Картирование сдвига

Тип геометрического преобразования

Горизонтальный сдвиг плоскости, преобразующий синюю форму в красную. Черная точка — начало координат.

В гидродинамике отображение сдвига отображает поток жидкости между параллельными пластинами, находящимися в относительном движении.

В плоской геометрии отображение сдвига — это аффинное преобразование , которое смещает каждую точку в фиксированном направлении на величину, пропорциональную ее знаковому расстоянию от заданной линии, параллельной этому направлению. ^[1] Этот тип отображения также называется преобразованием сдвига , трансвекцией или просто сдвигом . Преобразования могут быть применены с матрицей сдвига или трансвекцией , элементарной матрицей , которая представляет собой добавление кратного одной строки или столбца к другому. Такая матрица может быть получена путем взятия единичной матрицы и замены одного из нулевых элементов ненулевым значением.

Примером может служить линейная карта , которая переводит любую точку с координатами в точку . В этом случае смещение горизонтально с коэффициентом 2, где фиксированная линия — это ось x , а знаковое расстояние — это координата y . Обратите внимание, что точки по разные стороны от опорной линии смещаются в противоположных направлениях. ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x+2y,y)}$

Отображения сдвига не следует путать с поворотами . Применение отображения сдвига к набору точек плоскости изменит все углы между ними (кроме прямых углов ) и длину любого отрезка линии , который не параллелен направлению смещения. Поэтому оно обычно искажает форму геометрической фигуры, например, превращая квадраты в параллелограммы , а круги в эллипсы . Однако сдвиг сохраняет площадь геометрических фигур, а также выравнивание и относительные расстояния коллинеарных точек. Отображение сдвига является основным различием между прямым и наклонным (или курсивным) стилями букв .

Такое же определение используется в трехмерной геометрии , за исключением того, что расстояние измеряется от фиксированной плоскости. Трехмерное преобразование сдвига сохраняет объем твердых фигур, но изменяет площади плоских фигур (за исключением тех, которые параллельны смещению). Это преобразование используется для описания ламинарного течения жидкости между пластинами, одна из которых движется в плоскости выше и параллельно первой.

В общем n -мерном декартовом пространстве ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ расстояние измеряется от фиксированной гиперплоскости , параллельной направлению смещения. Это геометрическое преобразование является линейным преобразованием ⁠ ⁠, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ которое сохраняет n -мерную меру (гиперобъем) любого множества.

Определение

Горизонтальный и вертикальный сдвиг плоскости

Горизонтальный сдвиг квадрата на параллелограммы с множителями и ${\displaystyle \cot(60^{\circ })\approx 0.58}$ ${\displaystyle \cot(45^{\circ })=1}$

В плоскости горизонтальный сдвиг (или сдвиг, параллельный оси x ) представляет собой функцию, которая переводит общую точку с координатами в точку ; где m — фиксированный параметр, называемый коэффициентом сдвига . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x+my,y)}$

Эффект этого отображения заключается в смещении каждой точки по горизонтали на величину, пропорциональную ее координате y . Любая точка выше оси x смещается вправо (увеличивая x ), если m > 0 , и влево, если m < 0 . Точки ниже оси x смещаются в противоположном направлении, в то время как точки на оси остаются неподвижными.

Прямые линии, параллельные оси x , остаются там, где они есть, в то время как все остальные линии поворачиваются (на различные углы) относительно точки, где они пересекают ось x . Вертикальные линии, в частности, становятся наклонными линиями с наклоном . Поэтому коэффициент сдвига m является котангенсом угла сдвига между бывшими вертикалями и осью x . (В примере справа квадрат наклонен на 30°, поэтому угол сдвига равен 60°.) ${\displaystyle {\tfrac {1}{m}}.}$ ${\displaystyle \varphi }$

Если координаты точки записаны в виде вектора-столбца ( матрицы 2×1 ), то отображение сдвига можно записать как умножение на матрицу 2×2:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+my\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

Вертикальный сдвиг (или сдвиг параллельно оси y ) линий аналогичен, за исключением того, что роли x и y меняются местами. Он соответствует умножению вектора координат на транспонированную матрицу :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\mx+y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\m&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

Вертикальный сдвиг смещает точки справа от оси y вверх или вниз, в зависимости от знака m . Он оставляет вертикальные линии неизменными, но наклоняет все остальные линии относительно точки, где они пересекаются с осью y . Горизонтальные линии, в частности, наклоняются углом сдвига, становясь линиями с наклоном m . ${\displaystyle \varphi }$

Состав

Можно комбинировать два или более сдвиговых преобразования.

Если две матрицы сдвига и ${\textstyle {\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}}$ ${\textstyle {\begin{pmatrix}1&0\\\mu &1\end{pmatrix}}}$

тогда их матрица состава имеет определитель, равный 1, так что площадь сохраняется. $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\\mu &1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+\lambda \mu &\lambda \\\mu &1\end{pmatrix}},}$$

В частности, если , то мы имеем ${\displaystyle \lambda =\mu }$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1+\lambda ^{2}&\lambda \\\lambda &1\end{pmatrix}},}$$

которая является положительно определенной матрицей .

Более высокие измерения

Типичная матрица сдвига имеет вид $${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&0&0&\lambda &0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

Эта матрица сдвигается параллельно оси x в направлении четвертого измерения базового векторного пространства.

Сдвиг, параллельный оси x , приводит к и . В матричной форме: ${\displaystyle x'=x+\lambda y}$ ${\displaystyle y'=y}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$$

Аналогично, сдвиг, параллельный оси y , имеет и . В матричной форме: ${\displaystyle x'=x}$ ${\displaystyle y'=y+\lambda x}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\\lambda &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$$

В трехмерном пространстве эта матрица сдвигает плоскость YZ в диагональную плоскость, проходящую через эти три точки: ${\displaystyle (0,0,0)}$ ${\displaystyle (\lambda ,1,0)}$ ${\displaystyle (\mu ,0,1)}$ $${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&\lambda &\mu \\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

Определитель всегда будет равен 1, так как независимо от того, где расположен элемент сдвига, он будет членом косой диагонали, которая также содержит нулевые элементы (так как все косые диагонали имеют длину не менее двух), поэтому его произведение останется нулевым и не будет вносить вклад в определитель. Таким образом, каждая матрица сдвига имеет обратную , а обратная — это просто матрица сдвига с отрицательным элементом сдвига, представляющая собой преобразование сдвига в противоположном направлении. Фактически, это часть легко выводимого более общего результата: если S — матрица сдвига с элементом сдвига λ , то S ⁿ — матрица сдвига, элемент сдвига которой просто n λ . Следовательно, возведение матрицы сдвига в степень n умножает ее фактор сдвига на n .

Характеристики

Если S — матрица сдвига n × n , то:

• S имеет ранг n и поэтому обратим.
• 1 — единственное собственное значение S , поэтому det S = 1 и tr S = n
• собственное пространство S ( связанное с собственным значением 1) имеет n − 1 измерение.
• S неисправен​
• S асимметрична
• S может быть преобразована в блочную матрицу с помощью максимум одной операции перестановки столбцов и одной операции перестановки строк.
• площадь , объем или внутренняя емкость любого более высокого порядка многогранника инвариантны относительно преобразования сдвига вершин многогранника.

Общие отображения сдвига

Для векторного пространства V и подпространства W фиксация сдвига W переводит все векторы в направлении, параллельном W .

Точнее, если V — это прямая сумма W и W ′ , и мы записываем векторы как

${\displaystyle v=w+w'}$

соответственно, типичный сдвиг L фиксации W равен

${\displaystyle L(v)=(Lw+Lw')=(w+Mw')+w',}$

где M — линейное отображение из W′ в W. Поэтому в терминах блочной матрицы L можно представить как

${\displaystyle {\begin{pmatrix}I&M\\0&I\end{pmatrix}}.}$

Приложения

Уильям Кингдон Клиффорд отметил следующие применения картирования сдвига :

«Последовательность ножниц позволит нам свести любую фигуру, ограниченную прямыми линиями, к треугольнику равной площади».

«... мы можем срезать любой треугольник, сделав его прямоугольным, и это не изменит его площадь. Таким образом, площадь любого треугольника равна половине площади прямоугольника на том же основании и с высотой, равной перпендикуляру к основанию из противоположного угла». ^[2]

Свойство сохранения площади сдвигового отображения может быть использовано для результатов, включающих площадь. Например, теорема Пифагора была проиллюстрирована сдвиговым отображением ^[3], а также связанная с ним теорема о среднем геометрическом .

Матрицы сдвига часто используются в компьютерной графике . ^{[4] [5] [6]}

Алгоритм Алана В. Паэта использует последовательность из трех сдвиговых отображений (горизонтальное, вертикальное, затем снова горизонтальное) для поворота цифрового изображения на произвольный угол. Алгоритм очень прост в реализации и очень эффективен, поскольку каждый шаг обрабатывает только один столбец или одну строку пикселей за раз. ^[7]

В типографике обычный текст, преобразованный с помощью сдвигового отображения, приводит к получению наклонного шрифта .

В доэйнштейновской теории относительности Галилея преобразования между системами отсчета являются сдвиговыми отображениями, называемыми преобразованиями Галилея . Они также иногда встречаются при описании движущихся систем отсчета относительно «предпочтительной» системы, иногда называемой абсолютным временем и пространством .

Смотрите также

• Матрица преобразования

Ссылки

1. Определение по Вайсштейну, Эрику В. Ширу из MathWorld − A Wolfram Web Resource
2. Уильям Кингдон Клиффорд (1885) Здравый смысл и точные науки , стр. 113
3. Хоэнвартер, М. Теорема Пифагора с помощью отображения сдвига; сделано с помощью GeoGebra . Перетащите ползунки, чтобы наблюдать сдвиги
4. Фоли и др. (1991, стр. 207–208, 216–217)
5. Геометрические инструменты для компьютерной графики, Филип Дж. Шнайдер и Дэвид Х. Эберли, стр. 154-157
6. Компьютерная графика, Апуева А. Десаи, стр. 162-164
7. AW Paeth (1986), Быстрый алгоритм для общего вращения растра. Vision Interface (VI1986) стр. 077-081.

Библиография

• Фоли, Джеймс Д.; ван Дам, Андрис; Файнер, Стивен К.; Хьюз, Джон Ф. (1991), Компьютерная графика: принципы и практика (2-е изд.), Чтение: Addison-Wesley , ISBN 0-201-12110-7