Связка модулей

Пучок, состоящий из модулей на окольцованном пространстве; обобщающий векторные расслоения

В математике пучок O -модулей или просто O -модуль над окольцованным пространством ( X , O ) — это пучок F такой, что для любого открытого подмножества U пространства X F ( U ) является O ( U )-модулем, а отображения ограничений F ( U ) →  F ( V ) совместимы с отображениями ограничений O ( U ) →  O ( V ): ограничение fs — это ограничение f , умноженное на ограничение s для любых f из O ( U ) и s из F ( U ).

Стандартный случай — когда X — схема , а O — ее структурный пучок. Если O — постоянный пучок , то пучок O -модулей совпадает с пучком абелевых групп (т. е. абелевым пучком ). ${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$

Если X — простой спектр кольца R , то любой R -модуль естественным образом определяет O _X -модуль (называемый ассоциированным пучком ). Аналогично, если R — градуированное кольцо , а X — Proj кольца R , то любой градуированный модуль естественным образом определяет O _X -модуль. O -модули, возникающие таким образом, являются примерами квазикогерентных пучков , и фактически на аффинных или проективных схемах все квазикогерентные пучки получаются таким образом.

Пучки модулей над окольцованным пространством образуют абелеву категорию . ^[1] Более того, эта категория имеет достаточно инъективных элементов , ^[2] и, следовательно, можно определить и определить когомологии пучка как i - й правый производный функтор глобального функтора сечения . ^[3] ${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,-)}$ ${\displaystyle \Gamma (X,-)}$

Примеры

• Для кольчатого пространства ( X , O ) если F является O -подмодулем O , то он называется пучком идеалов или идеальным пучком O , поскольку для каждого открытого подмножества U кольца X , F ( U ) является идеалом кольца O ( U ).
• Пусть X — гладкое многообразие размерности n . Тогда касательный пучок X является двойственным к кокасательному пучку , а канонический пучок является n -й внешней степенью ( определителем ) . ${\displaystyle \Omega _{X}}$ ${\displaystyle \omega _{X}}$ ${\displaystyle \Omega _{X}}$
• Пучок алгебр — это пучок модулей, который также является пучком колец.

Операции

Пусть ( X , O ) — кольцевое пространство. Если F и G — O -модули, то их тензорное произведение, обозначаемое как

${\displaystyle F\otimes _{O}G}$или , ${\displaystyle F\otimes G}$

— это O -модуль, который является пучком, связанным с предпучком (Чтобы увидеть, что пучкообразования избежать невозможно, вычислим глобальные сечения, где O (1) — скручивающий пучок Серра на проективном пространстве.) ${\displaystyle U\mapsto F(U)\otimes _{O(U)}G(U).}$ ${\displaystyle O(1)\otimes O(-1)=O}$

Аналогично, если F и G являются O -модулями, то

${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,G)}$

обозначает O -модуль, который является пучком . ^[4] В частности, O -модуль ${\displaystyle U\mapsto \operatorname {Hom} _{O|_{U}}(F|_{U},G|_{U})}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,O)}$

называется дуальным модулем F и обозначается . Примечание : для любых O -модулей E , F , существует канонический гомоморфизм ${\displaystyle {\check {F}}}$

${\displaystyle {\check {E}}\otimes F\to {\mathcal {H}}om_{O}(E,F)}$,

что является изоморфизмом, если E — локально свободный пучок конечного ранга. В частности, если L локально свободен ранга один (такой L называется обратимым пучком или линейным расслоением ), ^[5] то это гласит:

${\displaystyle {\check {L}}\otimes L\simeq O,}$

подразумевая, что классы изоморфизма обратимых пучков образуют группу. Эта группа называется группой Пикара X и канонически отождествляется с первой группой когомологий (по стандартному аргументу с когомологиями Чеха ). ${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X,{\mathcal {O}}^{*})}$

Если E — локально свободный пучок конечного ранга, то существует O -линейное отображение , заданное спариванием; оно называется отображением следа E. ${\displaystyle {\check {E}}\otimes E\simeq \operatorname {End} _{O}(E)\to O}$

Для любого O -модуля F тензорная алгебра , внешняя алгебра и симметрическая алгебра F определяются одинаково. Например, k -я внешняя степень

${\displaystyle \bigwedge ^{k}F}$

— это пучок, ассоциированный с предпучком . Если F локально свободен от ранга n , то называется детерминантным линейным расслоением (хотя технически обратимым пучком ) для F , обозначаемым det( F ). Существует естественное совершенное спаривание: ${\textstyle U\mapsto \bigwedge _{O(U)}^{k}F(U)}$ ${\textstyle \bigwedge ^{n}F}$

${\displaystyle \bigwedge ^{r}F\otimes \bigwedge ^{n-r}F\to \det(F).}$

Пусть f : ( X , O ) →( X ' , O ' ) — морфизм окольцованных пространств. Если F — O -модуль, то прямой образ-пучок является O ' -модулем относительно естественного отображения O ' → f _* O (такое естественное отображение является частью данных морфизма окольцованных пространств.) ${\displaystyle f_{*}F}$

Если G является O' - модулем, то модульным прообразом G является O' - модуль, заданный как тензорное произведение модулей: ${\displaystyle f^{*}G}$

${\displaystyle f^{-1}G\otimes _{f^{-1}O'}O}$

где — обратный образ пучка G и получается из присоединением . ${\displaystyle f^{-1}G}$ ${\displaystyle f^{-1}O'\to O}$ ${\displaystyle O'\to f_{*}O}$

Существует сопряженное отношение между и : для любого O -модуля F и O' -модуля G , ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle f^{*}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{O}(f^{*}G,F)\simeq \operatorname {Hom} _{O'}(G,f_{*}F)}$

как абелева группа. Существует также формула проекции : для O -модуля F и локально свободного O' -модуля E конечного ранга,

${\displaystyle f_{*}(F\otimes f^{*}E)\simeq f_{*}F\otimes E.}$

Характеристики

Пусть ( X , O ) — окольцованное пространство. Говорят, что O -модуль F порождается глобальными сечениями , если существует сюръекция O -модулей:

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}O\to F\to 0.}$

Явно это означает, что существуют глобальные сечения s _i матрицы F, такие, что образы s _i в каждом стебле F _x порождают F _x как O _x -модуль.

Примером такого пучка является тот, который связан в алгебраической геометрии с R -модулем M , где R - любое коммутативное кольцо , на спектре кольца Spec ( R ). Другой пример: согласно теореме Картана A , любой когерентный пучок на многообразии Штейна натянут на глобальные сечения. (ср. теорему Серра A ниже.) В теории схем родственное понятие - обильное линейное расслоение . (Например, если L - обильное линейное расслоение, некоторая его степень порождается глобальными сечениями.)

Инъективный O -модуль является фласковым (т.е. все отображения ограничений F ( U ) → F ( V ) являются сюръективными.) ^[6] Поскольку фласковый пучок ацикличен в категории абелевых пучков, это означает, что i -й правый производный функтор глобального функтора сечения в категории O -модулей совпадает с обычными i -ми когомологиями пучка в категории абелевых пучков. ^[7] ${\displaystyle \Gamma (X,-)}$

Связка, связанная с модулем

Пусть будет модулем над кольцом . Положим и напишем . Для каждой пары , по универсальному свойству локализации, существует естественное отображение ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (A)}$ ${\displaystyle D(f)=\{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (A[f^{-1}])}$ ${\displaystyle D(f)\subseteq D(g)}$

${\displaystyle \rho _{g,f}:M[g^{-1}]\to M[f^{-1}]}$

имея свойство, что . Тогда ${\displaystyle \rho _{g,f}=\rho _{g,h}\circ \rho _{h,f}}$

${\displaystyle D(f)\mapsto M[f^{-1}]}$

является контравариантным функтором из категории , объектами которого являются множества D ( f ) и морфизмами включений множеств в категорию абелевых групп . Можно показать ^[8], что на самом деле это B-пучок (т.е. он удовлетворяет аксиоме склеивания) и, таким образом, определяет пучок на X, называемый пучком, ассоциированным с M . ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$

Самый простой пример — это структурный пучок на X ; т.е. . Более того, имеет структуру -модуля и, таким образом, получается точный функтор из Mod _A , категории модулей над A в категорию модулей над . Он определяет эквивалентность из Mod _A в категорию квазикогерентных пучков на X , с обратным , глобальным функтором сечения . Когда X является нётеровым , функтор является эквивалентностью из категории конечно порождённых A -модулей в категорию когерентных пучков на X . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}}$ ${\displaystyle M\mapsto {\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \Gamma (X,-)}$

Конструкция обладает следующими свойствами: для любых A -модулей M , N и любого морфизма , ${\displaystyle \varphi :M\to N}$

• ${\displaystyle M[f^{-1}]^{\sim }={\widetilde {M}}|_{D(f)}}$. ^[9]
• Для любого простого идеала p из A , так как O _p = A _p -модуль. ${\displaystyle {\widetilde {M}}_{p}\simeq M_{p}}$
• ${\displaystyle (M\otimes _{A}N)^{\sim }\simeq {\widetilde {M}}\otimes _{\widetilde {A}}{\widetilde {N}}}$. ^[10]
• Если M конечно представлено , . [ ^10] ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(M,N)^{\sim }\simeq {\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}})}$
• ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(M,N)\simeq \Gamma (X,{\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}}))}$, поскольку эквивалентность между Mod _A и категорией квазикогерентных пучков на X .
• ${\displaystyle (\varinjlim M_{i})^{\sim }\simeq \varinjlim {\widetilde {M_{i}}}}$; ^[11] в частности, беря прямую сумму и ~ коммутируя.
• Последовательность A -модулей точна тогда и только тогда, когда индуцированная последовательность точна. В частности, . ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle (\ker(\varphi ))^{\sim }=\ker({\widetilde {\varphi }}),(\operatorname {coker} (\varphi ))^{\sim }=\operatorname {coker} ({\widetilde {\varphi }}),(\operatorname {im} (\varphi ))^{\sim }=\operatorname {im} ({\widetilde {\varphi }})}$

Связка, связанная с градуированным модулем

Существует градуированный аналог конструкции и эквивалентности в предыдущем разделе. Пусть R — градуированное кольцо, порожденное элементами степени один как R ₀ -алгебра ( R ₀ означает часть степени ноль), а M — градуированный R -модуль. Пусть X — Proj R (так что X — проективная схема, если R — нётерово). Тогда существует O -модуль такой, что для любого однородного элемента f положительной степени R существует естественный изоморфизм ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$

${\displaystyle {\widetilde {M}}|_{\{f\neq 0\}}\simeq (M[f^{-1}]_{0})^{\sim }}$

как пучки модулей на аффинной схеме ; ^[12] на самом деле, это определяется склеиванием. ${\displaystyle \{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (R[f^{-1}]_{0})}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$

Пример : Пусть R (1) — градуированный R -модуль, заданный формулой R (1) _n = Rn ₊₁ . Тогда называется скручивающим пучком Серра , который является двойственным к тавтологическому линейному расслоению, _если R конечно порожден в степени один. ${\displaystyle O(1)={\widetilde {R(1)}}}$

Если F является O -модулем на X , то, записывая , существует канонический гомоморфизм: ${\displaystyle F(n)=F\otimes O(n)}$

${\displaystyle \left(\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,F(n))\right)^{\sim }\to F,}$

что является изоморфизмом тогда и только тогда, когда F квазикогерентно.

Вычисление когомологий пучков

Когомологии пучков имеют репутацию сложных для вычисления. Из-за этого следующий общий факт является фундаментальным для любого практического вычисления:

Теорема  —  Пусть X — топологическое пространство, F — абелев пучок на нем и открытое покрытие X такое, что для любых i , p и ' лежат в . Тогда для любого i , ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(U_{i_{0}}\cap \cdots \cap U_{i_{p}},F)=0}$ ${\displaystyle U_{i_{j}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F)=\operatorname {H} ^{i}(C^{\bullet }({\mathfrak {U}},F))}$

где правая часть — i -я когомология Чеха .

Теорема Серра об исчезновении ^[13] утверждает, что если X — проективное многообразие, а F — когерентный пучок на нем, то для достаточно большого n твист Серра F ( n ) порождается конечным числом глобальных сечений. Более того,

1. Для каждого i , H ⁱ ( X , F ) конечно порождено над R ₀ , и
2. Существует целое число n ₀ , зависящее от F , такое, что $${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F(n))=0,\,i\geq 1,n\geq n_{0}.}$$

^{[14] [15] [16]}

Расширение пучка

Пусть ( X , O ) — кольцевое пространство, а F , H — пучки O -модулей на X. Расширение H с помощью F — это короткая точная последовательность O - модулей .

${\displaystyle 0\rightarrow F\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0.}$

Как и в случае с расширениями групп, если зафиксировать F и H , то все классы эквивалентности расширений H с помощью F образуют абелеву группу (ср. сумму Бэра ), которая изоморфна группе Ext , где единичный элемент в соответствует тривиальному расширению. ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{1}(H,F)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{1}(H,F)}$

В случае, когда H есть O , мы имеем: для любого i ≥ 0,

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F)=\operatorname {Ext} _{O}^{i}(O,F),}$

поскольку обе стороны являются правыми производными функторами одного и того же функтора ${\displaystyle \Gamma (X,-)=\operatorname {Hom} _{O}(O,-).}$

Примечание : Некоторые авторы, в частности Хартшорн, опускают нижний индекс O.

Предположим, что X — проективная схема над нётеровым кольцом. Пусть F , G — когерентные пучки на X и i — целое число. Тогда существует n ₀ такое, что

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{i}(F,G(n))=\Gamma (X,{\mathcal {E}}xt_{O}^{i}(F,G(n))),\,n\geq n_{0}}$. ^[17]

Локально бесплатные резолюции

${\displaystyle {\mathcal {Ext}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})}$может быть легко вычислено для любого когерентного пучка с использованием локально свободной резолюции: ^[18] задан комплекс ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \cdots \to {\mathcal {L}}_{2}\to {\mathcal {L}}_{1}\to {\mathcal {L}}_{0}\to {\mathcal {F}}\to 0}$

затем

${\displaystyle {\mathcal {RHom}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})={\mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}_{\bullet },{\mathcal {G}})}$

следовательно

${\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{k}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=h^{k}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}_{\bullet },{\mathcal {G}}))}$

Примеры

Гиперповерхность

Рассмотрим гладкую гиперповерхность степени . Затем мы можем вычислить разрешение ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}}}$

и найдите, что

${\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{i}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})=h^{i}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}},{\mathcal {F}}))}$

Объединение гладких полных пересечений

Рассмотрим схему

${\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f)(g_{1},g_{2},g_{3})}}\right)\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$

где — гладкое полное пересечение и , . У нас есть комплекс ${\displaystyle (f,g_{1},g_{2},g_{3})}$ ${\displaystyle \deg(f)=d}$ ${\displaystyle \deg(g_{i})=e_{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{2}-e_{3}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}g_{3}\\-g_{2}\\-g_{1}\end{bmatrix}}}{\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{2})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{3})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{2}-e_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}g_{2}&g_{3}&0\\-g_{1}&0&-g_{3}\\0&-g_{1}&g_{2}\end{bmatrix}}}{\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e_{1})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{2})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}fg_{1}&fg_{2}&fg_{3}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}}$

разрешив который мы можем использовать для вычисления . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X},}$ ${\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{i}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})}$

Смотрите также

• D-модуль (вместо O можно также рассматривать D — пучок дифференциальных операторов).
• дробный идеал
• голоморфное векторное расслоение
• общая свобода

Примечания

1. Вакил, Математика 216: Основы алгебраической геометрии, 2.5.
2. Хартшорн, Гл. III, Предложение 2.2.
3. Этот функтор когомологии совпадает с правым производным функтором глобального функтора сечения в категории абелевых пучков; см. Hartshorne, Ch. III, Proposition 2.6.
4. Существует канонический гомоморфизм:

   ${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,O)_{x}\to \operatorname {Hom} _{O_{x}}(F_{x},O_{x}),}$

   что является изоморфизмом, если F имеет конечное представление (EGA, гл. 0, 5.2.6.)
5. Для когерентных пучков наличие обратного тензора равнозначно локальной свободе от ранга один; фактически, имеет место следующий факт: если и если F когерентен, то F , G локально свободны от ранга один. (ср. EGA, гл. 0, 5.4.3.) ${\displaystyle F\otimes G\simeq O}$
6. Хартсхорн, гл. III, лемма 2.4.
7. см. также: https://math.stackexchange.com/q/447234
8. Хартсхорн, Гл. II, Предложение 5.1.
9. EGA I, Гл. I, Предложение 1.3.6. harvnb error: no target: CITEREFEGA_I (help)
10. EGA I, Ch. I, следствие 1.3.12. harvnb error: no target: CITEREFEGA_I (help)
11. ЕГА I, Гл. I, следствие 1.3.9. harvnb error: no target: CITEREFEGA_I (help)
12. Хартшорн, Гл. II, Предложение 5.11.
13. "Раздел 30.2 (01X8): Когомологии Чеха квазикогерентных пучков — проект Stacks". stacks.math.columbia.edu . Получено 2023-12-07 .
14. Коста, Миро-Роч и Понс-Ллопис, 2021, Теорема 1.3.1
15. "Связи с когомологиями пучков". Локальные когомологии . Кембриджские исследования по высшей математике. Издательство Кембриджского университета. 2012. стр. 438–479. doi :10.1017/CBO9781139044059.023. ISBN 9780521513630.
16. Серр 1955, §.66 Faisceaux algébriques coherents sur les variétés projectives.
17. Хартшорн, Гл. III, Предложение 6.9.
18. Хартшорн, Робин. Алгебраическая геометрия . С. 233–235.

Ссылки

• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык схем». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 4 . дои : 10.1007/bf02684778. МР  0217083.
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Коста, Лаура; Миро-Роч, Роза Мария; Понс-Льопис, Джоан (2021). Ульрих Связки. дои : 10.1515/9783110647686. ISBN 9783110647686.
• «Связи с когомологиями пучков». Локальные когомологии . Кембриджские исследования по высшей математике. Издательство Кембриджского университета. 2012. стр. 438–479. doi :10.1017/CBO9781139044059.023. ISBN 9780521513630.
• Серр, Жан-Пьер (1955), «Faisceaux algébriques cohérents (§.66 Faisceaux algébriques cohérents sur les variétés projectives.)» (PDF) , Annals of Mathematics , 61 (2): 197–278, doi : 10.2307/1969915, JSTOR  1969915, МР  0068874