В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Матье M 24 является спорадической простой группой порядка
M 24 — одна из 26 спорадических групп, введенная Матье (1861, 1873). Это 5-транзитивная группа перестановок на 24 объектах. Множитель Шура и внешняя группа автоморфизмов — тривиальны .
Группы Матье можно построить различными способами. Первоначально Матье и другие построили их как группы перестановок . Было трудно увидеть, что M 24 действительно существует, что ее генераторы не просто генерируют знакопеременную группу A 24 . Вопрос прояснился, когда Эрнст Витт построил M 24 как группу автоморфизмов (симметрии) системы Штейнера S(5,8,24) W 24 ( схема Витта ). M 24 — это группа перестановок, которые отображают каждый блок в этой схеме в какой-то другой блок. Подгруппы M 23 и M 22 затем легко определяются как стабилизаторы одной точки и пары точек соответственно.
M 24 — это подгруппа S 24 , которая генерируется тремя перестановками: [1]
M 24 также может быть получен двумя перестановками: [2]
M 24 можно построить, начиная с PSL(3,4), проективной специальной линейной группы 3-мерного пространства над конечным полем с 4 элементами (Dixon & Mortimer 1996, стр. 192–205). Эта группа, иногда называемая M 21 , действует на проективной плоскости над полем F 4 , системой S(2,5,21), называемой W 21 . Ее 21 блок называется прямыми . Любые 2 прямые пересекаются в одной точке.
M 21 имеет 168 простых подгрупп порядка 360 и 360 простых подгрупп порядка 168. В большей проективной общей линейной группе PGL(3,4) оба набора подгрупп образуют одиночные классы сопряженности, но в M 21 оба набора распадаются на 3 класса сопряженности. Подгруппы соответственно имеют орбиты из 6, называемые гиперовалами , и орбиты из 7, называемые подплоскостями Фано . Эти наборы позволяют создавать новые блоки для больших систем Штейнера. M 21 является нормальной в PGL(3,4) индекса 3. PGL(3,4) имеет внешний автоморфизм, индуцированный транспонированием сопряженных элементов в F 4 (полевой автоморфизм). Поэтому PGL(3,4) может быть расширена до группы PΓL(3,4) проективных полулинейных преобразований , которая является расщепляемым расширением M 21 с помощью симметрической группы S 3 . PΓL(3,4) имеет вложение как максимальную подгруппу M 24 .(Griess 1998, стр. 55)
Гиперовал не имеет 3 коллинеарных точек. Подплоскость Фано также удовлетворяет подходящим условиям единственности.
К W 21 добавим 3 новые точки и позволим автоморфизмам в PΓL(3,4), но не в M 21 переставлять эти новые точки. Система S(3,6,22) W 22 образуется путем добавления всего одной новой точки к каждой из 21 линий, а новые блоки — это 56 гиперовалов, сопряженных относительно M 21 .
Система S(5,8,24) будет иметь 759 блоков, или октад . Добавьте все 3 новые точки к каждой линии W 21 , другую новую точку к подплоскостям Фано в каждом из наборов из 120 и добавьте соответствующие пары новых точек ко всем гиперовалам. Это учитывает все, кроме 210 октад. Эти оставшиеся октады являются подмножествами W 21 и являются симметричными разностями пар линий. Существует много возможных способов расширить группу PΓL(3,4) до M 24 .
Группа M 24 также является группой автоморфизма перестановок двоичного кода Голея W , т. е. группой перестановок координат, отображающих W в себя. Кодовые слова естественным образом соответствуют подмножествам набора из 24 объектов. (В теории кодирования термин «двоичный код Голея» часто относится к более короткому связанному коду длины 23, а используемый здесь код длины 24 называется «расширенным двоичным кодом Голея».) Эти подмножества, соответствующие кодовым словам с 8 или 12 координатами, равными 1, называются октадами или додекадами соответственно. Октады являются блоками системы Штейнера S(5,8,24), а двоичный код Голея является векторным пространством над полем F 2 , охватываемым октадами системы Штейнера.
Простые подгруппы M 23 , M 22 , M 12 и M 11 можно определить как подгруппы M 24 , стабилизаторы соответственно одной координаты, упорядоченной пары координат, додекады и додекады вместе с одной координатой.
Существует естественная связь между группами Матье и большими группами Конвея , поскольку двоичный код Голея и решетка Лича лежат в пространствах размерности 24. Группы Конвея, в свою очередь, находятся в группе Монстра . Роберт Грайс называет 20 спорадических групп, обнаруженных в Монстре, Счастливой семьей , а группы Матье — первым поколением .
M 24 можно построить, начиная с симметрий квартики Клейна (симметрии мозаики поверхности рода три), которая является PSL(2,7), которая может быть дополнена дополнительной перестановкой. Эту перестановку можно описать, начав с разбиения квартики Клейна на 56 треугольников (с 24 вершинами – 24 точками, на которые действует группа), затем образовав квадраты из некоторых из 2 треугольников и восьмиугольники из 6 треугольников, с добавленной перестановкой, которая заключается в «поменять местами две конечные точки тех ребер исходной треугольной мозаики, которые делят пополам квадраты и восьмиугольники». [2] Это можно визуализировать, раскрасив треугольники – соответствующая мозаика топологически, но не геометрически, является мозаикой t 0,1 {4, 3, 3} и может быть (полиэдрально) погружена в евклидово 3-мерное пространство как малый кубокубооктаэдр (который также имеет 24 вершины). [2]
Теория теневого лунного света представляет собой частично предположительную связь между поверхностями K3 и M 24 .
Группа Конвея Co1 , группа Фишера Fi24 и группа Янко J4 имеют максимальные подгруппы, которые являются расширением группы Матье M24 с помощью группы 211. ( Эти расширения не все одинаковы.) [ необходима цитата ]
Фробениус (1904) вычислил комплексную таблицу характеров M 24 .
Группа Матье M 24 имеет 5-кратное транзитивное перестановочное представление на 24 точках. Соответствующее линейное представление над комплексными числами является суммой тривиального представления и 23-мерного неприводимого представления. [ необходима цитата ]
M 24 имеет два представления перестановок ранга 3 : одно на 276 = 1+44+231 парах точек (или дуадах) со стабилизатором M 22 .2, и одно на 1288 = 1+495+792 дуадах со стабилизатором M 12 .2. [ необходима цитата ]
Фактор 24-мерного линейного представления представления перестановки по его 1-мерному фиксированному подпространству дает 23-мерное представление, которое неприводимо над любым полем характеристики, отличной от 2 или 3, и дает наименьшее точное представление над такими полями. [ необходима ссылка ]
Сокращение 24-мерного представления по модулю 2 дает действие на F24
2. Это имеет инвариантные подпространства размерности 1, 12 (код Голея) и 23. Подчастные дают два неприводимых представления размерности 11 над полем с 2 элементами. [ необходима цитата ]
Choi (1972b) нашел 9 классов сопряженности максимальных подгрупп M 24 . Curtis (1977) дал краткое доказательство результата, описав 9 классов в терминах комбинаторных данных по 24 точкам: подгруппы фиксируют точку, дуаду, октаду, дуум, секстет, триаду, трио, проективную прямую или октерн, как описано ниже. Todd (1966) дал таблицы характеров M 24 (первоначально вычисленные Frobenius (1904)) и 8 максимальных подгрупп, которые были известны в то время.
M 24 содержит неабелевы простые подгруппы 13 типов изоморфизма: пять классов A 5 , четыре класса PSL(3,2), два класса A 6 , два класса PSL(2,11), по одному классу из A 7 , PSL(2,23), M 11 , PSL(3,4), A 8 , M 12 , M 22 , M 23 и M 24 . [ необходима цитата ] A 6 также отмечена ниже как подфактор в подгруппе секстета.
Группа Матье действует на 2048 = 1+759+1288 точках кода Голея по модулю фиксированного пространства с 3 орбитами и на 4096 = 1+24+276+2024+1771 точках кокода с 5 орбитами, а подгруппы, фиксирующие нетривиальную точку кода или кокода, дают 6 из 9 классов максимальных подгрупп.
9 классов максимальных подгрупп следующие:
Подгруппа, фиксирующая точку, — это M 23 , порядок 10200960.
Дуада — это пара точек. Подгруппа, фиксирующая дуаду, — M 22 : 2, порядок 887040, с орбитами 2 и 22.
Подгруппа, фиксирующая одну из 759 (= 3·11·23) октад кода Голея или системы Штейнера, — это группа октад 2 4 :A 8 , порядка 322560, с орбитами размера 8 и 16. Линейная группа GL(4,2) имеет исключительный изоморфизм с знакопеременной группой A 8 . Точечный стабилизатор O октады — это абелева группа порядка 16, экспоненты 2, каждая из инволюций которой перемещает все 16 точек за пределы октады. Стабилизатор октады — это расщепляемое расширение O посредством A 8 . (Thompson 1983, стр. 197–208)
Дуум — это пара дополнительных додекад (множеств из 12 точек) в коде Голея. Подгруппа, фиксирующая дуаду, — это M 12 :2, порядок 190080, транзитивная и импримитивная. Эта подгруппа была открыта Фробениусом. Подгруппа M 12 действует по-разному на 2 множествах из 12, отражая внешний автоморфизм M 12 .
2 6 :(3.S 6 ), заказ 138240: секстетная группа
Рассмотрим тетраду , любой набор из 4 точек в системе Штейнера W 24 . Октада определяется выбором пятой точки из оставшихся 20. Возможны 5 октад. Следовательно, любая тетрада определяет разбиение на 6 тетрад, называемое секстетом , стабилизатор которого в M 24 называется группой секстета .
Общее число тетрад равно 24*23*22*21/4! = 23*22*21. Разделив это число на 6, получим число секстетов, 23*11*7 = 1771. Более того, группа секстетов является подгруппой сплетения порядка 6!*(4!) 6 , единственными простыми делителями которого являются 2, 3 и 5. [ необходима цитата ] Теперь мы знаем простые делители |M 24 |. Дальнейший анализ определит порядок группы секстетов и, следовательно, |M 24 |.
Удобно расположить 24 точки в массиве 6х4:
АЭИМКУ
BFJNRV
CGKOSW
DHLPTX
При этом для нумерации строк удобно использовать элементы поля F4 : 0, 1, u, u2 .
Группа секстета имеет нормальную абелеву подгруппу H порядка 64, изоморфную гексакоду , векторное пространство длины 6 и размерности 3 над F 4 . Ненулевой элемент в H выполняет двойные транспозиции в пределах 4 или 6 столбцов. Его действие можно рассматривать как сложение векторных координат с номерами строк.
Группа секстета является расщепляемым расширением H группой 3.S 6 ( расширение ствола ). [ требуется ссылка ] Вот пример внутри групп Матье, где простая группа (A 6 ) является подчастным , а не подгруппой. 3.S 6 является нормализатором в M 24 подгруппы, порожденной r =(BCD)(FGH)(JKL)(NOP)(RST)(VWX), которую можно рассматривать как умножение номеров строк на u 2 . Подгруппа 3.A 6 является централизатором ⟨r⟩ . Генераторы 3.A 6 следующие:
Нечетная перестановка столбцов, скажем, (CD)(GH)(KL)(OP)(QU)(RV)(SX)(TW), затем генерирует 3.S 6 .
Группа 3.A 6 изоморфна подгруппе SL(3,4), образ которой в PSL(3,4) был отмечен [ кем? ] выше как гиперовальная группа.
В апплете Moggie есть функция, которая отображает секстеты в цвете.
Триада — это набор из 3 точек. Подгруппа, фиксирующая триаду, — это PSL(3,4):S 3 , порядок 120960, с орбитами размера 3 и 21.
Трио — это набор из 3 непересекающихся октад кода Голея. Подгруппа, фиксирующая трио, — это группа трио 2 6 :(PSL(2,7) x S 3 ), порядок 64512, транзитивная и импримитивная.
Подгруппа, фиксирующая проективную линейную структуру на 24 точках, — это PSL(2,23), порядок 6072, действие которой дважды транзитивно. Эта подгруппа была обнаружена Матье.
Октерн — это определенное разбиение 24 точек на 8 блоков по 3. Подгруппа, фиксирующая октерн, — это группа октернов, изоморфная PSL(2,7), порядка 168, простая, транзитивная и импримитивная. Это была последняя найденная максимальная подгруппа M 24 .
Существует 26 классов сопряженности. Все формы циклов сбалансированы в том смысле, что они остаются инвариантными при изменении длины циклов k до длины циклов N / k для некоторого целого числа N в зависимости [ как? ] от класса сопряженности.
