Связь Поселье–Липкина

Связь Поселье –Липкина (или ячейка Поселье–Липкина , или инверсор Поселье–Липкина ), изобретенная в 1864 году, была первым настоящим плоским прямолинейным механизмом – первой плоской связью, способной преобразовывать вращательное движение в идеальное прямолинейное движение , и наоборот. Она названа в честь Шарля-Николя Поселье (1832–1913), французского офицера армии, и Йом Това Липмана Липкина (1846–1876), литовского еврея и сына знаменитого раввина Израиля Салантера . ^[1]^[2]

До этого изобретения не существовало плоскостного метода преобразования точного прямолинейного движения в круговое движение без опорных направляющих. В 1864 году вся энергия поступала от паровых двигателей , в которых поршень двигался по прямой вверх и вниз по цилиндру. Этот поршень должен был сохранять хорошее уплотнение с цилиндром, чтобы удерживать движущую среду и не терять энергоэффективность из-за утечек. Поршень делает это, оставаясь перпендикулярным оси цилиндра, сохраняя свое прямолинейное движение. Преобразование прямолинейного движения поршня в круговое движение имело решающее значение. Большинство, если не все, применения этих паровых двигателей были вращательными.

Математика связи Поселье–Липкина напрямую связана с инверсией окружности.

Ранее связь Сарруса

Существует более ранний прямолинейный механизм, история которого не очень хорошо известна, называемый связью Саррюса . Эта связь предшествует связи Поселье–Липкина на 11 лет и состоит из ряда шарнирно соединенных прямоугольных пластин, две из которых остаются параллельными, но могут нормально перемещаться друг относительно друга. Связь Саррюса относится к трехмерному классу, иногда называемому пространственным кривошипом, в отличие от связи Поселье–Липкина, которая является плоским механизмом.

Геометрия

Геометрическая схема шарнирного соединения Поселье

На геометрической схеме аппарата можно увидеть шесть стержней фиксированной длины: $OA$ , $OC$ , $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ . Длина $OA$ равна длине $OC$ , а длины $AB$ , $BC$ , $CD$ и $DA$ все равны, образуя ромб . Кроме того, точка $O$ фиксирована. Тогда, если точка $B$ ограничена движением по окружности (например, путем прикрепления ее к стержню длиной посередине между $O$ и $B$ ; путь показан красным), который проходит через $O$ , то точка $D$ обязательно должна будет двигаться по прямой линии (показана синим цветом). Напротив, если точка $B$ ограничена движением по линии (не проходящей через $O$ ), то точка $D$ обязательно должна будет двигаться по окружности (проходящей через $O$ ).

Математическое доказательство концепции

Коллинеарность

Во-первых, необходимо доказать, что точки $O$ , $B$ , $D$ лежат на одной прямой . Это легко увидеть, заметив, что рычажный механизм зеркально симметричен относительно прямой $OD$ , поэтому точка $B$ должна лежать на этой прямой.

Более формально, треугольники $△ BAD$ и $△ BCD$ равны, поскольку сторона $BD$ равна самой себе, сторона $BA$ равна стороне $BC$ , а сторона $AD$ равна стороне $CD$ . Следовательно, углы $∠ ABD$ и $∠ CBD$ равны.

Далее, треугольники $△ OBA$ и $△ OBC$ равны, так как стороны $OA$ и $OC$ равны, сторона $OB$ равна сама себе, а стороны $BA$ и $BC$ равны. Следовательно, углы $∠ OBA$ и $∠ OBC$ равны.

Наконец, поскольку они образуют полный круг, мы имеем

\угол OBA+\угол ABD+\угол DBC+\угол CBO=360^{\circ }

но из-за сравнений $∠ OBA = ∠ OBC$ и $∠ DBA = ∠ DBC$ , таким образом

{\begin{align}&2\times \angle OBA+2\times \angle DBA=360^{\circ }\\&\angle OBA+\angle DBA=180^{\circ }\end{align}}

следовательно, точки $O$ , $B$ и $D$ лежат на одной прямой.

Обратные точки

Пусть точка $P$ является пересечением прямых $AC$ и $BD$ . Тогда, поскольку $ABCD$ — ромб , $P$ является серединой обоих отрезков $BD$ и $AC$ . Следовательно, длина $BP$ = длине $PD$ .

Треугольник $△ BPA$ конгруэнтен треугольнику $△ DPA$ , так как сторона $BP$ конгруэнтна стороне $DP$ , сторона $AP$ конгруэнтна сама себе, а сторона $AB$ конгруэнтна стороне $AD$ . Следовательно, угол $∠ BPA$ = угол $∠ DPA$ . Но так как $∠ BPA + ∠ DPA = 180°$ , то $2 \times ∠ BPA = 180°$ , $∠ BPA = 90°$ и $∠ DPA = 90°$ .

Позволять:

{\begin{align}&x=\ell _{BP}=\ell _{PD}\\&y=\ell _{OB}\\&h=\ell _{AP}\end{align}}

Затем:

\ell _{OB}\cdot \ell _{OD}=y(y+2x)=y^{2}+2xy

{\ell _{OA}}^{2}=(y+x)^{2}+h^{2}

(из-за теоремы Пифагора )

{\ell _{OA}}^{2}=y^{2}+2xy+x^{2}+h^{2}

(то же самое выражение, расширенное)

{\ell _{AD}}^{2}=x^{2}+h^{2}

(Теорема Пифагора)

{\ell _{OA}}^{2}-{\ell _{AD}}^{2}=y^{2}+2xy=\ell _{OB}\cdot \ell _{OD}

Поскольку $OA$ и $AD$ имеют фиксированную длину, то произведение $OB$ и $OD$ является константой:

\ell _{OB}\cdot \ell _{OD}=k^{2}

и поскольку точки $O$ , $B$ , $D$ лежат на одной прямой, то $D$ является обратной точкой $B$ относительно окружности $(O, k)$ с центром $O$ и радиусом $k$ .

Инверсионная геометрия

Таким образом, по свойствам инверсивной геометрии , поскольку фигура, начерченная точкой $D,$ является инверсией фигуры, начерченной точкой $B$ , если $B$ начерчивает окружность, проходящую через центр инверсии $O$ , то $D$ вынужден начертить прямую линию. Но если $B начерчивает прямую линию, не$ проходящую через $O$ , то $D$ должен начертить дугу окружности, проходящую через $O.$ QED

Типичный водитель

Связи Поселье–Липкина (PLL) могут иметь несколько инверсий. Типичный пример показан на противоположном рисунке, в котором кулисный четырехзвенник служит в качестве входного драйвера. Если быть точным, то ползун выступает в качестве входа, который, в свою очередь, управляет правым заземленным звеном PLL, тем самым управляя всей PLL.

Исторические заметки

Сильвестр ( Собрание сочинений , том 3, статья 2) пишет, что, когда он показывал модель Кельвину , тот «нянчил ее, как будто это был его собственный ребенок, а когда было сделано движение, чтобы отнять ее у него, ответил: «Нет! Я еще не насытился ею — это самая прекрасная вещь, которую я когда-либо видел в своей жизни»».

Культурные ссылки

Монументальная скульптура, реализующая связь в освещенных стойках, находится на постоянной выставке в Эйндховене, Нидерланды . Художественное произведение имеет размеры 22 на 15 на 16 метров (72 фута × 49 футов × 52 фута), весит 6600 килограммов (14600 фунтов) и может управляться с панели управления, доступной для широкой публики. ^[3]

Смотрите также

Ссылки

^ "Математическое руководство по связи Поселье–Липкина". Kmoddl.library.cornell.edu . Получено 2011-12-06 .
^ Таймина, Дайна. "Как нарисовать прямую линию Дайны Тайминой". Kmoddl.library.cornell.edu . Получено 2011-12-06 .
^ "То, что вы персонаж, не значит, что у вас есть характер". Иво Схофс . Получено 14 августа 2017 г.

Библиография

Огилви, CS (1990), Экскурсии в геометрию, Дувр, стр. 46–48, ISBN 0-486-26530-7
Брайант, Джон; Сангвин, Крис (2008). Насколько кругла ваша окружность? : где встречаются инженерия и математика . Принстон: Princeton University Press. стр. 33–38, 60–63. ISBN 978-0-691-13118-4.— доказательство и обсуждение связи Поселье–Липкина, математических и реальных механических моделей
Coxeter HSM , Greitzer SL (1967). Geometry Revisited . Вашингтон : MAA . С. 108–111. ISBN 978-0-88385-619-2.(и ссылки, цитируемые в нем)
Хартенберг, Р. С. и Дж. Денавит (1964) Кинематический синтез связей, стр. 181–5, Нью-Йорк: McGraw–Hill, веб-ссылка из Корнелльского университета .
Джонсон РА (1960). Продвинутая евклидова геометрия: Элементарный трактат по геометрии треугольника и окружности (переиздание издания 1929 года под ред. Хоутона Миффлина). Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 46–51. ISBN 978-0-486-46237-0.
Уэллс Д. (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии издательства Penguin. Нью-Йорк: Penguin Books. стр. 120. ISBN 0-14-011813-6.

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Связь Поселье–Липкина» .

Как нарисовать прямую линию, онлайн-видеоролики связей с интерактивными апплетами.
Как нарисовать прямую линию, историческое обсуждение конструкции рычажных механизмов
Интерактивный Java-апплет с доказательством.
Java анимированная связь Поселье–Липкина
Статья в Еврейской энциклопедии о Липмане Липкине и его отце Израиле Салантере
В аппарате Peaucellier есть интерактивный апплет
Моделирование с использованием программного обеспечения Molecular Workbench
Связанная связь называется инверсором Харта.
Модифицированная система связи роботизированной руки Peaucellier (видео Vex Team 1508)