Проводимость (электролитическая)

Мера способности раствора, содержащего электролиты, проводить электричество.

Проводимость (или удельная проводимость ) раствора электролита является мерой его способности проводить электричество . Единицей проводимости в системе СИ является сименс на метр (См/м).

Измерения проводимости регулярно используются во многих промышленных и экологических приложениях как быстрый, недорогой и надежный способ измерения содержания ионов в растворе. ^[1] Например, измерение электропроводности продукта является типичным способом мониторинга и постоянного отслеживания производительности систем очистки воды .

Электролитическая проводимость воды сверхвысокой чистоты увеличивается в зависимости от температуры (Т) вследствие более высокой диссоциации H ₂ O в H + и OH − с T.  

Во многих случаях проводимость напрямую связана с общим количеством растворенных твердых веществ (TDS).

Высококачественная деионизированная вода имеет проводимость при 25 °C. Это соответствует удельному сопротивлению . ^[2] Приготовление солевых растворов часто происходит в незапечатанных стаканах. При этом проводимость очищенной воды зачастую в 10–20 раз выше. Обсуждение можно найти ниже.
${\displaystyle \mathrm {\kappa \;=\;0.05501\,\pm \,0.0001\,{\frac {\mu S}{cm}}} }$

${\displaystyle \rho \,=\,18.18\pm 0.03\;\mathrm {M\Omega \cdot cm} }$

Типичная питьевая вода находится в диапазоне 200–800 мкСм/см, а морская вода — около 50 мСм/см ^[3] (или 0,05 См/см).

Проводимость традиционно определяется путем подключения электролита к мосту Уитстона . Разбавленные растворы подчиняются законам Кольрауша концентрационной зависимости и аддитивности ионных вкладов. Ларс Онсагер дал теоретическое объяснение закона Кольрауша, расширив теорию Дебая-Хюккеля .

Единицы

Единицей проводимости в системе СИ является См /м, и, если не указано иное, она относится к 25 °C. Более распространенной является традиционная единица измерения мкСм/см.

Обычно используемая стандартная ячейка имеет ширину 1 см, и, таким образом, для очень чистой воды, находящейся в равновесии с воздухом, сопротивление будет около 10 ⁶ Ом, известное как мегаом . Ультрачистая вода может достигать 18 МОм и более. Таким образом, в прошлом использовалась единица измерения МОм-см, которую иногда сокращали до «мегом». Иногда проводимость выражают в «микросименсах» (без учета расстояния в единицах измерения). Хотя это ошибка, часто можно предположить, что она равна традиционному мкСм/см. Часто из-за типографских ограничений мкСм/см выражают как мкСм/см.

Преобразование проводимости в общее количество растворенных твердых веществ зависит от химического состава образца и может варьироваться от 0,54 до 0,96. Обычно преобразование проводят, предполагая, что твердое вещество представляет собой хлорид натрия; Тогда 1 мкСм/см эквивалентно примерно 0,64 мг NaCl на кг воды.

Молярная проводимость измеряется в единицах СИ См ²  моль ^-1 . В более старых публикациях используется единица измерения Ом ^-1  см ²  моль ^-1 .

Измерение

Принцип измерения

Электропроводность раствора электролита измеряют путем определения сопротивления раствора между двумя плоскими или цилиндрическими электродами , разделенными фиксированным расстоянием. ^[4] Обычно используется переменное напряжение, чтобы свести к минимуму электролиз воды . ^{[ нужна ссылка ]} Сопротивление измеряется кондуктометром . Типичные используемые частоты находятся в диапазоне 1–3 кГц . Зависимость от частоты обычно невелика ^[5] , но может стать заметной на очень высоких частотах; этот эффект известен как эффект Дебая-Фалькенхагена .

В продаже имеется широкий выбор приборов. ^[6] Чаще всего используются два типа электродных датчиков: электродные датчики и индуктивные датчики. Электродные датчики статической конструкции подходят для низкой и средней проводимости и существуют различных типов, с двумя или четырьмя электродами, причем электроды могут быть расположены противоположно, плоско или в цилиндре. ^[7] Электродные ячейки гибкой конструкции, в которых можно изменять расстояние между двумя противоположно расположенными электродами, обеспечивают высокую точность и могут также использоваться для измерения сред с высокой проводимостью. ^[8] Индуктивные датчики подходят для суровых химических условий, но требуют больших объемов проб, чем электродные датчики. ^[9] Датчики проводимости обычно калибруются с помощью растворов KCl с известной проводимостью. Электролитическая проводимость сильно зависит от температуры, но многие коммерческие системы предлагают автоматическую коррекцию температуры. Таблицы эталонной проводимости доступны для многих распространенных решений. ^[10]

Определения

Сопротивление R пропорционально расстоянию l между электродами и обратно пропорционально площади поперечного сечения образца A (отмечено буквой S на рисунке выше). Запись ρ (rho) для обозначения удельного сопротивления или удельного сопротивления .

${\displaystyle R=\rho {\frac {l}{A}}}$

На практике ячейку проводимости калибруют с использованием растворов с известным удельным сопротивлением ρ* , поэтому нет необходимости точно знать отдельные величины l и A , а нужно знать только их соотношение. ^[11] Если сопротивление калибровочного раствора равно R ^* , вычисляется константа ячейки, определяемая как соотношение l и A ( C = l ⁄ A ).

${\displaystyle R^{*}=\rho ^{*}\times C}$

Удельная проводимость (проводимость) κ (каппа) является обратной величиной удельного сопротивления.

${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{\rho }}={\frac {C}{R}}}$

Проводимость также зависит от температуры . Иногда проводимость (обратную величину сопротивления) обозначают как G = 1 ⁄ R. Тогда удельная проводимость κ (каппа) равна:

${\displaystyle \kappa =C\times G}$

Теория

Удельная проводимость раствора, содержащего один электролит, зависит от концентрации электролита. Поэтому удобно разделить удельную проводимость на концентрацию. Этот фактор, называемый молярной проводимостью , обозначается Λ _m

${\displaystyle \Lambda _{\mathrm {m} }={\frac {\kappa }{c}}}$

Сильные электролиты

Предполагается, что сильные электролиты полностью диссоциируют в растворе. Проводимость раствора сильного электролита при низкой концентрации подчиняется закону Кольрауша.

${\displaystyle \Lambda _{\mathrm {m} }=\Lambda _{\mathrm {m} }^{0}-K{\sqrt {c}}}$

где Λ⁰
_мизвестна как предельная молярная проводимость, K — эмпирическая константа, а c — концентрация электролита. (Ограничение здесь означает «на пределе бесконечного разбавления».) Фактически, наблюдаемая проводимость сильного электролита становится прямо пропорциональной концентрации при достаточно низких концентрациях, т.е. когда

${\displaystyle \Lambda _{\mathrm {m} }^{0}\gg K{\sqrt {c}}}$

Однако по мере увеличения концентрации проводимость больше не увеличивается пропорционально. Более того, Кольрауш также обнаружил, что предельная проводимость электролита;

λ⁰
₊и λ⁰
_—– предельная молярная проводимость отдельных ионов.

В следующей таблице приведены значения предельной молярной проводимости для некоторых выбранных ионов. ^[12]

Интерпретация этих результатов была основана на теории Дебая и Хюккеля, что привело к теории Дебая-Хюккеля-Онзагера: ^[14]

${\displaystyle \Lambda _{\mathrm {m} }=\Lambda _{\mathrm {m} }^{0}-\left(A+B\Lambda _{\mathrm {m} }^{0}\right){\sqrt {c}}}$

где A и B — константы, которые зависят только от известных величин, таких как температура, заряды ионов, диэлектрическая проницаемость и вязкость растворителя. Как следует из названия, это расширение теории Дебая-Хюкеля , предложенной Онзагером . Это очень успешно для растворов низкой концентрации.

Слабые электролиты

Слабый электролит — это тот, который никогда полностью не диссоциирует (в равновесии находится смесь ионов и полных молекул). В этом случае не существует предела разбавления, ниже которого зависимость между проводимостью и концентрацией становится линейной. Вместо этого раствор становится все более полно диссоциированным при более слабых концентрациях, а для низких концентраций «хорошо ведущих себя» слабых электролитов степень диссоциации слабого электролита становится пропорциональной обратному квадратному корню из концентрации.

Типичными слабыми электролитами являются слабые кислоты и слабые основания . Концентрация ионов в растворе слабого электролита меньше концентрации самого электролита. Для кислот и оснований концентрации можно рассчитать, если известно значение или значения константы диссоциации кислоты .

Для монопротонной кислоты HA, подчиняющейся закону обратного квадратного корня, с константой диссоциации K _a , можно получить явное выражение для проводимости как функции концентрации c , известное как закон разбавления Оствальда .

${\displaystyle {\frac {1}{\Lambda _{\mathrm {m} }}}={\frac {1}{\Lambda _{\mathrm {m} }^{0}}}+{\frac {\Lambda _{\mathrm {m} }c}{K_{\mathrm {a} }\left(\Lambda _{\mathrm {m} }^{0}\right)^{2}}}}$

Различные растворители демонстрируют одинаковую диссоциацию, если отношение относительных диэлектрических проницаемостей равно отношению кубических корней из концентраций электролитов (правило Вальдена).

Более высокие концентрации

И закон Кольрауша, и уравнение Дебая-Хюккеля-Онзагера нарушаются, когда концентрация электролита увеличивается выше определенного значения. Причина этого в том, что с увеличением концентрации среднее расстояние между катионом и анионом уменьшается, поэтому между близкими ионами увеличивается количество взаимодействий. Является ли это ассоциацией ионов, вопрос спорный. Однако часто предполагалось, что катион и анион взаимодействуют с образованием ионной пары . Таким образом, константа «ионной ассоциации» K может быть получена для равновесия ассоциации между ионами A ⁺ и B ⁻ :

A ⁺ + B ⁻ ⇌ A ⁺ B ^−,   где K =  [А ⁺ Б ^- ]/[А ⁺ ] [Б ^- ]

Дэвис очень подробно описывает результаты таких расчетов, но утверждает, что K не обязательно следует рассматривать как истинную константу равновесия , скорее, включение термина «ион-ассоциация» полезно для расширения диапазона хорошего согласия между теориями. и экспериментальные данные по проводимости. ^[15] Были предприняты различные попытки распространить лечение Онзагера на более концентрированные растворы. ^[16]

Существование так называемого минимума проводимости в растворителях с относительной диэлектрической проницаемостью менее 60 оказалось спорным вопросом с точки зрения интерпретации. Фуосс и Краус предположили, что это вызвано образованием триплетов ионов ^[17] , и это предположение в последнее время получило некоторую поддержку. ^{[18] [19]}

Другие разработки по этой теме были сделаны Теодором Шедловским , ^[20] Э. Питтсом, ^[21] Р.М. Фуоссом, ^{[22] [23]} Фуоссом и Шедловским, ^[24] Фуоссом и Онсагером. ^{[25] [26]}

Системы смешанных растворителей

Предельная эквивалентная проводимость растворов на основе смешанных растворителей, например водно-спиртовой, имеет минимумы в зависимости от природы спирта. Для метанола минимум составляет 15 молярных % воды, ^{[20] [27] [28]} , а для этанола — при 6 молярных % воды. ^[29]

Зависимость проводимости от температуры

Обычно проводимость раствора увеличивается с температурой, поскольку увеличивается подвижность ионов. В целях сравнения эталонные значения приводятся при согласованной температуре, обычно 298 К (≈ 25 °C или 77 °F), хотя иногда используется 20 °C (68 °F). Так называемые «компенсированные» измерения проводятся при удобной температуре, но сообщаемое значение представляет собой расчетное значение ожидаемого значения проводимости раствора, как если бы оно было измерено при эталонной температуре. Базовая компенсация обычно осуществляется путем предположения линейного увеличения проводимости в зависимости от температуры, обычно составляющего 2% на кельвин. ^{[30] [31]} Это значение широко применимо для большинства солей при комнатной температуре. Определение точного температурного коэффициента для конкретного раствора несложно, и приборы обычно способны применять полученный коэффициент (т. е. отличный от 2%).

Измерения проводимости в зависимости от температуры можно использовать для определения энергии активации , используя уравнение Аррениуса : ^[32] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle E_{A}}$

${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}e^{-E_{a}/RT}}$

где – экспоненциальный предмножитель, R – газовая постоянная , а T – абсолютная температура в Кельвинах . ${\displaystyle \sigma _{0}}$

Изотопный эффект растворителя

Изменение проводимости из-за изотопного эффекта для дейтерированных электролитов существенно. ^[33]

Приложения

Несмотря на сложность теоретической интерпретации, измеренная проводимость является хорошим индикатором присутствия или отсутствия проводящих ионов в растворе, и измерения широко используются во многих отраслях промышленности. ^[34] Например, измерения проводимости используются для контроля качества коммунального водоснабжения, в больницах, котловой воде и в отраслях, которые зависят от качества воды, например в пивоварении. Этот тип измерения не является ион-специфичным; иногда его можно использовать для определения общего количества растворенных твердых веществ (TDS), если известны состав раствора и поведение его проводимости. ^[1] Измерения проводимости, проводимые для определения чистоты воды, не реагируют на непроводящие загрязнения (многие органические соединения попадают в эту категорию), поэтому в зависимости от применения могут потребоваться дополнительные испытания на чистоту.

Применение измерений TDS не ограничивается промышленным использованием; многие люди используют TDS как индикатор чистоты питьевой воды. Кроме того, любители аквариумов обеспокоены TDS как для пресноводных, так и для соленых аквариумов. Многим рыбам и беспозвоночным требуются довольно узкие параметры содержания растворенных твердых веществ. Особенно для успешного размножения некоторых беспозвоночных, обычно содержащихся в пресноводных аквариумах (в первую очередь улиток и креветок), необходима солоноватая вода с более высоким TDS, особенно с более высокой соленостью. Хотя взрослые особи данного вида могут хорошо себя чувствовать в пресной воде, это не всегда верно для молоди, а некоторые виды вообще не размножаются в несоленой воде.

Иногда измерения проводимости связывают с другими методами для повышения чувствительности обнаружения определенных типов ионов. Например, в технологии котловой воды продувка котла постоянно контролируется на предмет «катионной проводимости», то есть проводимости воды после ее прохождения через катионообменную смолу. Это чувствительный метод контроля анионных примесей в котловой воде при наличии избытка катионов (содержащихся в подщелачивающем агенте, обычно используемом при очистке воды). Чувствительность этого метода зависит от высокой подвижности Н ⁺ по сравнению с подвижностью других катионов или анионов. Помимо катионной проводимости, существуют аналитические инструменты, предназначенные для измерения проводимости Дега , где проводимость измеряется после удаления растворенного диоксида углерода из образца посредством повторного кипячения или динамической дегазации.

Детекторы проводимости обычно используются с ионной хроматографией . ^[35]

Проводимость очищенной воды в электрохимических экспериментах

Электронная проводимость очищенной дистиллированной воды в электрохимических лабораторных условиях при комнатной температуре часто составляет от 0,05 до 1 мкСм/см. Влияние окружающей среды во время приготовления солевых растворов, например, поглощение газов из-за хранения воды в незапечатанном стакане, может немедленно увеличить проводимость и привести к значениям от 0,5 до 1 . При нагревании дистиллированной воды при приготовлении растворов солей проводимость увеличивается даже без добавления соли. Это часто не учитывается. ${\displaystyle \mathrm {0.055\;\mu S/cm} }$ ${\displaystyle \mathrm {\mu S/cm} }$

Температурная зависимость электронной проводимости очищенной дистиллированной воды. Серая область указывает на погрешность измерений.

В типичном эксперименте под вытяжным шкафом в незапечатанном стакане проводимость очищенной воды обычно нелинейно возрастает от значений ниже 1 мкСм/см до значений, близких к 3,5 мкСм/см (данные на GitHub). Эту температурную зависимость необходимо учитывать, особенно в разбавленных растворах солей. ${\displaystyle \mathrm {95^{0}C} }$

Смотрите также

• Соотношение Эйнштейна (кинетическая теория)
• Уравнение Борна
• Эффект Дебая – Фалькенхагена
• Закон разбавления
• Ионно-транспортное число
• Ионическая атмосфера
• Эффект Вина
• Кондуктиметрическое титрование - методы определения точки эквивалентности

Рекомендации

1. Грей, Джеймс Р. (2004). «Анализаторы проводимости и их применение». В Дауне, Род-Айленд; Лер, Дж. Х. (ред.). Справочник по приборам и анализу окружающей среды . Уайли. стр. 491–510. ISBN 978-0-471-46354-2. Проверено 10 мая 2009 г.
2. Лайт, Трумэн; Лихт, Стюарт; Бевилаква, Энтони; Мораш, Кеннет (2004). «Фундаментальная проводимость и удельное сопротивление воды». Электрохимические и твердотельные буквы . 8 (1): Е16–Е19.
3. «Проводимость воды». Леннтех . Проверено 5 января 2013 г.
4. Бокрис, Дж. О'М; Редди, АКН; Гамбоа-Альдеко, М. (1998). Современная электрохимия (2-е изд.). Спрингер. ISBN 0-306-45555-2. Проверено 10 мая 2009 г.
5. Мария Бештер-Рогач и Душан Хабе, «Современные достижения в измерении электропроводности растворов», Acta Chim. Слав. 2006, 53, 391–395 (pdf)
6. Бойс, В. (2002). Справочник по приборам (3-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 0-7506-7123-8. Проверено 10 мая 2009 г.
7. Грей, стр. 495.
8. Доппельхаммер, Николаус; Пелленс, Ник; Мартенс, Йохан; Киршхок, Кристина Э.А.; Якоби, Бернхард; Райхель, Эрвин К. (27 октября 2020 г.). «Импедансная спектроскопия с подвижным электродом для точного измерения проводимости агрессивных ионных сред». Датчики СКУД . 5 (11): 3392–3397. doi : 10.1021/acsensors.0c01465 . ПМК 7706010 . ПМИД  33107724. 
9. Гош, Арун К. (2013). Введение в измерения и приборостроение (4-е изд., Изд. Восточной экономики). Дели: PH Learning. ISBN 978-81-203-4625-3. ОКЛК  900392417.
10. «Руководство по заказу проводимости» (PDF) . EXW Фоксборо. 3 октября 1999 г. Архивировано из оригинала (PDF) 7 сентября 2012 г. . Проверено 5 января 2013 г.
11. «ASTM D1125-95 (2005) Стандартные методы испытаний электропроводности и удельного сопротивления воды» . Проверено 12 мая 2009 г.
12. Адамсон, Артур В. (1973). Учебник физической химии . Лондон: Academic Press Inc. п. 512.
13. Бештер-Рогач, М.; Томшич, М.; Бартель, Дж.; Нойдер, Р.; Апельблат, А. (1 января 2002 г.). «Исследование электропроводности разбавленных водных растворов щавелевой кислоты и нейтральных оксалатов натрия, калия, цезия и аммония от 5 до 35 ° C». Журнал химии растворов . 31 (1): 1–18. дои : 10.1023/А: 1014805417286. ISSN  1572-8927. S2CID  92641871.
14. Райт, MR (2007). Введение в водные растворы электролитов . Уайли. ISBN 978-0-470-84293-5.
15. Дэвис, CW (1962). Ионная ассоциация . Лондон: Баттервортс.
16. Миёси, К. (1973). «Сравнение уравнений проводимости Фуосса – Онзагера, Фуосса – Ся и Питтса с данными перхлората бис (2,9-диметил-1,10-фенантролин) Cu (I)». Бык. хим. Соц. Япония . 46 (2): 426–430. дои : 10.1246/bcsj.46.426.
17. Фуосс, РМ; Краус, Калифорния (1935). «Свойства электролитических растворов. XV. Термодинамические свойства очень слабых электролитов». Варенье. хим. Соц. 57 : 1–4. дои : 10.1021/ja01304a001.
18. Вайнгертнер, Х.; Вайс, ВК; Шреер, В. (2000). «Ассоциация ионов и минимум электропроводности в теориях ионной жидкости твердых сфер, основанных на Дебае – Хюккеле». Дж. Хим. Физ . 113 (2): 762–. Бибкод : 2000JChPh.113..762W. дои : 10.1063/1.481822.
19. Шрёер, В.; Вайнгертнер, Х. (2004). «Структура и критичность ионных жидкостей» (PDF) . Чистое приложение. Хим . 76 (1): 19–27. дои : 10.1351/pac200476010019. S2CID  39716065.
20. Шедловский, Теодор (1932). «Электролитическая проводимость некоторых одновалентных электролитов в воде при 25 °». Журнал Американского химического общества . Американское химическое общество (ACS). 54 (4): 1411–1428. дои : 10.1021/ja01343a020. ISSN  0002-7863.
21. Питтс, Э.; Коулсон, Чарльз Альфред (1953). «Расширение теории проводимости и вязкости растворов электролитов». Учеб. Р. Сок . A217 (1128): 43. Бибкод : 1953RSPSA.217...43P. дои : 10.1098/rspa.1953.0045. S2CID  123363978.
22. Фуосс, Раймонд М. (1958). «Проводимость ионофоров». Журнал Американского химического общества . Американское химическое общество (ACS). 80 (12): 3163. doi :10.1021/ja01545a064. ISSN  0002-7863.
23. Фуосс, Раймонд М. (1959). «Проводимость разбавленных растворов 1-1 электролитов1». Журнал Американского химического общества . Американское химическое общество (ACS). 81 (11): 2659–2662. дои : 10.1021/ja01520a016. ISSN  0002-7863.
24. Фуосс, Раймонд М.; Шедловский, Феодор. (1949). «Экстраполяция данных проводимости слабых электролитов». Журнал Американского химического общества . Американское химическое общество (ACS). 71 (4): 1496–1498. дои : 10.1021/ja01172a507. ISSN  0002-7863.
25. Фуосс, Раймонд М.; Онсагер, Ларс (1964). «Проводимость симметричных электролитов.1aIV. Гидродинамические и осмотические условия в поле релаксации». Журнал физической химии . Американское химическое общество (ACS). 68 (1): 1–8. дои : 10.1021/j100783a001. ISSN  0022-3654.
26. Фуосс, Раймонд М.; Онсагер, Ларс; Скиннер, Джеймс Ф. (1965). «Проводимость симметричных электролитов. V. Уравнение проводимости 1,2». Журнал физической химии . Американское химическое общество (ACS). 69 (8): 2581–2594. дои : 10.1021/j100892a017. ISSN  0022-3654.
27. Шедловский, Теодор; Кей, Роберт Л. (1956). «Константа ионизации уксусной кислоты в смесях вода-метанол при 25 ° по измерениям проводимости». Журнал физической химии . Американское химическое общество (ACS). 60 (2): 151–155. дои : 10.1021/j150536a003. ISSN  0022-3654.
28. Стрелов, Х. (1960). «Der Einfluß von Wasser auf die Äquiвалентleitfähigkeit von HCl в метаноле». Zeitschrift für Physikalische Chemie . Вальтер де Грюйтер ГмбХ. 24 (3–4): 240–248. дои :10.1524/зпч.1960.24.3_4.240. ISSN  0942-9352.
29. Безман, Ирвинг И.; Верхук, Фрэнк Х. (1945). «Проводимость хлористого водорода и хлорида аммония в смесях этанола и воды». Журнал Американского химического общества . Американское химическое общество (ACS). 67 (8): 1330–1334. дои : 10.1021/ja01224a035. ISSN  0002-7863.
30. «Специальная публикация NIST 260-142 Первичные стандарты и стандартные эталонные материалы для электролитической проводимости» (PDF) . ДЕПАРТАМЕНТ ТОРГОВЛИ США, Технологическое управление, Национальный институт стандартов и технологий. п. 5.
31. Р. А. Робинсон и Р. Х. Стоукс, Электролитные растворы, 3-е изд., Баттервортс, Лондон (1959).
32. Петровски, Мэтт; Фреч, Роджер (30 апреля 2009 г.). «Температурная зависимость ионного транспорта: компенсированное уравнение Аррениуса». Журнал физической химии Б. 113 (17): 5996–6000. дои : 10.1021/jp810095g. ISSN  1520-6106. ПМИД  19338318.
33. Бисвас, Ранджит (1997). «Ограничение ионной проводимости симметричных жестких ионов в водных растворах: температурная зависимость и изотопные эффекты растворителя». Журнал Американского химического общества . 119 (25): 5946–5953. дои : 10.1021/ja970118o.
34. «Измерение электролитической проводимости, теория и практика» (PDF) . Aquarius Technologies Pty Ltd. Архивировано из оригинала (PDF) 12 сентября 2009 года.
35. «Детекторы для ионообменной хроматографии». Архивировано из оригинала 20 августа 2009 года . Проверено 17 мая 2009 г.

дальнейшее чтение

• Ганс Фалькенхаген , Теория электролита , С. Хирцель Верлаг, Лейпциг, 1971 г.
• Фридман, Гарольд Л. (1965). «Член релаксации предельного закона проводимости электролитных смесей». Журнал химической физики . 42 (2): 462–469. Бибкод : 1965JChPh..42..462F. дои : 10.1063/1.1695956.
• Электропроводность концентрированных растворов электролитов в метиловом и этиловом спиртах
• Концентрированные растворы и модель ионного облака
• Х.Л. Фридман, Ф. Франкс, Водные растворы простых электролитов