обобщить, чтобы найти верхнюю и нижнюю границы вероятности конечных объединений событий. ^[2] Эти границы известны как неравенства Бонферрони , в честь Карло Эмилио Бонферрони ; см. Бонферрони (1936).

Позволять

${\displaystyle S_{1}:=\sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i}),\quad S_{2}:=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}\leq n}{\mathbb {P} }(A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}}),\quad \ldots ,\quad S_{k}:=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}{\mathbb {P} }(A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}})}$

для всех целых чисел k из {1, ..., n }.

Тогда, когда нечетно: ${\displaystyle K\leq n}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}S_{j}\geq \mathbb {P} {\Big (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\Big )}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}S_{j}}$

выполняется, а когда четно: ${\displaystyle K\leq n}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}S_{j}\leq \mathbb {P} {\Big (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\Big )}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}S_{j}}$

держится.

Равенства следуют из принципа включения-исключения , а неравенство Буля является частным случаем . ${\displaystyle K=1}$

Доказательство для нечетного K

Пусть , где для каждого . Эти такие разбиения пространства выборок, и для каждого , либо содержатся в нем , либо не пересекаются с ним. ${\displaystyle E=\bigcap _{i=1}^{n}B_{i}}$ ${\displaystyle B_{i}\in \{A_{i},A_{i}^{c}\}}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A_{i}}$

Если , то вносит 0 в обе стороны неравенства. ${\displaystyle E=\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}^{c}}$ ${\displaystyle E}$

В противном случае предположим, что содержится ровно в . Тогда вносит вклад ровно в правую часть неравенства, в то время как он вносит вклад ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}{L \choose j}\mathbb {P} (E)}$

в левую часть неравенства. Однако, по правилу Паскаля , это равно

${\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}{\Big (}{L-1 \choose j-1}+{L-1 \choose j}{\Big )}\mathbb {P} (E)}$

какие телескопы

${\displaystyle {\Big (}1+{L-1 \choose K}{\Big )}\mathbb {P} (E)\geq \mathbb {P} (E)}$

Таким образом, неравенство выполняется для всех событий , и поэтому, суммируя по , получаем искомое неравенство: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}S_{j}\geq \mathbb {P} {\Big (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\Big )}}$

Доказательство для четного числа почти идентично. ^[3] ${\displaystyle K}$

Пример

Предположим, что вы оцениваете 5 параметров на основе случайной выборки и можете контролировать каждый параметр отдельно. Если вы хотите, чтобы ваши оценки всех пяти параметров были хорошими с вероятностью 95%, что вам следует сделать с каждым параметром?

Настройка вероятности каждого параметра быть хорошим в пределах 95% недостаточна, поскольку «все хороши» является подмножеством каждого события «Оценка i хороша». Мы можем использовать неравенство Буля для решения этой проблемы. Найдя дополнение события «все пять хороши», мы можем изменить этот вопрос на другое условие:

P( хотя бы одна оценка плохая) = 0,05 ≤ P( A ₁ плохая) + P( A ₂ плохая) + P( A ₃ плохая) + P( A ₄ плохая) + P( A ₅ плохая)

Один из способов — сделать каждое из них равным 0,05/5 = 0,01, то есть 1%. Другими словами, вы должны гарантировать, что каждая оценка хороша на 99% (например, построив 99% доверительный интервал), чтобы убедиться, что общая оценка хороша с вероятностью 95%. Это называется методом одновременного вывода Бонферрони.

Смотрите также

• Разбавленный принцип включения-исключения
• Формула Шютте–Несбитта
• Неравенства Буля-Фреше
• Вероятность объединения попарно независимых событий

Ссылки

1. Буль, Джордж (1847). Математический анализ логики. Философская библиотека. ISBN 9780802201546.
2. Казелла, Джордж; Бергер, Роджер Л. (2002). Статистический вывод. Даксбери. С. 11–13. ISBN 0-534-24312-6.
3. Венкатеш, Сантош (2012). Теория вероятностей. Cambridge University Press. С. 94–99, 113–115. ISBN 978-0-534-24312-8.

Другие статьи по теме

• Бонферрони, Карло Э. (1936), «Теория статистики классов и расчет вероятностей», Pubbl. ДР Ист. Супер. Ди Наука. Эконом. E Commerciali di Firenze (на итальянском языке), 8 : 1–62, Zbl  0016.41103
• Dohmen, Klaus (2003), Улучшенные неравенства Бонферрони с помощью абстрактных трубок. Неравенства и тождества типа включения–исключения , Lecture Notes in Mathematics, т. 1826, Berlin: Springer-Verlag , стр. viii+113, ISBN 3-540-20025-8, MR  2019293, Zbl  1026.05009
• Галамбос, Янош ; Симонелли, Итало (1996), Неравенства типа Бонферрони с приложениями , Вероятность и ее приложения, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. x+269, ISBN 0-387-94776-0, MR  1402242, Zbl  0869.60014
• Галамбос, Янош (1977), «Неравенства Бонферрони», Annals of Probability , 5 (4): 577–581, doi : 10.1214/aop/1176995765 , JSTOR  2243081, MR  0448478, Zbl  0369.60018
• Галамбос, Янош (2001) [1994], «Неравенства Бонферрони», Энциклопедия математики , EMS Press

В данной статье использованы материалы из книги «Неравенства Бонферрони» на сайте PlanetMath , лицензированной по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .