Круглый сегмент

Кусочек круга, разрезанный перпендикулярно радиусу

Сегмент окружности (зеленый цвет) заключен между секущей/хордой (пунктирная линия) и дугой, конечные точки которой равны хорде (дуга, показанная над зеленой областью).

В геометрии круговой сегмент (символ: ⌓ ), также известный как сегмент диска , представляет собой область диска , «отрезанную» от остальной части диска секущей или хордой . Более формально, круговой сегмент — это область двумерного пространства , ограниченная дугой окружности (по соглашению менее π радиан) и хордой окружности, соединяющей конечные точки дуги.

Формулы

Пусть R — радиус дуги, которая образует часть периметра сегмента, θ — центральный угол, стягивающий дугу в радианах , c — длина хорды , s — длина дуги , h — сагитта ( высота ) сегмента, d — длина дуги. апофема сегмента и площадь сегмента .

Обычно задаются или измеряются длина и высота хорды, а иногда и длина дуги как часть периметра, а неизвестными являются площадь, а иногда и длина дуги. Их невозможно рассчитать просто по длине и высоте хорды, поэтому сначала обычно рассчитываются две промежуточные величины: радиус и центральный угол.

Радиус и центральный угол

Радиус:

${\displaystyle R={\tfrac {h}{2}}+{\tfrac {c^{2}}{8h}}}$^[1]

Центральный угол

${\displaystyle \theta =2\arcsin {\tfrac {c}{2R}}}$

Длина и высота хорды

Длину и высоту хорды можно вычислить обратно по радиусу и центральному углу следующим образом:

Длина хорды

${\displaystyle c=2R\sin {\tfrac {\theta }{2}}=R{\sqrt {2(1-\cos \theta )}}}$

${\displaystyle c=2{\sqrt {R^{2}-(R-h)^{2}}}=2{\sqrt {2Rh-h^{2}}}}$

Сагитта - это

${\displaystyle h=R-{\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}=R(1-\cos {\tfrac {\theta }{2}})=R\left(1-{\sqrt {\tfrac {1+\cos \theta }{2}}}\right)={\frac {c}{2}}\tan {\frac {\theta }{4}}}$

Апофема _ _

${\displaystyle d=R-h={\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}=R\cos {\tfrac {\theta }{2}}}$

Длина и площадь дуги

Длина дуги, исходя из знакомой геометрии круга, равна

${\displaystyle s={\theta }R}$

Площадь a круглого сегмента равна площади круглого сектора минус площадь треугольной части (используя формулу двойного угла, чтобы получить уравнение в терминах ): ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle a={\tfrac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)}$

Что касается R и h ,

${\displaystyle a=R^{2}\arccos \left(1-{\frac {h}{R}}\right)-\left(R-h\right){\sqrt {R^{2}-\left(R-h\right)^{2}}}}$

Что касается c и h ,

${\displaystyle a=\left({\frac {c^{2}+4h^{2}}{8h}}\right)^{2}\arccos \left({\frac {c^{2}-4h^{2}}{c^{2}+4h^{2}}}\right)-{\frac {c}{16h}}(c^{2}-4h^{2})}$

Можно утверждать, что по мере уменьшения центрального угла (или, наоборот, увеличения радиуса) площадь a быстро и асимптотически приближается к . Если , является существенно хорошим приближением. ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}c\cdot h}$ ${\displaystyle \theta \ll 1}$ ${\displaystyle a={\tfrac {2}{3}}c\cdot h}$

Если считать постоянным, а радиус можно изменять, то мы имеем ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle {\frac {\partial a}{\partial s}}=R}$$

Когда центральный угол приближается к π, площадь сегмента приближается к площади полукруга, поэтому хорошим приближением является дельта-смещение от последней области: ${\displaystyle {\tfrac {\pi R^{2}}{2}}}$

${\displaystyle a\approx {\tfrac {\pi R^{2}}{2}}-(R+{\tfrac {c}{2}})(R-h)}$для h>.75 Р

Например, площадь составляет четверть круга, когда θ ~ 2,31 радиан (132,3 °), что соответствует высоте ~ 59,6% и длине хорды ~ 183% радиуса. ^{[ нужны разъяснения ]}

И т. д.

Периметр p — это длина дуги плюс длина хорды,

${\displaystyle p=c+s=c+\theta R}$

Как пропорция всей площади диска, вы имеете ${\displaystyle A=\pi R^{2}}$

${\displaystyle {\frac {a}{A}}={\frac {\theta -\sin \theta }{2\pi }}}$

Приложения

Формулу площади можно использовать при расчете объема частично заполненного цилиндрического резервуара, лежащего горизонтально.

При проектировании окон или дверей с закругленными верхами c и h могут быть единственными известными значениями, и их можно использовать для расчета R для настройки циркуля чертежника.

Можно восстановить полные размеры полного круглого объекта по фрагментам, измерив длину дуги и длину хорды фрагмента.

Для проверки положения отверстий на круговом шаблоне. Особенно полезно для проверки качества обработанных изделий.

Для расчета площади или центроида плоской фигуры, содержащей круговые сегменты.

Смотрите также

• Хорда (геометрия)
• Сферический колпачок
• Круговой сектор

Рекомендации

1. Фундаментальная связь между R, c и h, выводимая непосредственно из теоремы Пифагора между компонентами R, C/2 и rh прямоугольного треугольника: которая может быть решена для R, c или h по мере необходимости. ${\displaystyle R^{2}=({\tfrac {c}{2}})^{2}+(R-h)^{2}}$

• Вайсштейн, Эрик В. «Круговой сегмент». Математический мир .

Внешние ссылки

• Определение кругового сегмента С интерактивной анимацией
• Формулы площади кругового сегмента С интерактивной анимацией