распределение Пирсона

Семейство непрерывных распределений вероятностей

Диаграмма системы Пирсона, показывающая распределения типов I, III, VI, V и IV в терминах β ₁ (квадратичная асимметрия) и β ₂ (традиционный эксцесс)

Распределение Пирсона — это семейство непрерывных распределений вероятностей . Впервые оно было опубликовано Карлом Пирсоном в 1895 году и впоследствии расширено им в 1901 и 1916 годах в серии статей по биостатистике .

История

Система Пирсона изначально была разработана в попытке смоделировать явно искаженные наблюдения. В то время было хорошо известно, как настроить теоретическую модель для соответствия первым двум кумулянтам или моментам наблюдаемых данных: Любое распределение вероятностей может быть напрямую расширено для формирования семейства шкалы местоположения . За исключением патологических случаев, семейство шкалы местоположения может быть сделано для соответствия наблюдаемому среднему (первый кумулянт) и дисперсии (второй кумулянт) произвольно хорошо. Однако не было известно, как построить распределения вероятностей, в которых асимметрия (стандартизированный третий кумулянт) и эксцесс (стандартизированный четвертый кумулянт) могли бы быть скорректированы одинаково свободно. Эта потребность стала очевидной при попытке подогнать известные теоретические модели к наблюдаемым данным, которые демонстрировали асимметрию. Примеры Пирсона включают данные о выживаемости, которые обычно асимметричны.

В своей оригинальной статье Пирсон (1895, стр. 360) выделил четыре типа распределений (пронумерованных от I до IV) в дополнение к нормальному распределению (которое изначально было известно как тип V). Классификация зависела от того, поддерживались ли распределения на ограниченном интервале, на полупрямой или на всей действительной прямой ; и были ли они потенциально перекошенными или обязательно симметричными. Вторая статья (Пирсон 1901) исправила два упущения: она переопределила распределение типа V (первоначально просто нормальное распределение , но теперь обратное гамма-распределение ) и ввела распределение типа VI. Вместе первые две статьи охватывают пять основных типов системы Пирсона (I, III, IV, V и VI). В третьей статье Пирсон (1916) ввел дополнительные особые случаи и подтипы (VII по XII).

Райнд (1909, стр. 430–432) разработал простой способ визуализации пространства параметров системы Пирсона, который впоследствии был принят Пирсоном (1916, таблица 1 и стр. 430 и далее, 448 и далее). Типы Пирсона характеризуются двумя величинами, обычно называемыми β ₁ и β ₂ . Первая — это квадрат асимметрии : β ₁ = γ ₁ , где γ ₁ — асимметрия, или третий стандартизированный момент . Вторым является традиционный эксцесс , или четвертый стандартизированный момент: β ₂ = γ ₂ + 3. (Современные методы определяют эксцесс γ ₂ в терминах кумулянтов, а не моментов, так что для нормального распределения мы имеем γ ₂ = 0 и β ₂ = 3. Здесь мы следуем историческому прецеденту и используем β ₂ .) Диаграмма справа показывает, к какому типу Пирсона относится данное конкретное распределение (идентифицируемое точкой (β ₁ , β ₂ )).

Многие из асимметричных и/или немезокуртических распределений , знакомых нам сегодня, были еще неизвестны в начале 1890-х годов. То, что сейчас известно как бета-распределение, использовалось Томасом Байесом в качестве апостериорного распределения параметра распределения Бернулли в его работе 1763 года об обратной вероятности . Бета-распределение приобрело известность благодаря своей принадлежности к системе Пирсона и было известно до 1940-х годов как распределение Пирсона типа I. ^[1] (Распределение Пирсона II типа является частным случаем типа I, но обычно больше не выделяется.) Гамма-распределение возникло из работы Пирсона (Pearson 1893, стр. 331; Pearson 1895, стр. 357, 360, 373–376) и было известно как распределение Пирсона III типа, прежде чем получило свое современное название в 1930-х и 1940-х годах. ^[2] В статье Пирсона 1895 года было представлено распределение IV типа, которое содержит t -распределение Стьюдента как частный случай, опередив последующее использование Уильямом Сили Госсетом на несколько лет. В его статье 1901 года были представлены обратное гамма-распределение (тип V) и бета-штрих-распределение (тип VI).

Определение

Плотность Пирсона p определяется как любое допустимое решение дифференциального уравнения (ср. Пирсон 1895, стр. 381)

${\displaystyle {\frac {p'(x)}{p(x)}}+{\frac {a+(x-\mu )}{b_{0}+b_{1}(x-\mu )+b_{2}(x-\mu )^{2}}}=0.\qquad (1)}$

с:

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0}&={\frac {4\beta _{2}-3\beta _{1}}{10\beta _{2}-12\beta _{1}-18}}\mu _{2},\\[5pt]a=b_{1}&={\sqrt {\mu _{2}}}{\sqrt {\beta _{1}}}{\frac {\beta _{2}+3}{10\beta _{2}-12\beta _{1}-18}},\\[5pt]b_{2}&={\frac {2\beta _{2}-3\beta _{1}-6}{10\beta _{2}-12\beta _{1}-18}}.\end{aligned}}}$

По словам Орда ^[3] , Пирсон разработал базовую форму уравнения (1) на основе, во-первых, формулы для производной логарифма функции плотности нормального распределения (которая дает линейную функцию) и, во-вторых, из рекуррентного соотношения для значений в функции массы вероятности гипергеометрического распределения (которая дает линейно-деленную на квадратичную структуру).

В уравнении (1) параметр a определяет стационарную точку , а следовательно, при некоторых условиях и моду распределения, поскольку

${\displaystyle p'(\mu -a)=0}$

следует непосредственно из дифференциального уравнения.

Поскольку мы сталкиваемся с линейным дифференциальным уравнением первого порядка с переменными коэффициентами , его решение простое:

${\displaystyle p(x)\propto \exp \left(-\int {\frac {x+a}{b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}}}\,dx\right).}$

Интеграл в этом решении значительно упрощается, если рассмотреть некоторые особые случаи подынтегральной функции. Пирсон (1895, стр. 367) выделил два основных случая, определяемых знаком дискриминанта ( и, следовательно, числом действительных корней ) квадратичной функции

${\displaystyle f(x)=b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}.\qquad (2)}$

Конкретные типы распространения

Случай 1, отрицательный дискриминант

Распределение Пирсона типа IV

Если дискриминант квадратичной функции (2) отрицателен ( ), то она не имеет действительных корней. Тогда определим ${\displaystyle b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}<0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=x+{\frac {b_{1}}{2b_{2}}},\\[5pt]\alpha &={\frac {\sqrt {4b_{2}b_{0}-b_{1}^{2}}}{2b_{2}}}.\end{aligned}}}$

Заметим, что α — это вполне определенное действительное число и α ≠ 0 , поскольку по предположению и, следовательно, b ₂ ≠ 0. Применяя эти замены, квадратичная функция (2) преобразуется в ${\displaystyle 4b_{2}b_{0}-b_{1}^{2}>0}$

${\displaystyle f(x)=b_{2}(y^{2}+\alpha ^{2}).}$

Отсутствие действительных корней очевидно из этой формулировки, поскольку α2 ^{обязательно} положительно.

Теперь выразим решение дифференциального уравнения (1) как функцию y :

${\displaystyle p(y)\propto \exp \left(-{\frac {1}{b_{2}}}\int {\frac {y-{\frac {b_{1}}{2b_{2}}}+a}{y^{2}+\alpha ^{2}}}\,dy\right).}$

Пирсон (1895, стр. 362) назвал это «тригонометрическим случаем», потому что интеграл

${\displaystyle \int {\frac {y-{\frac {2b_{2}a-b_{1}}{2b_{2}}}}{y^{2}+\alpha ^{2}}}\,dy={\frac {1}{2}}\ln(y^{2}+\alpha ^{2})-{\frac {2b_{2}a-b_{1}}{2b_{2}\alpha }}\arctan \left({\frac {y}{\alpha }}\right)+C_{0}}$

включает обратную тригонометрическую функцию arctan. Тогда

${\displaystyle p(y)\propto \exp \left[-{\frac {1}{2b_{2}}}\ln \left(1+{\frac {y^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)-{\frac {\ln \alpha }{b_{2}}}+{\frac {2b_{2}a-b_{1}}{2b_{2}^{2}\alpha }}\arctan \left({\frac {y}{\alpha }}\right)+C_{1}\right].}$

Наконец, позвольте

${\displaystyle {\begin{aligned}m&={\frac {1}{2b_{2}}},\\[5pt]\nu &=-{\frac {2b_{2}a-b_{1}}{2b_{2}^{2}\alpha }}.\end{aligned}}}$

Применяя эти замены, получаем параметрическую функцию:

${\displaystyle p(y)\propto \left[1+{\frac {y^{2}}{\alpha ^{2}}}\right]^{-m}\exp \left[-\nu \arctan \left({\frac {y}{\alpha }}\right)\right].}$

Эта ненормализованная плотность имеет поддержку на всей действительной прямой . Она зависит от параметра масштаба α > 0 и параметров формы m > 1/2 и  ν . Один параметр был потерян, когда мы решили найти решение дифференциального уравнения (1) как функцию y, а не x . Поэтому мы снова вводим четвертый параметр, а именно параметр местоположения λ . Таким образом, мы вывели плотность распределения Пирсона типа IV :

${\displaystyle p(x)={\frac {\left|{\frac {\operatorname {\Gamma } \left(m+{\frac {\nu }{2}}i\right)}{\Gamma (m)}}\right|^{2}}{\alpha \operatorname {\mathrm {B} } \left(m-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}}\left[1+\left({\frac {x-\lambda }{\alpha }}\right)^{2}\right]^{-m}\exp \left[-\nu \arctan \left({\frac {x-\lambda }{\alpha }}\right)\right].}$

Нормирующая константа включает в себя комплексную функцию Гамма (Γ) и функцию Бета  (B). Обратите внимание, что параметр местоположения λ здесь не совпадает с исходным параметром местоположения, введенным в общей формулировке, но связан через

${\displaystyle \lambda =\lambda _{original}+{\frac {\alpha \nu }{2(m-1)}}.}$

Распределение Пирсона типа VII

График плотностей Пирсона типа VII с λ = 0, σ = 1 и: γ ₂ = ∞ (красный); γ ₂ = 4 (синий); и γ ₂ = 0 (черный)

Параметр формы ν распределения Пирсона типа IV контролирует его асимметрию . Если мы зафиксируем его значение на нуле, мы получим симметричное трехпараметрическое семейство. Этот особый случай известен как распределение Пирсона типа VII (ср. Pearson 1916, стр. 450). Его плотность равна

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{\alpha \operatorname {\mathrm {B} } \left(m-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}}\left[1+\left({\frac {x-\lambda }{\alpha }}\right)^{2}\right]^{-m},}$

где B — бета-функция .

Альтернативная параметризация (и небольшая специализация) распределения типа VII получается, если допустить, что

${\displaystyle \alpha =\sigma {\sqrt {2m-3}},}$

что требует m > 3/2. Это влечет за собой небольшую потерю общности, но гарантирует, что дисперсия распределения существует и равна σ ² . Теперь параметр m контролирует только эксцесс распределения. Если m стремится к бесконечности, а λ и σ остаются постоянными, нормальное распределение возникает как частный случай:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{m\to \infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2m-3}}\,\operatorname {\mathrm {B} } \left(m-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}}\left[1+\left({\frac {x-\lambda }{\sigma {\sqrt {2m-3}}}}\right)^{2}\right]^{-m}\\[5pt]={}&{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2}}\,\operatorname {\Gamma } \left({\frac {1}{2}}\right)}}\cdot \lim _{m\to \infty }{\frac {\Gamma (m)}{\operatorname {\Gamma } \left(m-{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {m-{\frac {3}{2}}}}}}\cdot \lim _{m\to \infty }\left[1+{\frac {\left({\frac {x-\lambda }{\sigma }}\right)^{2}}{2m-3}}\right]^{-m}\\[5pt]={}&{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\cdot 1\cdot \exp \left[-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\lambda }{\sigma }}\right)^{2}\right].\end{aligned}}}$

Это плотность нормального распределения со средним значением λ и стандартным отклонением σ .

Удобно потребовать, чтобы m > 5/2, и пусть

${\displaystyle m={\frac {5}{2}}+{\frac {3}{\gamma _{2}}}.}$

Это еще одна специализация, и она гарантирует, что существуют первые четыре момента распределения. Более конкретно, распределение Пирсона типа VII, параметризованное в терминах (λ, σ, γ 2 ₎ , имеет среднее значение λ , стандартное отклонение σ , асимметрию нулевую и положительный избыточный эксцесс γ ₂ .

Студенческийт-распределение

Распределение Пирсона типа VII эквивалентно нестандартизированному t -распределению Стьюдента с параметрами ν > 0, μ, σ ² путем применения следующих подстановок к его исходной параметризации:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &=\mu ,\\[5pt]\alpha &={\sqrt {\nu \sigma ^{2}}},\\[5pt]m&={\frac {\nu +1}{2}},\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что ограничение m > 1/2 выполняется.

Результирующая плотность равна

${\displaystyle p(x\mid \mu ,\sigma ^{2},\nu )={\frac {1}{{\sqrt {\nu \sigma ^{2}}}\,\operatorname {\mathrm {B} } \left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}},}$

что легко распознается как плотность t -распределения Стьюдента .

Это означает, что распределение Пирсона типа VII включает в себя стандартное t -распределение Стьюдента , а также стандартное распределение Коши . В частности, стандартное t -распределение Стьюдента возникает как подслучай, когда μ = 0 и σ ² = 1, что эквивалентно следующим подстановкам:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &=0,\\[5pt]\alpha &={\sqrt {\nu }},\\[5pt]m&={\frac {\nu +1}{2}},\end{aligned}}}$

Плотность этого ограниченного однопараметрического семейства представляет собой стандартное t Стьюдента :

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{{\sqrt {\nu }}\,\operatorname {\mathrm {B} } \left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}},}$

Случай 2, неотрицательный дискриминант

Если квадратичная функция (2) имеет неотрицательный дискриминант ( ), то она имеет действительные корни a ₁ и a ₂ (не обязательно различные): ${\displaystyle b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}\geq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&={\frac {-b_{1}-{\sqrt {b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}}}}{2b_{2}}},\\[5pt]a_{2}&={\frac {-b_{1}+{\sqrt {b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}}}}{2b_{2}}}.\end{aligned}}}$

При наличии действительных корней квадратичную функцию (2) можно записать в виде

${\displaystyle f(x)=b_{2}(x-a_{1})(x-a_{2}),}$

и решение дифференциального уравнения, следовательно,

${\displaystyle p(x)\propto \exp \left(-{\frac {1}{b_{2}}}\int {\frac {x-a}{(x-a_{1})(x-a_{2})}}\,dx\right).}$

Пирсон (1895, стр. 362) назвал это «логарифмическим случаем», потому что интеграл

${\displaystyle \int {\frac {x-a}{(x-a_{1})(x-a_{2})}}\,dx={\frac {(a_{1}-a)\ln(x-a_{1})-(a_{2}-a)\ln(x-a_{2})}{a_{1}-a_{2}}}+C}$

включает только функцию логарифма , а не функцию арктангенса, как в предыдущем случае.

Используя замену

${\displaystyle \nu ={\frac {1}{b_{2}(a_{1}-a_{2})}},}$

получаем следующее решение дифференциального уравнения (1):

${\displaystyle p(x)\propto (x-a_{1})^{-\nu (a_{1}-a)}(x-a_{2})^{\nu (a_{2}-a)}.}$

Поскольку эта плотность известна только с точностью до скрытой константы пропорциональности, эту константу можно изменить и записать плотность следующим образом:

${\displaystyle p(x)\propto \left(1-{\frac {x}{a_{1}}}\right)^{-\nu (a_{1}-a)}\left(1-{\frac {x}{a_{2}}}\right)^{\nu (a_{2}-a)}.}$

Распределение Пирсона типа I

Распределение Пирсона типа I (обобщение бета-распределения ) возникает, когда корни квадратного уравнения (2) имеют противоположные знаки, то есть . Тогда решение p поддерживается на интервале . Применим замену ${\displaystyle a_{1}<0<a_{2}}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2})}$

${\displaystyle x=a_{1}+y(a_{2}-a_{1}),}$

где , что дает решение в терминах y , которое поддерживается на интервале (0, 1): ${\displaystyle 0<y<1}$

${\displaystyle p(y)\propto \left({\frac {a_{1}-a_{2}}{a_{1}}}y\right)^{(-a_{1}+a)\nu }\left({\frac {a_{2}-a_{1}}{a_{2}}}(1-y)\right)^{(a_{2}-a)\nu }.}$

Можно определить:

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&={\frac {a-a_{1}}{b_{2}(a_{1}-a_{2})}},\\[5pt]m_{2}&={\frac {a-a_{2}}{b_{2}(a_{2}-a_{1})}}.\end{aligned}}}$

Перегруппировав константы и параметры, это упрощается до:

${\displaystyle p(y)\propto y^{m_{1}}(1-y)^{m_{2}},}$

Таким образом, следует a с . Оказывается, что m ₁ , m ₂ > −1 необходимо и достаточно для того, чтобы p была правильной функцией плотности вероятности. ${\displaystyle {\frac {x-\lambda -a_{1}}{a_{2}-a_{1}}}}$ ${\displaystyle \mathrm {B} (m_{1}+1,m_{2}+1)}$ ${\displaystyle \lambda =\mu _{1}-(a_{2}-a_{1}){\frac {m_{1}+1}{m_{1}+m_{2}+2}}-a_{1}}$

Распределение Пирсона типа II

Распределение Пирсона типа II является частным случаем семейства распределений Пирсона типа I, ограниченного симметричными распределениями.

Для кривой Пирсона типа II, ^[4]

${\displaystyle y=y_{0}\left(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\right)^{m},}$

где

${\displaystyle x=\sum d^{2}/2-(n^{3}-n)/12.}$

Ордината, y , является частотой . Распределение Пирсона типа II используется при вычислении таблицы значимых коэффициентов корреляции для коэффициента ранговой корреляции Спирмена , когда количество элементов в ряду меньше 100 (или 30, в зависимости от некоторых источников). После этого распределение имитирует стандартное t-распределение Стьюдента . Для таблицы значений определенные значения используются как константы в предыдущем уравнении: ${\displaystyle \sum d^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m&={\frac {5\beta _{2}-9}{2(3-\beta _{2})}},\\[5pt]a^{2}&={\frac {2\mu _{2}\beta _{2}}{3-\beta _{2}}},\\[5pt]y_{0}&={\frac {N[\Gamma (2m+2)]}{a[2^{2m+1}][\Gamma (m+1)]}}.\end{aligned}}}$

Моменты x используются

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{2}&=(n-1)[(n^{2}+n)/12]^{2},\\[5pt]\beta _{2}&={\frac {3(25n^{4}-13n^{3}-73n^{2}+37n+72)}{25n(n+1)^{2}(n-1)}}.\end{aligned}}}$

Распределение Пирсона типа III

Определение

${\displaystyle \lambda =\mu _{1}+{\frac {b_{0}}{b_{1}}}-(m+1)b_{1},}$

${\displaystyle b_{0}+b_{1}(x-\lambda )}$Распределение Пирсона типа III — это гамма - распределение или распределение хи-квадрат . ${\displaystyle \operatorname {Gamma} (m+1,b_{1}^{2})}$

Распределение Пирсона типа V

Определение новых параметров:

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{1}&={\frac {b_{1}}{2b_{2}}},\\\lambda &=\mu _{1}-{\frac {a-C_{1}}{1-2b_{2}}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle x-\lambda }$следует . Распределение Пирсона типа V представляет собой обратное гамма-распределение . ${\displaystyle \operatorname {InverseGamma} ({\frac {1}{b_{2}}}-1,{\frac {a-C_{1}}{b_{2}}})}$

Распределение Пирсона типа VI

Определение

${\displaystyle \lambda =\mu _{1}+(a_{2}-a_{1}){\frac {m_{2}+1}{m_{2}+m_{1}+2}}-a_{2},}$

${\displaystyle {\frac {x-\lambda -a_{2}}{a_{2}-a_{1}}}}$следует a . Распределение Пирсона типа VI является бета-простым распределением или F -распределением . ${\displaystyle \beta ^{\prime }(m_{2}+1,-m_{2}-m_{1}-1)}$

Связь с другими дистрибутивами

Семейство Пирсона включает в себя, среди прочего, следующие распределения:

• Бета-распределение (тип I)
• Бета-простое распределение (тип VI)
• Распределение Коши (тип IV)
• Распределение хи-квадрат (тип III)
• Непрерывное равномерное распределение (предел типа I)
• Экспоненциальное распределение (тип III)
• Гамма-распределение (тип III)
• F -распределение (тип VI)
• Обратное распределение хи-квадрат (тип V)
• Обратное гамма-распределение (тип V)
• Нормальное распределение (предел типа I, III, IV, V или VI)
• Распределение Стьюдента ( тип VII, который является неперекошенным подтипом типа IV)

Альтернативами системе распределений Пирсона для подгонки распределений к данным являются квантильно-параметризованные распределения (QPD) и распределения металогов . QPD и металоги могут обеспечить большую гибкость формы и границ, чем система Пирсона. Вместо подгонки моментов QPD обычно подгоняются к эмпирическим CDF или другим данным с помощью линейных наименьших квадратов .

Примерами современных альтернатив диаграмме асимметрии и эксцесса Пирсона являются: (i) https://github.com/SchildCode/PearsonPlot и (ii) «график Каллена и Фрея» в статистическом приложении R.

Приложения

Эти модели используются на финансовых рынках, учитывая их способность параметризоваться таким образом, который имеет интуитивное значение для рыночных трейдеров. В настоящее время используется ряд моделей, которые охватывают стохастическую природу волатильности ставок, акций и т. д., ^{[ какие? ] [ нужна цитата ]} и это семейство распределений может оказаться одним из наиболее важных.

В Соединенных Штатах распределение Log-Pearson III является распределением по умолчанию для анализа частоты наводнений. ^[5]

Недавно были разработаны альтернативы распределению Пирсона, которые более гибкие и их легче подгонять под данные. См. распределения металогов .

Примечания

1. Миллер, Джефф; и др. (2006-07-09). "Бета-распределение". Самые ранние известные случаи использования некоторых слов математики . Получено 2006-12-09 .
2. Миллер, Джефф; и др. (2006-12-07). "Гамма-распределение". Самые ранние известные случаи использования некоторых слов из математики . Получено 2006-12-09 .
3. Ord JK (1972) стр. 2
4. Рэмси, Филип Х. (1989-09-01). «Критические значения для ранговой корреляции Спирмена». Журнал образовательной статистики . 14 (3): 245–253. JSTOR  1165017.
5. "Руководство по определению частоты паводков" (PDF) . USGS Water . Март 1982 . Получено 2019-06-14 .

Источники

Первичные источники

• Пирсон, Карл (1893). «Вклад в математическую теорию эволюции [аннотация]». Труды Королевского общества . 54 (326–330): 329–333. doi : 10.1098/rspl.1893.0079 . JSTOR  115538.

• Пирсон, Карл (1895). «Вклад в математическую теорию эволюции, II: Косая вариация в однородном материале» (PDF) . Philosophical Transactions of the Royal Society . 186 : 343–414. Bibcode :1895RSPTA.186..343P. doi : 10.1098/rsta.1895.0010 . JSTOR  90649.

• Пирсон, Карл (1901). «Математический вклад в теорию эволюции, X: Дополнение к мемуару о косой вариации». Philosophical Transactions of the Royal Society A . 197 (287–299): 443–459. Bibcode :1901RSPTA.197..443P. doi : 10.1098/rsta.1901.0023 . JSTOR  90841.

• Пирсон, Карл (1916). «Математический вклад в теорию эволюции, XIX: Второе дополнение к мемуару о косой вариации». Philosophical Transactions of the Royal Society A . 216 (538–548): 429–457. Bibcode :1916RSPTA.216..429P. doi : 10.1098/rsta.1916.0009 . JSTOR  91092.

• Райнд, А. (июль–октябрь 1909 г.). «Таблицы для облегчения вычисления вероятных ошибок главных констант распределений частот с перекосом». Biometrika . 7 (1/2): 127–147. doi :10.1093/biomet/7.1-2.127. JSTOR  2345367.

Вторичные источники

• Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стиган (1964). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Национальное бюро стандартов .
• Эрик В. Вайсштейн и др. Распределение Пирсона типа III. Из MathWorld .

Ссылки

• Элдертон, сэр WP, Джонсон, NL (1969) Системы частотных кривых . Издательство Кембриджского университета.
• Орд Дж. К. (1972) Семейства распределений частот . Гриффин, Лондон.