Связанное пространство

Топологическое пространство, которое связно

Связные и несвязные подпространства R ²

В топологии и смежных разделах математики связное пространство — это топологическое пространство , которое не может быть представлено как объединение двух или более непересекающихся непустых открытых подмножеств . Связность — одно из основных топологических свойств , используемых для различения топологических пространств.

Подмножество топологического пространства — это ${\displaystyle X}$связное множество , если оно является связным пространством, рассматриваемым какподпространство. ${\displaystyle X}$

Некоторые связанные, но более сильные условия — это путевая связность, просто связность и -связность . Другое связанное понятие — локально связность , которое не подразумевает и не следует из связности. ${\displaystyle n}$

Формальное определение

Топологическое пространство называется ${\displaystyle X}$несвязно, если оно является объединением двух непересекающихся непустых открытых множеств. В противном случаеназываетсясвязным.Подмножествотопологического пространства называется связным, если оно связно относительно топологии своего подпространства. Некоторые авторы исключаютпустое множество(с его уникальной топологией) из числа связных пространств, но эта статья не следует этой практике. ${\displaystyle X}$

Для топологического пространства следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$связно, то есть его нельзя разделить на два непересекающихся непустых открытых множества.
2. Единственными подмножествами, которые являются одновременно открытыми и замкнутыми ( открыто-замкнутые множества ), являются и пустое множество. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
3. Единственными подмножествами с пустой границей являются и пустое множество. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
4. ${\displaystyle X}$не может быть записано как объединение двух непустых разделенных множеств (множеств, каждое из которых не пересекается с замыканием другого).
5. Все непрерывные функции из в постоянны, где — двухточечное пространство, наделенное дискретной топологией . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$

Исторически эта современная формулировка понятия связности (в терминах отсутствия разбиения на два отдельных множества) впервые появилась (независимо) у Н. Й. Леннеса, Фридьеша Рисса и Феликса Хаусдорфа в начале 20-го века. Подробности см. в ^{[1] .} ${\displaystyle X}$

Подключенные компоненты

Для некоторой точки в топологическом пространстве объединение любого набора связных подмножеств, такое, что каждое из содержащихся будет снова связным подмножеством. Связный компонент точки в является объединением всех связных подмножеств , которые содержат его, является единственным наибольшим (относительно ) связным подмножеством , которое  содержит Максимальные связные подмножества (упорядоченные по включению ) непустого топологического пространства называются связными компонентами пространства. Компоненты любого топологического пространства образуют разбиение : они не пересекаются , непусты и их объединение является всем пространством. Каждый компонент является замкнутым подмножеством исходного пространства. Из этого следует, что в случае, когда их число конечно, каждый компонент также является открытым подмножеством. Однако, если их число бесконечно, это может быть не так; например, связные компоненты множества рациональных чисел являются одноточечными множествами ( синглтонами ), которые не являются открытыми. Доказательство: Любые два различных рациональных числа находятся в разных компонентах. Возьмем иррациональное число , а затем установим и Тогда является разделением и . Таким образом, каждый компонент представляет собой одноточечный набор. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q_{1}<q_{2}}$ ${\displaystyle q_{1}<r<q_{2},}$ ${\displaystyle A=\{q\in \mathbb {Q} :q<r\}}$ ${\displaystyle B=\{q\in \mathbb {Q} :q>r\}.}$ ${\displaystyle (A,B)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle q_{1}\in A,q_{2}\in B}$

Пусть — связная компонента в топологическом пространстве и — пересечение всех открыто-замкнутых множеств, содержащих (называемых квазикомпонентой ) . Тогда равенство выполняется, если является компактным хаусдорфовым или локально связным. ^[2] ${\displaystyle \Gamma _{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \Gamma _{x}'}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle \Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x}}$ ${\displaystyle X}$

Разъединенные пространства

Пространство, в котором все компоненты являются одноточечными множествами, называетсяполностью отключен . В связи с этим свойством пространствоназывается ${\displaystyle X}$полностью отделено , если для любых двух различных элементовиизсуществуют непересекающиесяоткрытые множества,содержащиеисодержащиетакие, чтоявляется объединениеми. Очевидно, что любое полностью отделенное пространство полностью отделено, но обратное не выполняется. Например, возьмем две копии рациональных чисели отождествим их в каждой точке, кроме нуля. Полученное пространство стопологией фактораполностью отделено. Однако, рассматривая две копии нуля, можно увидеть, что пространство не полностью отделено. Фактически, оно даже не являетсяхаусдорфовым, и условие быть полностью отделенным строго сильнее условия быть хаусдорфовым. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Примеры

• Замкнутый интервал в стандартной топологии подпространства связен; хотя его можно, например, записать как объединение и второе множество не является открытым в выбранной топологии ${\displaystyle [0,2)}$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle [1,2),}$ ${\displaystyle [0,2).}$
• Объединение и несвязно; оба эти интервала открыты в стандартном топологическом пространстве ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle (1,2]}$ ${\displaystyle [0,1)\cup (1,2].}$
• ${\displaystyle (0,1)\cup \{3\}}$отключен.
• Выпуклое подмножество связно ; на самом деле оно односвязно . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Евклидова плоскость, исключая начало координат, связна, но не односвязна. Трехмерное евклидово пространство без начала координат связно, и даже односвязно. Напротив, одномерное евклидово пространство без начала координат не связно. ${\displaystyle (0,0),}$
• Евклидова плоскость с удаленной прямой не является связной, поскольку состоит из двух полуплоскостей.
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$, пространство действительных чисел с обычной топологией, связно.
• Линия Зоргенфрей отключена. ^[3]
• Если хотя бы одну точку удалить из , остаток будет несвязным. Однако если даже счетную бесконечность точек удалить из , где остаток будет связным. Если , то остается односвязным после удаления счетного числа точек. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2,}$ ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Любое топологическое векторное пространство , например, любое гильбертово или банахово пространство , над связным полем (таким как или ), односвязно. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Каждое дискретное топологическое пространство с по крайней мере двумя элементами является несвязным, фактически такое пространство является полностью несвязным . Простейшим примером является дискретное двухточечное пространство . ^[4]
• С другой стороны, конечное множество может быть связным. Например, спектр кольца дискретного нормирования состоит из двух точек и связен. Это пример пространства Серпинского .
• Множество Кантора полностью несвязно; поскольку множество содержит несчетное число точек, оно имеет несчетное число компонентов.
• Если пространство гомотопически эквивалентно связному пространству, то оно само связно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Синусоида тополога является примером множества, которое связно, но не является ни путевым, ни локальным.
• Общая линейная группа (то есть группа -by- вещественных, обратимых матриц) состоит из двух связных компонент: одна с матрицами положительного определителя, а другая - отрицательного определителя. В частности, она не связна. Напротив, связна. В более общем смысле, множество обратимых ограниченных операторов в комплексном гильбертовом пространстве связно. ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$
• Спектры коммутативного локального кольца и целостных областей связаны. В более общем случае следующие эквивалентны ^[5]
  1. Спектр коммутативного кольца связен. ${\displaystyle R}$
  2. Каждый конечно порождённый проективный модуль над имеет постоянный ранг. ${\displaystyle R}$
  3. ${\displaystyle R}$не имеет идемпотента (т.е. не является произведением двух колец нетривиальным образом). ${\displaystyle \neq 0,1}$ ${\displaystyle R}$

Примером несвязного пространства является плоскость с удаленной из нее бесконечной линией. Другие примеры несвязных пространств (то есть пространств, которые не связаны) включают плоскость с удаленным кольцом , а также объединение двух непересекающихся замкнутых дисков , где все примеры этого параграфа несут топологию подпространства, индуцированную двумерным евклидовым пространством.

Связанность пути

Это подпространство R² является линейно связным, поскольку между любыми двумя точками пространства можно провести путь.

АПуть-связное пространство — более сильное понятие связности, требующее структуры пути. Путь от точкидо точкивтопологическом пространстве— это непрерывная функцияотединичного интерваладоси. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(0)=x}$ ${\displaystyle f(1)=y}$path-component of— этокласс эквивалентностиизв соответствии сотношением эквивалентности, которое делаетэквивалентным ,если и только если существует путь изв. Пространствоназываетсяпуте-связным(илипуте-связнымили-связным), если существует ровно один path-component. Для непустых пространств это эквивалентно утверждению, что существует путь, соединяющий любые две точки в. Опять же, многие авторы исключают пустое пространство. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle X}$

Каждое линейно связное пространство связно. Обратное не всегда верно: примерами связных пространств, которые не являются линейно связными, являются расширенная длинная линия и синусоидальная кривая тополога . ${\displaystyle L^{*}}$

Подмножества действительной прямой связаны тогда и только тогда, когда они линейно связны; эти подмножества являются интервалами и лучами . Кроме того, открытые подмножества или связаны тогда и только тогда, когда они линейно связны. Кроме того, связность и линейно связность одинаковы для конечных топологических пространств . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Связность дуги

Пространство называется дуго-связанным или дугообразно-связанным , если любые две топологически различимые точки могут быть соединены дугой , что является вложением . Дуго-компонента пространства является максимальным дуго-связанным подмножеством пространства ; или, что эквивалентно, классом эквивалентности отношения эквивалентности того, могут ли две точки быть соединены дугой или путем, точки которого топологически неразличимы. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Каждое хаусдорфово пространство , которое является связным по пути, также является связным по дуге; в более общем случае это верно для -хаусдорфового пространства , которое является пространством, где каждое изображение пути замкнуто . Примером пространства, которое является связным по пути, но не связным по дуге, является линия с двумя началами ; ее две копии могут быть соединены путем, но не дугой. ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle 0}$

Интуиция для путевых связных пространств нелегко переносится на дуговые связные пространства. Пусть будет линией с двумя началами . Ниже приведены факты, аналоги которых справедливы для путевых связных пространств, но не справедливы для дуговых связных пространств: ${\displaystyle X}$

• Непрерывный образ пространства с дуговой связностью может не быть дуговой связностью: например, фактор-отображение пространства с дуговой связностью в его фактор-пространство со счетным числом (не менее 2) топологически различимых точек не может быть дуговой связностью из-за слишком малой мощности.
• Компоненты дуги не могут быть непересекающимися. Например, имеет две перекрывающиеся компоненты дуги. ${\displaystyle X}$
• Связанное по дуге произведение пространств может не быть произведением связанных по дуге пространств. Например, связано по дуге, но не связано. ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$
• Компоненты дуги пространства-произведения не могут быть продуктами компонентов дуги маргинальных пространств. Например, имеет одну компоненту дуги, но имеет две компоненты дуги. ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$
• Если подмножества, соединенные дугами, имеют непустое пересечение, то их объединение может не быть соединенным дугами. Например, компоненты дуг пересекаются, но их объединение не является соединенным дугами. ${\displaystyle X}$

Локальная связанность

Топологическое пространство называется локально связным в точке , если каждая окрестность содержит связную открытую окрестность. Оно локально связно , если имеет базу из связных множеств. Можно показать, что пространство локально связно тогда и только тогда, когда каждая компонента каждого открытого множества открыта. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Аналогично, топологическое пространство называетсялокально линейно связно, если оно имеет базу линейно связных множеств. Открытое подмножество локально линейно связного пространства связно тогда и только тогда, когда оно линейно связно. Это обобщает более раннее утверждение ои, каждое из которых локально линейно связно. В более общем смысле, любоетопологическое многообразиелокально линейно связно. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Синусоида тополога связна, но не локально связна.

Локально связный не подразумевает связный, а локально путевой связный не подразумевает путевой связный. Простым примером локально связного (и локально путевого связного) пространства, которое не связно (или путево связано), является объединение двух разделенных интервалов в , например . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (0,1)\cup (2,3)}$

Классическим примером связного пространства, которое не является локально связным, является так называемая синусоида тополога , определяемая как , с евклидовой топологией, индуцированной включением в . ${\displaystyle T=\{(0,0)\}\cup \left\{\left(x,\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right):x\in (0,1]\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Операции по установке

Примеры объединений и пересечений связных множеств

Пересечение связных множеств не обязательно связно.

Объединение связных множеств не обязательно связно, как можно увидеть , рассмотрев . ${\displaystyle X=(0,1)\cup (1,2)}$

Каждый эллипс представляет собой связное множество, но объединение не связно, поскольку его можно разбить на два непересекающихся открытых множества и . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

Это означает, что если объединение несвязно, то коллекцию можно разбить на две подколлекции, так что объединения подколлекций будут несвязными и открытыми в (см. рисунок). Это подразумевает, что в нескольких случаях объединение связанных множеств обязательно является связным. В частности: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X_{i}\}}$ ${\displaystyle X}$

1. Если общее пересечение всех множеств не пусто ( ), то, очевидно, их нельзя разбить на коллекции с непересекающимися объединениями . Следовательно, объединение связных множеств с непустым пересечением связно. ${\textstyle \bigcap X_{i}\neq \emptyset }$
2. Если пересечение каждой пары множеств не пусто ( ), то их снова нельзя разбить на коллекции с непересекающимися объединениями, поэтому их объединения должны быть связными. ${\displaystyle \forall i,j:X_{i}\cap X_{j}\neq \emptyset }$
3. Если множества можно упорядочить как «связанную цепочку», т.е. проиндексировать целочисленными индексами и , то их объединение снова должно быть связанным. ${\displaystyle \forall i:X_{i}\cap X_{i+1}\neq \emptyset }$
4. Если множества попарно не пересекаются и факторпространство связно, то X должно быть связным. В противном случае, если является разделением X , то является разделением факторпространства (так как являются не пересекающимися и открытыми в факторпространстве). ^[6] ${\displaystyle X/\{X_{i}\}}$ ${\displaystyle U\cup V}$ ${\displaystyle q(U)\cup q(V)}$ ${\displaystyle q(U),q(V)}$

Разность множеств связных множеств не обязательно связна. Однако, если и их разность несвязна (и, таким образом, может быть записана как объединение двух открытых множеств и ), то объединение с каждым таким компонентом связно (т.е. связно для всех ). ${\displaystyle X\supseteq Y}$ ${\displaystyle X\setminus Y}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y\cup X_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Доказательство ^[7]

От противного, предположим, что не является связанным. Поэтому его можно записать как объединение двух непересекающихся открытых множеств, например . Поскольку является связанным, оно должно полностью содержаться в одном из этих компонентов, скажем , и, таким образом, содержится в . Теперь мы знаем, что: Два множества в последнем объединении являются непересекающимися и открытыми в , поэтому имеет место разделение , что противоречит тому факту, что является связанным. ${\displaystyle Y\cup X_{1}}$ ${\displaystyle Y\cup X_{1}=Z_{1}\cup Z_{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ $${\displaystyle X=\left(Y\cup X_{1}\right)\cup X_{2}=\left(Z_{1}\cup Z_{2}\right)\cup X_{2}=\left(Z_{1}\cup X_{2}\right)\cup \left(Z_{2}\cap X_{1}\right)}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Два связанных множества, разность которых не связана

Теоремы

• Основная теорема связности : Пусть и — топологические пространства, а — непрерывная функция. Если — (путь)связно, то и изображение — (путь)связно. Этот результат можно считать обобщением теоремы о промежуточном значении . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(X)}$
• Каждое пространство, связанное путями, является связным.
• В локально линейно связном пространстве каждое открытое связное множество линейно связно.
• Каждое локально линейно связное пространство локально связно.
• Локально линейно связное пространство является линейно связным тогда и только тогда, когда оно связно.
• Замыкание связного подмножества связно. Более того, любое подмножество между связным подмножеством и его замыканием связно.
• Подключенные компоненты всегда закрыты (но в общем случае не открыты)
• Связные компоненты локально связного пространства также открыты.
• Связные компоненты пространства представляют собой непересекающиеся объединения линейно-связных компонентов (которые в общем случае не являются ни открытыми, ни замкнутыми).
• Каждый фактор связного (соответственно локально связного, линейно связного, локально линейно связного) пространства связен (соответственно локально связен, линейно связен, локально линейно связен).
• Каждое произведение семейства связных (соответственно линейно связных) пространств связно (соответственно линейно связно).
• Каждое открытое подмножество локально связного (соответственно локально линейно связного) пространства локально связно (соответственно локально линейно связно).
• Каждое многообразие локально линейно связно.
• Пространство, связанное дугами, является связанным по пути, но пространство, связанное по пути, может не быть связанным по дугам.
• Непрерывный образ линейно связного множества линейно связен.

Графики

Графы имеют подмножества, связанные путями, а именно те подмножества, для которых каждая пара точек имеет путь из ребер, соединяющих их. Но не всегда возможно найти топологию на множестве точек, которая индуцирует те же самые связные множества. Граф из 5 циклов (и любой -цикл с нечетным) является одним из таких примеров. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>3}$

Как следствие, понятие связности может быть сформулировано независимо от топологии пространства. А именно, существует категория связных пространств, состоящая из множеств с наборами связных подмножеств, удовлетворяющих аксиомам связности; их морфизмы — это те функции, которые отображают связные множества в связные множества (Muscat & Buhagiar 2006). Топологические пространства и графы являются частными случаями связных пространств; действительно, конечные связные пространства — это в точности конечные графы.

Однако любой граф можно канонически превратить в топологическое пространство, рассматривая вершины как точки, а ребра как копии единичного интервала (см. топологическая теория графов#Графы как топологические пространства ). Тогда можно показать, что граф связен (в смысле теории графов) тогда и только тогда, когда он связен как топологическое пространство.

Более сильные формы связанности

Существуют более сильные формы связности для топологических пространств , например:

• Если в топологическом пространстве не существует двух непересекающихся непустых открытых множеств , то оно должно быть связным, и, таким образом, гиперсвязные пространства также связны. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Поскольку просто связное пространство по определению также должно быть связным по путям, любое просто связное пространство также связно. Если требование «связности по путям» убрать из определения простой связности, то просто связное пространство не обязательно должно быть связным.
• Еще более сильные версии связности включают понятие стягиваемого пространства . Каждое стягиваемое пространство является путевым связным и, таким образом, также связным.

В общем случае любое пространство, связанное по пути, должно быть связным, но существуют связные пространства, которые не связаны по пути. Удаленное гребенчатое пространство дает такой пример, как и вышеупомянутая синусоида тополога .

Смотрите также

• Математический портал

• Связный компонент (теория графов)  – максимальный подграф, вершины которого могут достигать друг друга.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Локус связности
• Домен (математический анализ)  – Связное открытое подмножество топологического пространства.
• Экстремально несвязное пространство  – Топологическое пространство, в котором замыкание каждого открытого множества открыто.
• Локально связное пространство  – Свойство топологических пространств
• n -связанный
• Равномерно связанное пространство  – Тип однородного пространства
• Пиксельное подключение

Ссылки

1. Уайлдер, Р. Л. (1978). «Эволюция топологической концепции «связности»". American Mathematical Monthly . 85 (9): 720–726. doi :10.2307/2321676. JSTOR  2321676.
2. «Общая топология — Компоненты множества рациональных чисел».
3. Стивен Уиллард (1970). Общая топология . Довер. стр. 191. ISBN 0-486-43479-6.
4. Джордж Ф. Симмонс (1968). Введение в топологию и современный анализ . McGraw Hill Book Company. стр. 144. ISBN 0-89874-551-9.
5. Чарльз Вайбель , K-книга: Введение в алгебраическую K-теорию
6. Брандсма, Хенно (13 февраля 2013 г.). «Как доказать этот результат, включающий факторные отображения и связность?». Stack Exchange .
7. Марек (13 февраля 2013 г.). «Как доказать этот результат о связности?». Stack Exchange .

Дальнейшее чтение

• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология, второе издание . Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• Вайсштейн, Эрик В. «Связное множество». MathWorld .
• В.И. Малыхин (2001) [1994], «Связное пространство», Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Muscat, J; Buhagiar, D (2006). "Connective Spaces" (PDF) . Mem. Fac. Sci. Eng. Shimane Univ., Series B: Math. Sc . 39 : 1–13. Архивировано из оригинала (PDF) 2016-03-04 . Получено 2010-05-17 ..