Копула (теория вероятностей)

Статистическое распределение зависимости между случайными величинами

В теории вероятностей и статистике копула — это многомерная кумулятивная функция распределения , для которой предельное распределение вероятностей каждой переменной равномерно на интервале [0, 1]. Копулы используются для описания/моделирования зависимости (взаимной корреляции) между случайными величинами . ^[1] Их название, введенное математиком-прикладником Эйбом Скларом в 1959 году, происходит от латинского слова «связь» или «связь», похожее, но не связанное с грамматическими связками в лингвистике . Копулы широко используются в количественных финансах для моделирования и минимизации хвостового риска ^[2] и в приложениях по оптимизации портфеля . ^[3]

Теорема Склара утверждает, что любое многомерное совместное распределение можно записать в терминах одномерных предельных функций распределения и копулы, которая описывает структуру зависимости между переменными.

Копулы популярны в многомерных статистических приложениях, поскольку они позволяют легко моделировать и оценивать распределение случайных векторов, оценивая маргиналы и копулы отдельно. Существует множество семейств параметрических копул, которые обычно имеют параметры, контролирующие силу зависимости. Ниже представлены некоторые популярные параметрические модели копул.

Двумерные копулы известны и в некоторых других областях математики под названием пермутоны и дважды-стохастические меры .

Математическое определение

Рассмотрим случайный вектор . Предположим, что его маргиналы непрерывны, т. е. маргинальные CDF являются непрерывными функциями . Применяя преобразование интеграла вероятности к каждому компоненту, случайный вектор ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$ ${\displaystyle F_{i}(x)=\Pr[X_{i}\leq x]}$

${\displaystyle (U_{1},U_{2},\dots ,U_{d})=\left(F_{1}(X_{1}),F_{2}(X_{2}),\dots ,F_{d}(X_{d})\right)}$

имеет маргиналы, равномерно распределенные на интервале [0, 1].

Копула определяется как совместная кумулятивная функция распределения : ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$ ${\displaystyle (U_{1},U_{2},\dots ,U_{d})}$

${\displaystyle C(u_{1},u_{2},\dots ,u_{d})=\Pr[U_{1}\leq u_{1},U_{2}\leq u_{2},\dots ,U_{d}\leq u_{d}].}$

Копула C содержит всю информацию о структуре зависимости между компонентами, тогда как маргинальные кумулятивные функции распределения содержат всю информацию о маргинальных распределениях . ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$

Обратные эти шаги можно использовать для генерации псевдослучайных выборок из общих классов многомерных распределений вероятностей . То есть, учитывая процедуру создания выборки из функции копулы, требуемая выборка может быть построена как ${\displaystyle (U_{1},U_{2},\dots ,U_{d})}$

${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})=\left(F_{1}^{-1}(U_{1}),F_{2}^{-1}(U_{2}),\dots ,F_{d}^{-1}(U_{d})\right).}$

Обобщенные обратные почти наверняка не проблематичны , поскольку предполагалось, что они непрерывны. Кроме того, приведенную выше формулу для функции копулы можно переписать как: ${\displaystyle F_{i}^{-1}}$ ${\displaystyle F_{i}}$

${\displaystyle C(u_{1},u_{2},\dots ,u_{d})=\Pr[X_{1}\leq F_{1}^{-1}(u_{1}),X_{2}\leq F_{2}^{-1}(u_{2}),\dots ,X_{d}\leq F_{d}^{-1}(u_{d})].}$

Определение

В вероятностных терминах это d -мерная копула , если C — совместная кумулятивная функция распределения d -мерного случайного вектора на единичном кубе с равномерными маргиналами . ^[4] ${\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]^{d}}$

В аналитических терминах копула является d -мерной, если ${\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}$

• ${\displaystyle C(u_{1},\dots ,u_{i-1},0,u_{i+1},\dots ,u_{d})=0}$, копула равна нулю, если любой из аргументов равен нулю,
• ${\displaystyle C(1,\dots ,1,u,1,\dots ,1)=u}$, копула равна u , если один аргумент равен u , а все остальные равны 1,
• C является d -неубывающим, т. е. для каждого гиперпрямоугольника C - объем B неотрицательен: ${\displaystyle B=\prod _{i=1}^{d}[x_{i},y_{i}]\subseteq [0,1]^{d}}$

  ${\displaystyle \int _{B}\mathrm {d} C(u)=\sum _{\mathbf {z} \in \prod _{i=1}^{d}\{x_{i},y_{i}\}}(-1)^{N(\mathbf {z} )}C(\mathbf {z} )\geq 0,}$

где . ${\displaystyle N(\mathbf {z} )=\#\{k:z_{k}=x_{k}\}}$

Например, в двумерном случае является двумерной связкой, если , и для всех и . ${\displaystyle C:[0,1]\times [0,1]\rightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle C(0,u)=C(u,0)=0}$ ${\displaystyle C(1,u)=C(u,1)=u}$ ${\displaystyle C(u_{2},v_{2})-C(u_{2},v_{1})-C(u_{1},v_{2})+C(u_{1},v_{1})\geq 0}$ ${\displaystyle 0\leq u_{1}\leq u_{2}\leq 1}$ ${\displaystyle 0\leq v_{1}\leq v_{2}\leq 1}$

Теорема Склара

Плотность и контурный график двумерного распределения Гаусса

Плотность и контурный график двух нормальных маргинальных суставов с копулой Гамбеля.

Теорема Склара, названная в честь Эйба Склара , обеспечивает теоретическую основу для применения копул. ^{[5] [6]} Теорема Склара утверждает, что каждая многомерная кумулятивная функция распределения

${\displaystyle H(x_{1},\dots ,x_{d})=\Pr[X_{1}\leq x_{1},\dots ,X_{d}\leq x_{d}]}$

случайного вектора можно выразить через его маргиналы и копулу . Действительно: ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$ ${\displaystyle F_{i}(x_{i})=\Pr[X_{i}\leq x_{i}]}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle H(x_{1},\dots ,x_{d})=C\left(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d})\right).}$

Если многомерное распределение имеет плотность и если эта плотность доступна, то также верно, что ${\displaystyle h}$

${\displaystyle h(x_{1},\dots ,x_{d})=c(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))\cdot f_{1}(x_{1})\cdot \dots \cdot f_{d}(x_{d}),}$

где плотность копулы. ${\displaystyle c}$

Теорема также утверждает, что при условии , копула уникальна, на которой является декартовым произведением диапазонов предельных CDF. Это означает, что копула уникальна, если маргиналы непрерывны. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {Ran} (F_{1})\times \cdots \times \operatorname {Ran} (F_{d})}$ ${\displaystyle F_{i}}$

Обратное также верно: если задана копула и маргинальные значения , то определяется d -мерная кумулятивная функция распределения с маргинальными распределениями . ${\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle F_{i}(x)}$ ${\displaystyle C\left(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d})\right)}$ ${\displaystyle F_{i}(x)}$

Условие стационарности

Копулы в основном работают, когда временные ряды стационарны ^[7] и непрерывны. ^[8] Таким образом, очень важным шагом предварительной обработки является проверка автокорреляции , тренда и сезонности во временных рядах.

Когда временные ряды автокоррелированы, они могут создать несуществующую зависимость между наборами переменных и привести к неправильной структуре зависимости Copula. ^[9]

Границы копулы Фреше – Хёфдинга

Графики двумерных пределов копулы Фреше – Хёфдинга и копулы независимости (в центре).

Теорема Фреше-Хефдинга (по мотивам Мориса Рене Фреше и Василия Хеффдинга ^[10] ) утверждает, что для любой копулы и любых выполняются следующие оценки: ${\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle (u_{1},\dots ,u_{d})\in [0,1]^{d}}$

${\displaystyle W(u_{1},\dots ,u_{d})\leq C(u_{1},\dots ,u_{d})\leq M(u_{1},\dots ,u_{d}).}$

Функция W называется нижней границей Фреше–Хефдинга и определяется как

${\displaystyle W(u_{1},\ldots ,u_{d})=\max \left\{1-d+\sum \limits _{i=1}^{d}{u_{i}},\,0\right\}.}$

Функция M называется верхней границей Фреше–Хефдинга и определяется как

${\displaystyle M(u_{1},\ldots ,u_{d})=\min\{u_{1},\dots ,u_{d}\}.}$

Верхняя оценка точна: M всегда является копулой, она соответствует сомонотным случайным величинам .

Нижняя оценка является поточечной точной в том смысле, что при фиксированном u существует связка такая, что . Однако W является копулой только в двух измерениях, и в этом случае она соответствует контрмонотонным случайным величинам. ${\displaystyle {\tilde {C}}}$ ${\displaystyle {\tilde {C}}(u)=W(u)}$

В двумерном случае, то есть в двумерном случае, теорема Фреше – Хёфдинга утверждает:

${\displaystyle \max\{u+v-1,\,0\}\leq C(u,v)\leq \min\{u,v\}.}$

Семейства копул

Описано несколько семейств копул.

Гауссова копула

Кумулятивное и плотностное распределение гауссовой копулы с ρ  = 0,4

Гауссова копула — это распределение по единичному гиперкубу . Оно строится на основе многомерного нормального распределения с использованием преобразования интеграла вероятности . ${\displaystyle [0,1]^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Для данной корреляционной матрицы гауссова копула с матрицей параметров может быть записана как ${\displaystyle R\in [-1,1]^{d\times d}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle C_{R}^{\text{Gauss}}(u)=\Phi _{R}\left(\Phi ^{-1}(u_{1}),\dots ,\Phi ^{-1}(u_{d})\right),}$

где – обратная кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения , а – совместная кумулятивная функция распределения многомерного нормального распределения со средним вектором, равным нулю, и ковариационной матрицей, равной корреляционной матрице . Хотя для функции копулы не существует простой аналитической формулы, она может быть ограничена сверху или снизу и аппроксимирована с помощью численного интегрирования. ^{[11] [12]} Плотность можно записать как ^[13] ${\displaystyle \Phi ^{-1}}$ ${\displaystyle \Phi _{R}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C_{R}^{\text{Gauss}}(u)}$

${\displaystyle c_{R}^{\text{Gauss}}(u)={\frac {1}{\sqrt {\det {R}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\Phi ^{-1}(u_{1})\\\vdots \\\Phi ^{-1}(u_{d})\end{pmatrix}}^{T}\cdot \left(R^{-1}-I\right)\cdot {\begin{pmatrix}\Phi ^{-1}(u_{1})\\\vdots \\\Phi ^{-1}(u_{d})\end{pmatrix}}\right),}$

где единичная матрица. ${\displaystyle \mathbf {I} }$

Архимедовы копулы

Архимедовы копулы представляют собой ассоциативный класс копул. Большинство распространенных архимедовых копул допускают явную формулу, что невозможно, например, для гауссовой копулы. На практике архимедовы копулы популярны, поскольку позволяют моделировать зависимость в произвольно больших измерениях только с одним параметром, определяющим силу зависимости.

Копула C называется архимедовой, если она допускает представление ^[14]

${\displaystyle C(u_{1},\dots ,u_{d};\theta )=\psi ^{[-1]}\left(\psi (u_{1};\theta )+\cdots +\psi (u_{d};\theta );\theta \right)}$

где - непрерывная, строго убывающая и выпуклая функция такая , что - параметр в некотором пространстве параметров , и - так называемая генераторная функция, а ее псевдообратная функция определяется формулой ${\displaystyle \psi \!:[0,1]\times \Theta \rightarrow [0,\infty )}$ ${\displaystyle \psi (1;\theta )=0}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi ^{[-1]}}$

${\displaystyle \psi ^{[-1]}(t;\theta )=\left\{{\begin{array}{ll}\psi ^{-1}(t;\theta )&{\mbox{if }}0\leq t\leq \psi (0;\theta )\\0&{\mbox{if }}\psi (0;\theta )\leq t\leq \infty .\end{array}}\right.}$

Более того, приведенная выше формула для C дает копулу тогда и только тогда, когда d-монотонно на . ^[15] То есть, если оно дифференцируемо по времени и производные удовлетворяют условиям ${\displaystyle \psi ^{-1}}$ ${\displaystyle \psi ^{-1}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle d-2}$

${\displaystyle (-1)^{k}\psi ^{-1,(k)}(t;\theta )\geq 0}$

для всех и и является невозрастающим и выпуклым . ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle k=0,1,\dots ,d-2}$ ${\displaystyle (-1)^{d-2}\psi ^{-1,(d-2)}(t;\theta )}$

Важнейшие архимедовы копулы

В следующих таблицах представлены наиболее известные двумерные архимедовы копулы с соответствующим генератором. Не все из них полностью монотонны , т.е. d -монотонны для всех или d -монотонны только для некоторых . ${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \theta \in \Theta }$

Ожидания от моделей копулы и интеграции Монте-Карло

В статистических приложениях многие задачи можно сформулировать следующим образом. Нас интересует математическое ожидание функции отклика, примененной к некоторому случайному вектору . ^[18] Если мы обозначим CDF этого случайного вектора через , интересующую величину можно записать как ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{d})}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(x_{1},\dots ,x_{d})\,\mathrm {d} H(x_{1},\dots ,x_{d}).}$

Если задано моделью копулы, т. е. ${\displaystyle H}$

${\displaystyle H(x_{1},\dots ,x_{d})=C(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))}$

это ожидание можно переписать как

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{[0,1]^{d}}g(F_{1}^{-1}(u_{1}),\dots ,F_{d}^{-1}(u_{d}))\,\mathrm {d} C(u_{1},\dots ,u_{d}).}$

В случае, если копула C абсолютно непрерывна , т.е. C имеет плотность c , это уравнение можно записать как

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{[0,1]^{d}}g(F_{1}^{-1}(u_{1}),\dots ,F_{d}^{-1}(u_{d}))\cdot c(u_{1},\dots ,u_{d})\,du_{1}\cdots \mathrm {d} u_{d},}$

и если каждое маргинальное распределение имеет плотность, то далее сохраняется условие ${\displaystyle f_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(x_{1},\dots x_{d})\cdot c(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))\cdot f_{1}(x_{1})\cdots f_{d}(x_{d})\,\mathrm {d} x_{1}\cdots \mathrm {d} x_{d}.}$

Если копула и маргиналы известны (или если они были оценены), это ожидание можно аппроксимировать с помощью следующего алгоритма Монте-Карло:

1. Нарисуйте выборку размера n из копулы C. ${\displaystyle (U_{1}^{k},\dots ,U_{d}^{k})\sim C\;\;(k=1,\dots ,n)}$
2. Применяя обратные маргинальные CDF, создайте выборку, установив ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{d})}$ ${\displaystyle (X_{1}^{k},\dots ,X_{d}^{k})=(F_{1}^{-1}(U_{1}^{k}),\dots ,F_{d}^{-1}(U_{d}^{k}))\sim H\;\;(k=1,\dots ,n)}$
3. Приблизительно по эмпирическому значению: ${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]\approx {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}g(X_{1}^{k},\dots ,X_{d}^{k})}$

Эмпирические связки

При изучении многомерных данных может возникнуть желание исследовать лежащую в их основе связку. Предположим, у нас есть наблюдения

${\displaystyle (X_{1}^{i},X_{2}^{i},\dots ,X_{d}^{i}),\,i=1,\dots ,n}$

из случайного вектора с непрерывными маргиналами. Соответствующие «истинные» наблюдения копулы будут ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$

${\displaystyle (U_{1}^{i},U_{2}^{i},\dots ,U_{d}^{i})=\left(F_{1}(X_{1}^{i}),F_{2}(X_{2}^{i}),\dots ,F_{d}(X_{d}^{i})\right),\,i=1,\dots ,n.}$

Однако предельные функции распределения обычно неизвестны. Следовательно, можно построить наблюдения псевдокопулы, используя эмпирические функции распределения ${\displaystyle F_{i}}$

${\displaystyle F_{k}^{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} (X_{k}^{i}\leq x)}$

вместо. Тогда наблюдения псевдокопулы определяются как

${\displaystyle ({\tilde {U}}_{1}^{i},{\tilde {U}}_{2}^{i},\dots ,{\tilde {U}}_{d}^{i})=\left(F_{1}^{n}(X_{1}^{i}),F_{2}^{n}(X_{2}^{i}),\dots ,F_{d}^{n}(X_{d}^{i})\right),\,i=1,\dots ,n.}$

Соответствующая эмпирическая копула тогда определяется как

${\displaystyle C^{n}(u_{1},\dots ,u_{d})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} \left({\tilde {U}}_{1}^{i}\leq u_{1},\dots ,{\tilde {U}}_{d}^{i}\leq u_{d}\right).}$

Компоненты выборок псевдокопулы также можно записать как , где – ранг наблюдения : ${\displaystyle {\tilde {U}}_{k}^{i}=R_{k}^{i}/n}$ ${\displaystyle R_{k}^{i}}$ ${\displaystyle X_{k}^{i}}$

${\displaystyle R_{k}^{i}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {1} (X_{k}^{j}\leq X_{k}^{i})}$

Следовательно, эмпирическую связку можно рассматривать как эмпирическое распределение данных, преобразованных в ранг.

Пример версии ро Спирмена: ^[19]

${\displaystyle r={\frac {12}{n^{2}-1}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left[C^{n}\left({\frac {i}{n}},{\frac {j}{n}}\right)-{\frac {i}{n}}\cdot {\frac {j}{n}}\right]}$

Приложения

Количественные финансы

Примеры двумерных копул, используемых в финансах.

В количественных финансах копулы применяются для управления рисками , управления портфелем и оптимизации , а также для ценообразования деривативов .

В первом случае копулы используются для проведения стресс-тестов и проверок устойчивости, что особенно важно во время «режимов спада/кризиса/паники», когда могут произойти экстремальные события (например, глобальный финансовый кризис 2007–2008 гг.). Формула была также адаптирована для финансовых рынков и использовалась для оценки вероятностного распределения убытков по пулам кредитов или облигаций .

В период спада большое количество инвесторов, которые держали позиции в более рискованных активах, таких как акции или недвижимость, могут искать убежища в «более безопасных» инвестициях, таких как наличные деньги или облигации. Это также известно как эффект бегства к качеству , и инвесторы склонны закрывать свои позиции в более рискованных активах в больших количествах за короткий период времени. В результате во время режимов спада корреляция между акциями выше в сторону снижения, а не в сторону роста, и это может иметь катастрофические последствия для экономики. ^{[22] [23]} Например, как ни странно, мы часто читаем заголовки финансовых новостей, сообщающие о потере сотен миллионов долларов на фондовой бирже за один день; однако мы редко читаем сообщения о положительном росте фондового рынка такого же масштаба и за такой же короткий период времени.

Копулы помогают анализировать последствия режимов спада, позволяя отдельно моделировать маргинальные значения и структуру зависимостей многомерной вероятностной модели. Например, рассмотрим фондовую биржу как рынок, состоящий из большого количества трейдеров, каждый из которых использует свои собственные стратегии для максимизации прибыли. Индивидуалистическое поведение каждого трейдера можно описать путем моделирования маржинальных показателей. Однако, поскольку все трейдеры работают на одной бирже, действия каждого трейдера оказывают влияние на действия других трейдеров. Этот эффект взаимодействия можно описать путем моделирования структуры зависимости. Таким образом, копулы позволяют нам анализировать эффекты взаимодействия, которые представляют особый интерес в периоды спада, поскольку инвесторы склонны контролировать свое торговое поведение и решения . (См. также агентную вычислительную экономику , где цена рассматривается как возникающее явление , возникающее в результате взаимодействия различных участников рынка или агентов.)

Пользователей формулы критиковали за создание «культуры оценки», которая продолжала использовать простые связки, несмотря на то, что простые версии были признаны неадекватными для этой цели. ^{[24] [25]} Таким образом, ранее масштабируемые модели копул для больших размерностей позволяли моделировать только эллиптические структуры зависимостей (т.е. гауссовы и копулы Стьюдента), которые не учитывают корреляционную асимметрию, когда корреляции различаются в режимах вверх или вниз. . Однако разработка vine-копул ^[26] (также известных как парные копулы) позволяет гибко моделировать структуру зависимости для портфелей больших размеров. ^[27] Каноническая копула Клейтона учитывает возникновение экстремальных событий снижения и успешно применяется в приложениях по оптимизации портфеля и управлению рисками. Модель способна уменьшить влияние крайних отрицательных корреляций и обеспечивает улучшенные статистические и экономические показатели по сравнению с масштабируемыми копулами эллиптической зависимости, такими как гауссова копула и копула Стьюдента. ^[28]

Другие модели, разработанные для приложений управления рисками, представляют собой панические копулы, которые объединяются с рыночными оценками предельных распределений для анализа влияния режимов паники на распределение прибылей и убытков портфеля. Панические связки создаются с помощью моделирования Монте-Карло , смешанного с повторным взвешиванием вероятности каждого сценария. ^[29]

Что касается ценообразования деривативов , моделирование зависимостей с помощью функций копулы широко используется в приложениях оценки финансовых рисков и актуарного анализа – например, при ценообразовании обеспеченных долговых обязательств (CDO). ^[30] Некоторые считают, что методология применения гауссовой копулы к кредитным деривативам является одной из причин мирового финансового кризиса 2008–2009 годов ; ^{[31] [32] [33]} см. Дэвид X. Ли § CDO и гауссова копула .

Несмотря на такое восприятие, в финансовой отрасли до кризиса предпринимались документально подтвержденные попытки устранить ограничения гауссовой связки и функций связки в целом, в частности отсутствие динамики зависимости. Гауссова копула отсутствует, поскольку она допускает только эллиптическую структуру зависимости, поскольку зависимость моделируется только с использованием дисперсионно-ковариационной матрицы. ^[28] Эта методология ограничена, поскольку она не позволяет зависимости развиваться, поскольку финансовые рынки демонстрируют асимметричную зависимость, в результате чего корреляция между активами значительно увеличивается во время спадов по сравнению с подъемами. Таким образом, подходы к моделированию с использованием копулы Гаусса плохо отражают экстремальные события . ^{[28] [34]} Были попытки предложить модели, устраняющие некоторые ограничения копулы. ^{[34] [35] [36]}

Помимо CDO, копулы применялись к другим классам активов в качестве гибкого инструмента анализа производных продуктов с несколькими активами. Первым подобным применением за пределами кредита было использование копулы для построения поверхности подразумеваемой волатильности корзины ^[37] с учетом «улыбки» волатильности компонентов корзины. С тех пор копулы приобрели популярность в ценообразовании и управлении рисками ^[38] опционов на мультиактивы при наличии улыбки волатильности, в производных инструментах на акции , иностранную валюту и с фиксированным доходом .

Гражданское строительство

Недавно функции копулы были успешно применены к формулированию базы данных для анализа надежности автодорожных мостов, а также к различным исследованиям многомерного моделирования в гражданском строительстве, ^[39] надежности ветровой и сейсмической техники, ^[40] а также механическом и морском проектировании. ^[41] Исследователи также пробуют использовать эти функции в сфере транспорта, чтобы понять взаимодействие между поведением отдельных водителей, которое в совокупности формирует транспортный поток.

Инженерия надежности

Копулы используются для анализа надежности сложных систем компонентов машин с конкурирующими видами отказов.^[42]

Анализ гарантийных данных

Копулы используются для анализа гарантийных данных, при котором анализируется хвостовая зависимость. ^[43]

Турбулентное горение

Копулы используются для моделирования турбулентного сгорания с частичным предварительным смешиванием, которое часто встречается в практических камерах сгорания. ^{[44] [45]}

Лекарство

Копулы имеют множество применений в области медицины , например,

1. Копулы использовались в области магнитно-резонансной томографии (МРТ), например, для сегментации изображений ^[46] , для заполнения вакансий графических моделей в генетике визуализации в исследовании шизофрении ^[47] и для различения нормальных и Больные Альцгеймером . ^[48]
2. Copulæ занимались исследованиями мозга на основе сигналов ЭЭГ , например, для обнаружения сонливости во время дневного сна, ^[49] для отслеживания изменений мгновенной эквивалентной пропускной способности (IEBW), ^[50] для получения синхронизации для ранней диагностики болезни Альцгеймера. , ^[51] для характеристики зависимости колебательной активности между каналами ЭЭГ, ^[52] и для оценки надежности использования методов улавливания зависимости между парами каналов ЭЭГ с использованием их изменяющихся во времени огибающих. ^[53] Функции связки были успешно применены для анализа нейрональных зависимостей ^[54] и подсчета спайков в нейробиологии. ^[55]
3. Модель копулы была разработана , например, в области онкологии для совместного моделирования генотипов , фенотипов и путей реконструкции клеточной сети для выявления взаимодействий между конкретным фенотипом и множеством молекулярных особенностей (например, мутаций и изменений экспрессии генов ). Бао и др. ^[56] использовали данные линии раковых клеток NCI60 для идентификации нескольких подмножеств молекулярных особенностей, которые совместно служат предикторами клинических фенотипов. Предлагаемая копула может оказать влияние на биомедицинские исследования, начиная от лечения рака и заканчивая профилактикой заболеваний. Копула также использовалась для прогнозирования гистологического диагноза колоректальных поражений по изображениям колоноскопии ^[57] и для классификации подтипов рака. ^[58]
4. Модель анализа на основе копулы была разработана в области сердечных и сердечно-сосудистых заболеваний, например, для прогнозирования изменений частоты сердечных сокращений (ЧСС). Частота сердечных сокращений (ЧСС) является одним из наиболее важных показателей здоровья для мониторинга интенсивности упражнений и степени нагрузки, поскольку она тесно связана с частотой сердечных сокращений. Таким образом, точная методика краткосрочного прогнозирования ЧСС может обеспечить эффективное раннее предупреждение о здоровье человека и уменьшить вредные события. Намази (2022) ^[59] использовал новый гибридный алгоритм для прогнозирования ЧСС.

Геодезия

Комбинация SSA и методов, основанных на копулах, была впервые применена в качестве нового стохастического инструмента для прогнозирования параметров ориентации Земли. ^{[60] [61]}

Гидрологические исследования

Копулы использовались как в теоретическом, так и в прикладном анализе гидроклиматических данных. В теоретических исследованиях была принята методология, основанная на копулах, например, для лучшего понимания структур зависимости температуры и осадков в различных частях мира. ^{[9] [62] [63]} Прикладные исследования использовали методологию на основе копулы для изучения, например, сельскохозяйственных засух ^[64] или совместного воздействия экстремальных температур и осадков на рост растительности. ^[65]

Исследования климата и погоды

Копулы широко используются в исследованиях, связанных с климатом и погодой. ^{[66] [67]}

Изменчивость солнечного излучения

Копулы использовались для оценки изменчивости солнечного излучения в пространственных сетях и во времени для отдельных мест. ^{[68] [69]}

Генерация случайных векторов

Большие синтетические следы векторов и стационарные временные ряды можно генерировать с помощью эмпирической копулы, сохраняя при этом всю структуру зависимостей небольших наборов данных. ^[70] Такие эмпирические трассировки полезны в различных исследованиях производительности на основе моделирования. ^[71]

Рейтинг электродвигателей

Копулы использовались для оценки качества при производстве двигателей с электронной коммутацией. ^[72]

Обработка сигнала

Копулы важны, потому что они представляют структуру зависимости без использования маргинальных распределений . Копулы широко используются в сфере финансов , но их использование в обработке сигналов является относительно новым. Копулы используются в области беспроводной связи для классификации радиолокационных сигналов, обнаружения изменений в приложениях дистанционного зондирования и обработки сигналов ЭЭГ в медицине . В этом разделе представлен краткий математический вывод для получения функции плотности копул, за которым следует таблица, содержащая список функций плотности копул с соответствующими приложениями обработки сигналов.

Астрономия

Копулы использовались для определения основной функции радиосветимости активных ядер галактик (АЯГ) ^[73] , однако это невозможно реализовать традиционными методами из-за трудностей с полнотой выборки.

Математический вывод функции плотности копулы

Для любых двух случайных величин X и Y непрерывная совместная функция распределения вероятностей может быть записана как

${\displaystyle F_{XY}(x,y)=\Pr {\begin{Bmatrix}X\leq {x},Y\leq {y}\end{Bmatrix}},}$

где и — маргинальные кумулятивные функции распределения случайных величин X и Y соответственно. ${\textstyle F_{X}(x)=\Pr {\begin{Bmatrix}X\leq {x}\end{Bmatrix}}}$ ${\textstyle F_{Y}(y)=\Pr {\begin{Bmatrix}Y\leq {y}\end{Bmatrix}}}$

тогда функцию распределения копулы можно определить с помощью теоремы Склара ^{[74] [75]} как: ${\displaystyle C(u,v)}$

${\displaystyle F_{XY}(x,y)=C(F_{X}(x),F_{Y}(y))\triangleq C(u,v),}$

где и – предельные функции распределения, совместные и . ${\displaystyle u=F_{X}(x)}$ ${\displaystyle v=F_{Y}(y)}$ ${\displaystyle F_{XY}(x,y)}$ ${\displaystyle u,v\in (0,1)}$

Предполагая , что это дважды дифференцируемо, мы начнем с использования взаимосвязи между совместной функцией плотности вероятности (PDF) и совместной кумулятивной функцией распределения (CDF) и ее частными производными. ${\displaystyle F_{XY}(\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{6}f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}F_{XY}(x,y) \over \partial x\,\partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}C(F_{X}(x),F_{Y}(y)) \over \partial x\,\partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}C(u,v) \over \partial u\,\partial v}\cdot {\partial F_{X}(x) \over \partial x}\cdot {\partial F_{Y}(y) \over \partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&c(u,v)f_{X}(x)f_{Y}(y)\\\vdots \\{\frac {f_{XY}(x,y)}{f_{X}(x)f_{Y}(y)}}={}&c(u,v)\end{alignedat}}}$

где — функция плотности копулы, а — маргинальные функции плотности вероятности X и Y соответственно. Важно понимать, что в этом уравнении четыре элемента, и если известны любые три элемента, можно вычислить четвертый элемент. Например, может использоваться, ${\displaystyle c(u,v)}$ ${\displaystyle f_{X}(x)}$ ${\displaystyle f_{Y}(y)}$

• когда известна совместная функция плотности вероятности между двумя случайными величинами, известна функция плотности копулы и известна одна из двух маргинальных функций, тогда можно вычислить другую маргинальную функцию, или
• когда известны две маргинальные функции и функция плотности связки, можно вычислить совместную функцию плотности вероятности между двумя случайными величинами, или
• когда известны две маргинальные функции и совместная функция плотности вероятности между двумя случайными величинами, тогда можно вычислить функцию плотности копулы.

Список функций плотности копул и приложений

Различные функции плотности двумерных копул важны в области обработки сигналов. и – функции маргинального распределения, и – функции маргинальной плотности. Было показано, что расширение и обобщение копул для статистической обработки сигналов позволяет построить новые двумерные копулы для экспоненциального распределения, распределения Вейбулла и распределения Райса. ^[76] Цзэн и др. ^[77] представили алгоритмы, моделирование, оптимальный выбор и практическое применение этих копул при обработке сигналов. ${\displaystyle u=F_{X}(x)}$ ${\displaystyle v=F_{Y}(y)}$ ${\displaystyle f_{X}(x)}$ ${\displaystyle f_{Y}(y)}$

Смотрите также

• Связь (вероятность)

Рекомендации

1. Торстен Шмидт (2006) «Как справляться с копулами», https://web.archive.org/web/20100705040514/http://www.tu-chemnitz.de/mathematik/fima/publikationen/TSchmidt_Copulas.pdf
2. Лоу, RKY; Алкок, Дж.; Фафф, Р.; Брэйлсфорд, Т. (2013). «Канонические связки виноградной лозы в контексте современного управления портфелем: стоят ли они того?». Журнал банковского дела и финансов . 37 (8): 3085–3099. doi :10.1016/j.jbankfin.2013.02.036. S2CID  154138333.
3. Лоу, RKY; Фафф, Р.; Аас, К. (2016). «Улучшение выбора портфеля среднего и отклонения путем моделирования асимметрии распределения» (PDF) . Журнал экономики и бизнеса . 85 : 49–72. doi :10.1016/j.jeconbus.2016.01.003.
4. Нельсен, Роджер Б. (1999), Введение в копулы , Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0-387-98623-4
5. Склар, А. (1959), «Функции перераспределения в n измерениях и границах», Publ. Инст. Статист. унив. Париж , 8 : 229–231.
6. Дуранте, Фабрицио; Фернандес-Санчес, Хуан; Семпи, Карло (2013), «Топологическое доказательство теоремы Склара», Applied Mathematics Letters , 26 (9): 945–948, doi : 10.1016/j.aml.2013.04.005
7. Садег, Моджтаба; Рагно, Элиза; АгаКучак, Амир (2017). «Набор инструментов многомерного анализа копул (MvCAT): описание зависимости и базовой неопределенности с использованием байесовской структуры». Исследования водных ресурсов . 53 (6): 5166–5183. Бибкод : 2017WRR....53.5166S. дои : 10.1002/2016WR020242 . ISSN  1944-7973.
8. АгаКучак, Амир; Бардоши, Андраш; Хабиб, Эмад (2010). «Моделирование неопределенности на основе копулы: применение к мультисенсорным оценкам осадков». Гидрологические процессы . 24 (15): 2111–2124. дои : 10.1002/hyp.7632. ISSN  1099-1085. S2CID  12283329.
9. Тутунчи, Фаранак; Хаертер, Ян Олаф; Ряти, Олле; Хватает, Томас; Садег, Моджтаба; Тойчбейн, Клаудия (21 июля 2020 г.). «Копулы для гидроклиматического применения - практическое замечание о распространенных заблуждениях и подводных камнях». Дискуссии по гидрологии и наукам о системе Земли : 1–31. дои : 10.5194/hess-2020-306 . ISSN  1027-5606. S2CID  224352645.
10. Джей Джей О'Коннор и Э. Ф. Робертсон (март 2011 г.). «Биография Василия Хёффдинга». Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс , Шотландия . Проверено 14 февраля 2019 г.
11. Ботев, З.И. (2016). «Нормальный закон при линейных ограничениях: моделирование и оценка с помощью минимаксного наклона». Журнал Королевского статистического общества, серия B. 79 : 125–148. arXiv : 1603.04166 . Бибкод : 2016arXiv160304166B. дои : 10.1111/rssb.12162. S2CID  88515228.
12. Ботев, Здравко И. (10 ноября 2015 г.). «TruncatedNormal: Усеченная многомерная норма» – через R-Packages.
13. Арбенс, Филипп (2013). «Распределения байесовских копул с применением к управлению операционными рисками - некоторые комментарии». Методология и вычисления в прикладной теории вероятности . 15 (1): 105–108. дои : 10.1007/s11009-011-9224-0. hdl : 20.500.11850/64244 . S2CID  121861059.
14. Нельсен, РБ (2006). Введение в копулы (второе изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4419-2109-3.
15. Макнил, AJ; Нешлехова, Ю. (2009). «Многомерные архимедовы копулы, d -монотонные функции и симметричные распределения с 1 нормой». Анналы статистики . 37 (5б): 3059–3097. arXiv : 0908.3750 . дои : 10.1214/07-AOS556. S2CID  9858856. ${\displaystyle {\mathit {l}}}$
16. Али, ММ; Михаил, Н.Н.; Хак, М.С. (1978), «Класс двумерных распределений, включая двумерную логистику», J. Multivariate Anal. , 8 (3): 405–412, doi : 10.1016/0047-259X(78)90063-5
17. Клейтон, Дэвид Г. (1978). «Модель ассоциации в двумерных таблицах смертности и ее применение в эпидемиологических исследованиях семейной тенденции заболеваемости хроническими заболеваниями». Биометрика . 65 (1): 141–151. дои : 10.1093/biomet/65.1.141. JSTOR  2335289.
18. Александр Дж. МакНил, Рюдигер Фрей и Пол Эмбрехтс (2005) «Количественное управление рисками: концепции, методы и инструменты», Принстонская серия по финансам
19. Нельсен, Роджер Б. (2006). Введение в копулы (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. п. 220. ИСБН 978-0-387-28678-5.
20. Лоу, Рэнд (11 мая 2017 г.). «Винные копулы: моделирование системного риска и оптимизация портфеля на более высоком этапе». Бухгалтерский учет и финансы . 58 : 423–463. дои : 10.1111/acfi.12274 .
21. Рад, Хосейн; Лоу, Рэнд Квонг Ю; Фафф, Роберт (27 апреля 2016 г.). «Прибыльность парных торговых стратегий: методы дистанции, коинтеграции и копулы». Количественные финансы . 16 (10): 1541–1558. дои : 10.1080/14697688.2016.1164337. S2CID  219717488.
22. Лонгин, Ф; Сольник, Б. (2001), «Чрезвычайная корреляция международных фондовых рынков», Journal of Finance , 56 (2): 649–676, CiteSeerX 10.1.1.321.4899 , doi : 10.1111/0022-1082.00340, S2CID  6143150 
23. Анг, А; Чен, Дж. (2002), «Асимметричные корреляции портфелей акций», Journal of Financial Economics , 63 (3): 443–494, doi : 10.1016/s0304-405x(02)00068-5
24. Лосось, Феликс. «Рецепт катастрофы: формула, которая убила Уолл-стрит». Проводной . ISSN  1059-1028 . Проверено 11 августа 2023 г.
25. Маккензи, Дональд; Спирс, Тейлор (2014). «Формула, которая убила Уолл-стрит»: копула Гаусса и практика моделирования в инвестиционно-банковской сфере». Социальные исследования науки . 44 (3): 393–417. дои : 10.1177/0306312713517157. hdl : 20.500.11820/3095760a-6d7c-4829-b327-98c9c28c1db6 . ISSN  0306-3127. JSTOR  43284238. PMID  25051588. S2CID  15907952.
26. Кук, РМ; Джо, Х.; Аас, К. (январь 2011 г.). Куровицка, Д.; Джо, Х. (ред.). Справочник по моделированию зависимостей Vine Copula (PDF) . Всемирная научная. стр. 37–72. ISBN 978-981-4299-87-9.
27. Аас, К; Чадо, Ц ; Баккен, Х. (2009), «Парно-связочные конструкции множественной зависимости», Insurance: Mathematics and Economics , 44 (2): 182–198, CiteSeerX 10.1.1.61.3984 , doi :10.1016/j.insmatheco.2007.02.001 , S2CID  18320750 
28. Лоу, R; Алкок, Дж; Брэйлсфорд, Т; Фафф, Р. (2013), «Канонические копулы виноградной лозы в контексте современного управления портфелем: стоят ли они того?», Journal of Banking and Finance , 37 (8): 3085–3099, doi : 10.1016/j.jbankfin.2013.02 .036, S2CID  154138333
29. Меуччи, Аттилио (2011), «Новое поколение копул для управления рисками и портфелем», Risk , 24 (9): 122–126
30. Менегуззо, Дэвид; Веккиато, Уолтер (ноябрь 2003 г.), «Чувствительность копулы в обеспеченных долговых обязательствах и дефолтных свопах по корзине», Journal of Futures Markets , 24 (1): 37–70, doi : 10.1002/fut.10110
31. Рецепт катастрофы: формула, которая убила Уолл-стрит Wired , 23 февраля 2009 г.
32. Маккензи, Дональд (2008), «Торговля конца света», London Review of Books (опубликовано 8 мая 2008 г.), стр. 24–26 , получено 27 июля 2009 г.
33. Джонс, Сэм (24 апреля 2009 г.), «Формула, которая разрушила Уолл-стрит» , Financial Times , заархивировано из оригинала 11 декабря 2022 г. , получено 5 мая 2010 г.
34. Липтон, Александр; Ренни, Эндрю (2008). Кредитная корреляция: жизнь после копулы . Всемирная научная. ISBN 978-981-270-949-3.
35. Доннелли, К; Эмбрехтс, П. (2010). «Дьявол в хвосте: актуарная математика и кризис субстандартного ипотечного кредитования». Бюллетень ASTIN 40 (1), 1–33. {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
36. Бриго, Д; Паллавичини, А; Торресетти, Р. (2010). Кредитные модели и кризис: путешествие в CDO, копулы, корреляции и динамические модели . Уайли и сыновья.
37. Цюй, Донг (2001). «Поверхность подразумеваемой волатильности корзины». Неделя деривативов (4 июня).
38. Цюй, Донг (2005). «Варианты ценовой корзины с перекосом». Журнал Wilmott (июль).
39. Томпсон, Дэвид; Килгор, Роджер (2011), «Оценка вероятностей совместных потоков в местах слияния ручьев с использованием копул», Transportation Research Record , 2262 : 200–206, doi : 10.3141/2262-20, S2CID  17179491 , получено 21 февраля 2012 г.
40. Ян, Южная Каролина; Лю, Ти Джей; Хонг, HP (2017). «Надежность башен и башенных систем при меняющихся в пространстве и времени ветровых или сейсмических нагрузках». Журнал строительной техники . 143 (10): 04017137. doi :10.1061/(ASCE)ST.1943-541X.0001835.
41. Чжан, И; Пиво, Майкл; Квек, Сер Тонг (01 июля 2015 г.). «Долгосрочная оценка эффективности и проектирование морских сооружений». Компьютеры и конструкции . 154 : 101–115. doi :10.1016/j.compstruc.2015.02.029.
42. Фам, Хонг (2003), Справочник по обеспечению надежности , Springer, стр. 150–151.
43. Ву, С. (2014), «Построение асимметричных копул и его применение в двумерном моделировании надежности» (PDF) , European Journal of Operational Research , 238 (2): 476–485, doi : 10.1016/j.ejor .2014.03.016, S2CID  22916401
44. Руан, С.; Сваминатан, Н.; Дарбишир, О. (2014), «Моделирование турбулентного пламени поднятой струи с использованием огнеметов: априорная оценка и апостериорная проверка», Combustion Theory and Modeling , 18 (2): 295–329, Bibcode : 2014CTM....18.. 295R, номер doi : 10.1080/13647830.2014.898409, S2CID  53641133
45. Дарбишир, Орегон; Сваминатан, Н. (2012), «Предполагаемая совместная модель в формате PDF для турбулентного горения с различным коэффициентом эквивалентности», Combustion Science and Technology , 184 (12): 2036–2067, doi : 10.1080/00102202.2012.696566, S2CID  98096093
46. Лапуяд-Лахорг, Джером; Сюэ, Цзин-Хао; Руан, Су (июль 2017 г.). «Сегментация изображений из нескольких источников с использованием скрытых марковских полей с многомерными статистическими распределениями на основе копул». Транзакции IEEE при обработке изображений . 26 (7): 3187–3195. Бибкод : 2017ITIP...26.3187L. дои : 10.1109/tip.2017.2685345. ISSN  1057-7149. PMID  28333631. S2CID  11762408.
47. Чжан, Айин; Фанг, Цзянь; Калхун, Винс Д.; Ван, Ю-пин (апрель 2018 г.). «Многомерная модель скрытой гауссовой копулы для смешанных данных в генетике визуализации». 2018 15-й Международный симпозиум IEEE по биомедицинской визуализации (ISBI 2018) . IEEE. стр. 105–109. дои : 10.1109/isbi.2018.8363533. ISBN 978-1-5386-3636-7. S2CID  44114562.
48. Бахрами, Мохсен; Хосейн-Заде, Голам-Али (май 2015 г.). «Изменения ассортативности при болезни Альцгеймера: исследование FMRI в состоянии покоя». 2015 23-я Иранская конференция по электротехнике . IEEE. стр. 141–144. doi : 10.1109/iraniancee.2015.7146198. ISBN 978-1-4799-1972-7. S2CID  20649428.
49. Цянь, Донг; Ван, Бэй; Цин, Сянюнь; Чжан, Тао; Чжан, Ю; Ван, Синъюй; Накамура, Масатоши (апрель 2017 г.). «Обнаружение сонливости с помощью дискриминантного классификатора Байеса-связки на основе сигналов ЭЭГ во время короткого дневного сна». Транзакции IEEE по биомедицинской инженерии . 64 (4): 743–754. дои : 10.1109/tbme.2016.2574812. ISSN  0018-9294. PMID  27254855. S2CID  24244444.
50. Ёсида, Хисаши; Курамото, Харука; Сунада, Юсуке; Киккава, Шо (август 2007 г.). «Анализ ЭЭГ в состоянии поддержания бодрствования на фоне сонливости по мгновенной эквивалентной пропускной способности». 2007 29-я ежегодная международная конференция Общества инженерии в медицине и биологии IEEE . Том. 2007. IEEE. стр. 19–22. дои : 10.1109/iembs.2007.4352212. ISBN 978-1-4244-0787-3. PMID  18001878. S2CID  29527332.
51. Айенгар, Сатиш Г.; Дауэлс, Джастин; Варшни, Прамод К .; Цихоцкий, Анджей (2010). «Количественная оценка синхронности ЭЭГ с использованием копул». Международная конференция IEEE 2010 по акустике, речи и обработке сигналов . IEEE. стр. 505–508. дои : 10.1109/icassp.2010.5495664. ISBN 978-1-4244-4295-9. S2CID  16476449.
52. Гао, Сюй; Шен, Вейнинг; Тинг, Чи-Минг; Крамер, Стивен С.; Шринивасан, Рамеш; Омбао, Эрнандо (апрель 2019 г.). «Оценка связности мозга с использованием гауссовских графических моделей копулы». 2019 IEEE 16-й Международный симпозиум по биомедицинской визуализации (ISBI 2019) . IEEE. стр. 108–112. дои : 10.1109/isbi.2019.8759538. ISBN 978-1-5386-3641-1. S2CID  195881851.
53. Фадлаллах, Б.Х.; Брокмайер, AJ; Сет, С.; Линь Ли; Кейл, А.; Принсипи, JC (август 2012 г.). «Структура ассоциации для анализа структуры зависимостей во временных рядах». 2012 Ежегодная международная конференция Общества инженерии в медицине и биологии IEEE . Том. 2012. IEEE. стр. 6176–6179. дои : 10.1109/embc.2012.6347404. ISBN 978-1-4577-1787-1. PMID  23367339. S2CID  9061806.
54. Эбан, Э; Ротшильд, Р; Мизрахи, А; Нелькен, я; Элидан, Дж. (2013 г.), Карвальо, К.; Равикумар, П. (ред.), «Динамические сети копул для моделирования временных рядов с действительными значениями» (PDF) , Журнал исследований машинного обучения , 31
55. Онкен, А; Грюневельдер, С; Мунк, Миннесота; Обермайер, К. (2009), Аэрсен, Ад (редактор), «Анализ краткосрочных шумовых зависимостей количества спайков в префронтальной коре макака с использованием копул и преобразования фонарика», PLOS Computational Biology , 5 (11): e1000577, Bibcode :2009PLSCB...5E0577O, doi : 10.1371/journal.pcbi.1000577 , PMC 2776173 , PMID  19956759 
56. Бао, Ле; Чжу, Чжоу; Йе, Цзинцзин (март 2009 г.). «Моделирование сети путей онкологических генов с несколькими генотипами и фенотипами с помощью метода копулы». Симпозиум IEEE 2009 г. по вычислительному интеллекту в биоинформатике и вычислительной биологии . IEEE. стр. 237–246. дои : 10.1109/cibcb.2009.4925734. ISBN 978-1-4244-2756-7. S2CID  16779505.
57. Квитт, Роланд; Уль, Андреас; Хафнер, Майкл; Гангл, Альфред; Врба, Фридрих; Весчей, Андреас (июнь 2010 г.). «Прогнозирование гистологии колоректальных поражений в вероятностной основе». Конференция IEEE Computer Society 2010 по компьютерному зрению и распознаванию образов — семинары . IEEE. стр. 103–110. дои : 10.1109/cvprw.2010.5543146. ISBN 978-1-4244-7029-7. S2CID  14841548.
58. Кон, Массачусетс; Николаев, Н. (декабрь 2011 г.). «Эмпирическая нормализация квадратичного дискриминантного анализа и классификации подтипов рака». 2011 10-я Международная конференция по машинному обучению и приложениям и семинары . IEEE. стр. 374–379. arXiv : 1203.6345 . дои : 10.1109/icmla.2011.160. hdl : 2144/38445 . ISBN 978-1-4577-2134-2. S2CID  346934.
59. Намази, Асия (декабрь 2022 г.). «Об улучшении прогнозирования сердечного ритма с использованием сочетания анализа сингулярного спектра и подхода анализа на основе копул». ПерДж . 10 : е14601. дои : 10.7717/peerj.14601 . ISSN  2167-8359. ПМЦ 9774013 . ПМИД  36570014. 
60. Модири, С.; Бельда, С.; Хейнкельманн, Р.; Хосейни, М.; Феррандис, Х.М.; Шух, Х. (2018). «Прогнозирование полярного движения с использованием комбинации SSA и анализа на основе копулы». Земля, планеты и космос . 70 (70): 115. Бибкод : 2018EP&S...70..115M. дои : 10.1186/s40623-018-0888-3 . ПМК 6434970 . ПМИД  30996648. 
61. Модири, С.; Бельда, С.; Хосейни, М.; Хейнкельманн, Р.; Феррандис, Х.М.; Шух, Х. (2020). «Новый гибридный метод улучшения сверхкраткосрочного прогнозирования LOD». Журнал геодезии . 94 (23): 23. Бибкод : 2020JГеод..94...23М. дои : 10.1007/s00190-020-01354-y . ПМК 7004433 . ПМИД  32109976. 
62. Лазоглу, Джорджия; Анагностопулу, Кристина (февраль 2019 г.). «Совместное распределение температуры и осадков в Средиземноморье по методу Копулы». Теоретическая и прикладная климатология . 135 (3–4): 1399–1411. Бибкод : 2019ThApC.135.1399L. doi : 10.1007/s00704-018-2447-z. ISSN  0177-798X. S2CID  125268690.
63. Конг, Ронг-Ганг; Брэди, Марк (2012). «Взаимозависимость между количеством осадков и температурой: анализ копулы». Научный мировой журнал . 2012 : 405675. doi : 10.1100/2012/405675 . ISSN  1537-744X. ПМК 3504421 . ПМИД  23213286. 
64. Ван, Лонг; Ю, Ханг; Ян, Маолин; Ян, Руи; Гао, Руй; Ван, Ин (апрель 2019 г.). «Индекс засухи: стандартизированный индекс осадков, эвапотранспирации и стока». Журнал гидрологии . 571 : 651–668. Бибкод : 2019JHyd..571..651W. doi :10.1016/j.jгидрол.2019.02.023. S2CID  134409125.
65. Алидуст, Фахере; Су, Чжунбо; Штейн, Альфред (декабрь 2019 г.). «Оценка воздействия экстремальных климатических явлений на урожайность, производство и цены с использованием многомерных распределений: новое применение копулы». Экстремальные погодные и климатические явления . 26 : 100227. Бибкод : 2019WCE....2600227A. дои : 10.1016/j.wace.2019.100227 .
66. Шёльзель, К.; Фридерихс, П. (2008). «Многомерные ненормально распределенные случайные величины в исследованиях климата - введение в подход копулы». Нелинейные процессы в геофизике . 15 (5): 761–772. Бибкод : 2008NPGeo..15..761S. дои : 10.5194/npg-15-761-2008 .
67. Ло, П.; Фогль, С.; Цю, В.; Кноче, HR; Кунстманн, Х. (2011). «Статистическое уточнение осадков на основе копулы при моделировании RCM на сложной местности». Гидрол. Система Земли. Наука . 15 (7): 2401–2419. Бибкод : 2011HESS...15.2401L. doi : 10.5194/hess-15-2401-2011 .
68. Мункхаммар, Дж.; Виден, Дж. (2017). «Метод копулы для моделирования коррелированного мгновенного солнечного излучения в пространственных сетях». Солнечная энергия . 143 : 10–21. Бибкод : 2017SoEn..143...10M. doi :10.1016/j.solener.2016.12.022.
69. Мункхаммар, Дж.; Виден, Дж. (2017). «Модель копулы на основе автокорреляции для создания реалистичных временных рядов индекса ясного неба». Солнечная энергия . 158 : 9–19. Бибкод : 2017SoEn..158....9M. doi :10.1016/j.solener.2017.09.028.
70. Стрелен, Иоганн Кристоф (2009). Инструменты для зависимого ввода моделирования с копулами . 2-я Международная конференция ICST по инструментам и методам моделирования. doi : 10.4108/icst.simutools2009.5596 .
71. Бандара, HMND; Джаясумана, AP (декабрь 2011 г.). «О характеристиках и моделировании P2P-ресурсов с коррелирующими статическими и динамическими атрибутами». Глобальная телекоммуникационная конференция IEEE 2011 — GLOBECOM 2011 . IEEE Глобеком. стр. 1–6. CiteSeerX 10.1.1.309.3975 . дои : 10.1109/GLOCOM.2011.6134288. ISBN  978-1-4244-9268-8. S2CID  7135860.
72. Милева Бошкоска, Биляна; Боханец, Марко; Бошкоски, Павел; Юричич, Дани (01 апреля 2015 г.). «Система поддержки принятия решений на основе копулы для оценки качества при производстве электронно-коммутируемых двигателей». Журнал интеллектуального производства . 26 (2): 281–293. дои : 10.1007/s10845-013-0781-7. ISSN  1572-8145. S2CID  982081.
73. Цзуньли, Юань; Цзяньчэн, Ван; Диана, Уорролл; Бин-Бин, Чжан; Цзижун, Мао (2018). «Определение основной функции радиосветимости радиоАЯГ через копулу». Серия дополнений к астрофизическому журналу . 239 (2): 33. arXiv : 1810.12713 . Бибкод : 2018ApJS..239...33Y. дои : 10.3847/1538-4365/aaed3b . S2CID  59330508.
74. Аппелл, Пол; Гурса, Эдуард (1895). Теория алгебраических функций и интегральных знаний, исследование аналитических функций на поверхности Римана / Поль Аппель, Эдуард Гурса. Париж: Готье-Виллар. дои : 10.5962/bhl.title.18731.
75. Дуранте, Фабрицио; Фернандес-Санчес, Хуан; Семпи, Карло (2013). «Топологическое доказательство теоремы Склара». Письма по прикладной математике . 26 (9): 945–948. дои : 10.1016/j.aml.2013.04.005 . ISSN  0893-9659.
76. Цзэн, Сюэсин; Рен, Цзиньчан; Ван, Чжэн; Маршалл, Стивен; Дуррани, Тарик (январь 2014 г.). «Копулы для статистической обработки сигналов (Часть I): Расширения и обобщение» (PDF) . Обработка сигнала . 94 : 691–702. doi :10.1016/j.sigpro.2013.07.009. ISSN  0165-1684.
77. Цзэн, Сюэсин; Рен, Цзиньчан; Сунь, Мэйджун; Маршалл, Стивен; Дуррани, Тарик (январь 2014 г.). «Копулы для статистической обработки сигналов (Часть II): моделирование, оптимальный выбор и практическое применение» (PDF) . Обработка сигнала . 94 : 681–690. doi :10.1016/j.sigpro.2013.07.006. ISSN  0165-1684.
78. Сторвик, Б.; Сторвик, Г.; Фьортофт, Р. (2009). «Об объединении мультисенсорных данных с использованием метагауссовых распределений». Транзакции IEEE по геонаукам и дистанционному зондированию . 47 (7): 2372–2379. Бибкод : 2009ITGRS..47.2372S. дои : 10.1109/tgrs.2009.2012699. ISSN  0196-2892. S2CID  371395.
79. Дасс, Южная Каролина; Юнфан Чжу; Джайн, АК (2006). «Проверка системы биометрической аутентификации: требования к размеру выборки». Транзакции IEEE по анализу шаблонов и машинному интеллекту . 28 (12): 1902–1319. дои : 10.1109/tpami.2006.255. ISSN  0162-8828. PMID  17108366. S2CID  1272268.
80. Папефтимиу, Г.; Куровицка, Д. (2009). «Использование копул для моделирования стохастической зависимости при анализе неопределенности энергосистемы». Транзакции IEEE в энергосистемах . 24 (1): 40–49. Бибкод : 2009ITPSy..24...40P. дои : 10.1109/tpwrs.2008.2004728. ISSN  0885-8950.
81. Брюнель, Нью-Джерси, Б.; Лапуяд-Лахорг, Ж.; Печинский, В. (2010). «Моделирование и неконтролируемая классификация многомерных скрытых цепей Маркова с копулами». Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 55 (2): 338–349. дои : 10.1109/tac.2009.2034929. ISSN  0018-9286. S2CID  941655.
82. Лай, Чин Дью; Балакришнан, Н. (2009). Непрерывные двумерные распределения . дои : 10.1007/b101765. ISBN 978-0-387-09613-1.
83. Дуррани, ТС; Цзэн, X. (2007). «Копулы для двумерных распределений вероятностей». Электронные письма . 43 (4): 248. Бибкод : 2007ElL....43..248D. дои : 10.1049/эл: 20073737. ISSN  0013-5194.
84. Лю, X. (2010). «Скопулы двумерного рэлеевского и логнормального распределений». Электронные письма . 46 (25): 1669. Бибкод : 2010ElL....46.1669L. дои : 10.1049/эл.2010.2777. ISSN  0013-5194.
85. Цзэн, Сюэсин; Рен, Цзиньчан; Ван, Чжэн; Маршалл, Стивен; Дуррани, Тарик (2014). «Копулы для статистической обработки сигналов (Часть I): Расширения и обобщение» (PDF) . Обработка сигнала . 94 : 691–702. doi :10.1016/j.sigpro.2013.07.009. ISSN  0165-1684.
86. Хачича, С.; Чаабене, Ф. (2010). Фруэн, Роберт Дж; Ю, Хон Рён; Вон, Джун-Сон; Фэн, Айпин (ред.). «Обнаружение изменений SAR с использованием копулы Рэлея». Дистанционное зондирование прибрежной океанической, суши и атмосферной среды . ШПИОН. 7858 : 78581Ф. Бибкод : 2010SPIE.7858E..1FH. дои : 10.1117/12.870023. S2CID  129437866.
87. «Кодированная связь по каналам с затуханием», Цифровая связь по каналам с затуханием , John Wiley & Sons, Inc., стр. 758–795, 2005, doi : 10.1002/0471715220.ch13, ISBN 978-0-471-71522-1
88. Дас, Сайкат; Бхаттачарья, Амитабха (2020). «Применение смеси логнормального распределения для представления статистики первого порядка беспроводных каналов». Системный журнал IEEE . 14 (3): 4394–4401. Бибкод : 2020ISysJ..14.4394D. дои : 10.1109/JSYST.2020.2968409. ISSN  1932-8184. S2CID  213729677.
89. Алуини, М.-С.; Саймон, МК (2002). «Двойное разнесение по коррелированным каналам с логарифмически нормальным замиранием». Транзакции IEEE в области коммуникаций . 50 (12): 1946–1959. дои : 10.1109/TCOMM.2002.806552. ISSN  0090-6778.
90. Колесарова, Анна; Месиар, Радко; Самингер-Плац, Сюзанна (2018), Медина, Хесус; Охеда-Асьего, Мануэль; Вердегай, Хосе Луис; Пелта, Дэвид А. (ред.), «Обобщенные связки Фарли-Гамбела-Моргенштерна», Обработка информации и управление неопределенностью в системах, основанных на знаниях. Теория и основы , Коммуникации в компьютерных и информационных науках, Springer International Publishing, vol. 853, стр. 244–252, номер документа : 10.1007/978-3-319-91473-2_21, ISBN. 978-3-319-91472-5
91. Сундаресан, Ашок; Варшни, Прамод К. (2011). «Оценка местоположения источника случайного сигнала на основе коррелированных сенсорных наблюдений». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 59 (2): 787–799. Бибкод : 2011ITSP...59..787S. дои : 10.1109/tsp.2010.2084084. ISSN  1053-587X. S2CID  5725233.
92. Айенгар, Сатиш Г.; Варшни, Прамод К .; Дамарла, Тьягараджу (2011). «Параметрическая структура на основе копул для проверки гипотез с использованием гетерогенных данных». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 59 (5): 2308–2319. Бибкод : 2011ITSP...59.2308I. дои : 10.1109/tsp.2011.2105483. ISSN  1053-587X. S2CID  5549193.
93. Лю, Синь; Ван, Ю (2023). «Аналитические решения для определения годовой вероятности обрушения склона, вызванного дождями на определенном склоне, с использованием двумерного распределения интенсивности и продолжительности осадков». Инженерная геология . 313 : 106969. Бибкод : 2023EngGe.31306969L. дои : 10.1016/j.enggeo.2022.106969. ISSN  1872-6917. S2CID  254807263.
94. Сундаресан, Ашок; Варшни, Прамод К .; Рао, Нагешвара С.В. (2011). «Слияние коррелирующих решений на основе копул». Транзакции IEEE по аэрокосмическим и электронным системам . 47 (1): 454–471. Бибкод : 2011ITAES..47..454S. дои : 10.1109/taes.2011.5705686. ISSN  0018-9251. S2CID  22562771.

дальнейшее чтение

• Стандартный справочник по введению в копулы. Охватывает все фундаментальные аспекты, суммирует наиболее популярные классы копул и предоставляет доказательства важных теорем, связанных с копулами.

Роджер Б. Нельсен (1999), «Введение в копулы», Springer. ISBN 978-0-387-98623-4 

• Книга, освещающая текущие темы математических исследований копул:

Петр Яворски, Фабрицио Дуранте, Вольфганг Карл Хёрдле, Томаш Рыхлик (редакторы): (2010): «Теория связки и ее приложения», конспект лекций по статистике, Springer. ISBN 978-3-642-12464-8 

• Справочник по приложениям выборки и стохастическим моделям, связанным с копулами, см.

Ян-Фредерик Май, Маттиас Шерер (2012): Моделирование копул (стохастические модели, алгоритмы выборки и приложения). Всемирная научная. ISBN 978-1-84816-874-9 

• Статья, посвященная историческому развитию теории копул, написанная человеком, связанным с «изобретением» копул, Эйбом Скларом .

Эйб Склар (1997): «Случайные переменные, функции распределения и копулы – личный взгляд назад и вперед» в Рюшендорф, Л., Швейцер, Б. и Тейлор, М. (ред.) Распределения с фиксированными маргинальными значениями и смежные темы (лекция) Примечания – Серия монографии № 28). ISBN 978-0-940600-40-9 

• Стандартный справочник по многомерным моделям и теории копул в контексте финансовых и страховых моделей.

Александр Дж. МакНил, Рюдигер Фрей и Пол Эмбрехтс (2005) «Количественное управление рисками: концепции, методы и инструменты», Принстонская серия по финансам. ISBN 978-0-691-12255-7 

Внешние ссылки

• «Связка», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Copula Wiki: портал сообщества для исследователей, интересующихся копулами. Архивировано 11 сентября 2016 г. на Wayback Machine.
• Коллекция кодов моделирования и оценки Copula.
• Копулы и корреляция с использованием статей по моделированию Excel
• Глава 1 Ян-Фредерик Май, Маттиас Шерер (2012) «Моделирование копул: стохастические модели, алгоритмы выборки и приложения»