Серия Гранди

Бесконечный ряд, суммирующий чередующиеся 1 и -1 члены

В математике бесконечный ряд 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ также записывается

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}}$

иногда называется рядом Гранди , в честь итальянского математика , философа и священника Гвидо Гранди , который дал памятную трактовку ряда в 1703 году. Это расходящийся ряд , что означает, что последовательность частичных сумм ряда не сходится.

Однако, хотя он и расходящийся, его можно манипулировать, чтобы получить ряд математически интересных результатов. Например, в математике используется много методов суммирования, чтобы присвоить числовые значения даже расходящемуся ряду. Например, суммирование Чезаро и суммирование Рамануджана этого ряда оба равны 1/2.

Нестрогие методы

Один очевидный метод нахождения суммы ряда

${\displaystyle 1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots }$

было бы рассматривать его как телескопический ряд и выполнять вычитания на месте:

${\displaystyle (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+\ldots =0+0+0+0+\ldots =0.}$

С другой стороны, аналогичная процедура заключения в скобки приводит к, по-видимому, противоречивому результату

${\displaystyle 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\ldots =1+0+0+0+\ldots =1.}$

Таким образом, применяя скобки к ряду Гранди различными способами, можно получить либо 0, либо 1 в качестве «значения». Это тесно связано с общей проблемой условной сходимости , и вариации этой идеи, называемые мошенничеством Эйленберга–Мазура , иногда используются в теории узлов и алгебре . Взяв среднее значение этих двух «значений», можно доказать, что ряд сходится к 1/2.

Рассматривая ряд Гранди как расходящийся геометрический ряд и используя те же алгебраические методы, которые оценивают сходящиеся геометрические ряды, получаем третье значение:

$${\displaystyle {\begin{aligned}S&=1-1+1-1+\ldots ,{\text{ so}}\\1-S&=1-(1-1+1-1+\ldots )=1-1+1-1+\ldots =S\\1-S&=S\\1&=2S,\end{aligned}}}$$

в результате чего получается . Тот же вывод получается из вычисления (из ( ), вычитания результата из , и решения . ^[1] ${\displaystyle S=1/2}$ ${\textstyle -S}$ ${\textstyle -S=(1-S)-1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 2S=1}$

Вышеуказанные манипуляции не рассматривают, что означает сумма ряда строго и как указанные алгебраические методы могут быть применены к расходящимся геометрическим рядам . Тем не менее, в той степени, в которой важно уметь заключать ряды в скобки по желанию, и в той степени, в которой важнее уметь выполнять арифметические действия с ними, можно прийти к двум выводам:

• Ряд 1 − 1 + 1 − 1 + ... не имеет суммы. ^{[1] [2]}
• ... но его сумма должна быть 1/2. ^[2]

На самом деле, оба эти утверждения могут быть сделаны точными и формально доказанными, но только с использованием хорошо определенных математических концепций, которые возникли в 19 веке. После введения исчисления в конце 17 века в Европе , но до появления современной строгости , напряжение между этими ответами подпитывало то, что было охарактеризовано как «бесконечный» и «жестокий» спор между математиками . ^[3]

Отношение к геометрическому ряду

Для любого числа в интервале ⁠ ⁠ сумму до бесконечности геометрической прогрессии можно оценить с помощью ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (-1,1)}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}r^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }r^{n}={\frac {1}{1-r}}.}$

Для любого , таким образом, находим ${\displaystyle \varepsilon \in (0,2)}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1+\varepsilon )^{n}={\frac {1}{1-(-1+\varepsilon )}}={\frac {1}{2-\varepsilon }},}$

и поэтому предел оценок серий равен ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}\lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}(-1+\varepsilon )^{n}={\frac {1}{2}}.}$

Однако, как уже упоминалось, ряд, полученный путем переключения пределов,

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\lim _{\varepsilon \to 0}\sum _{n=0}^{N}(-1+\varepsilon )^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}}$

расходится.

В терминах комплексного анализа , ⁠1/2Таким образом, ⁠ представляется значением при z = −1 аналитического продолжения ряда ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{N}z^{n}}$ , которое определено только на комплексном единичном круге, | z | < 1 .

Ранние идеи

Дивергенция

В современной математике сумма бесконечного ряда определяется как предел последовательности его частичных сумм , если таковая существует. Последовательность частичных сумм ряда Гранди равна 1, 0, 1, 0, ..., что явно не приближается ни к какому числу (хотя имеет две точки накопления в 0 и 1). Следовательно, ряд Гранди расходящийся .

Можно показать, что недопустимо выполнять многие, казалось бы, безобидные операции над рядом, такие как переупорядочивание отдельных членов, если только ряд не является абсолютно сходящимся . В противном случае эти операции могут изменить результат суммирования. ^[4] Кроме того, члены ряда Гранди можно переставить так, чтобы их точки накопления находились на любом интервале из двух или более последовательных целых чисел, а не только 0 или 1. Например, ряд

${\displaystyle 1+1+1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-\cdots }$

(в котором после пяти начальных членов +1 члены чередуются парами членов +1 и −1 — бесконечность как +1, так и −1 позволяет добавлять любое конечное число единиц или −1 в начало, согласно парадоксу Гильберта о Гранд-отеле ) — это перестановка ряда Гранди, в которой каждое значение в переставленном ряду соответствует значению, которое находится не более чем на четыре позиции от него в исходном ряду; его точки накопления — 3, 4 и 5.

Образование

Когнитивное воздействие

Около 1987 года Анна Серпинская представила серию Гранди группе 17-летних студентов предвычислительного факультета Варшавского лицея . Она сосредоточилась на студентах-гуманитариях, ожидая, что их математический опыт будет менее значительным, чем у их сверстников, изучающих математику и физику, поэтому эпистемологические препятствия, которые они демонстрируют, будут более репрезентативными для препятствий, которые все еще могут присутствовать у лицеистов.

Первоначально Серпинская ожидала, что студенты откажутся присвоить значение ряду Гранди, и в этот момент она могла бы шокировать их, заявив, что 1 − 1 + 1 − 1 + ··· = ⁠1/2⁠ в результате формулы геометрической прогрессии. В идеале, ища ошибку в рассуждениях и исследуя формулу для различных общих соотношений, студенты «заметят, что есть два вида рядов, и родится неявная концепция сходимости». ^[5] Однако студенты не проявили никакого шока, когда им сказали, что 1 − 1 + 1 − 1 + ··· = ⁠1/2⁠ или даже 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ = −1 . Серпинская замечает, что априори реакция студентов не должна быть слишком удивительной, учитывая, что Лейбниц и Гранди считали ⁠1/2⁠ быть правдоподобным результатом;

«A posteriori, однако, объяснение этого отсутствия шока со стороны студентов может быть несколько иным. Они спокойно восприняли абсурд, потому что, в конце концов, «математика совершенно абстрактна и далека от реальности», и «с помощью этих математических преобразований можно доказать всякую чушь», как позже сказал один из мальчиков». ^[5]

Студенты в конечном итоге не были застрахованы от вопроса о сходимости; Серпинской удалось вовлечь их в этот вопрос, связав его с десятичными расширениями на следующий день. Как только 0,999... = 1 застало студентов врасплох, остальная часть ее материала «прошла мимо их ушей». ^[5]

Предубеждения

В другом исследовании, проведенном в Тревизо , Италия , около 2000 года, ученикам третьего и четвертого курсов Liceo Scientifico (в возрасте от 16 до 18 лет) раздали карточки со следующими вопросами:

«В 1703 году математик Гвидо Гранди изучал сложение: 1 − 1 + 1 − 1 + ... (слагаемые, бесконечно много, всегда +1 и –1). Каково ваше мнение об этом?»

Студентам была представлена ​​идея бесконечного множества, но у них не было никакого предварительного опыта работы с бесконечными рядами. Им дали десять минут без книг и калькуляторов. 88 ответов были классифицированы следующим образом:

(26) результат 0

(18) результат может быть 0 или 1

(5) результат не существует

(4) результат ⁠1/2⁠

(3) результат 1

(2) результат бесконечен

(30) нет ответа

Исследователь Джорджио Баньи опросил нескольких студентов, чтобы определить их рассуждения. Около 16 из них обосновали ответ 0, используя логику, похожую на логику Гранди и Риккати. Другие обосновали ⁠1/2⁠ как среднее арифметическое 0 и 1. Баньи отмечает, что их рассуждения, хотя и похожи на рассуждения Лейбница, не имеют вероятностной основы, которая была так важна для математики 18-го века. Он приходит к выводу, что ответы согласуются со связью между историческим развитием и индивидуальным развитием, хотя культурный контекст отличается. ^[6]

Перспективы

Джоэл Леманн описывает процесс различения различных концепций сумм как возведение моста через концептуальную расщелину: путаницу из-за расхождений, преследовавшую математику XVIII века.

«Поскольку ряды обычно представляются без истории и отдельно от приложений, студент должен задаться вопросом не только «Что это за вещи?», но и «Зачем мы это делаем?» Озабоченность определением сходимости, а не суммы, делает весь процесс искусственным и бессмысленным для многих студентов, а также преподавателей». ^[7]

В результате у многих студентов формируется отношение, подобное отношению Эйлера:

«... проблемы, которые возникают естественным образом (т. е. из природы), имеют решения, поэтому предположение, что в конечном итоге все получится, подтверждается экспериментально без необходимости в доказательствах существования. Предположим, что все в порядке, и если полученное решение работает, вы, вероятно, были правы или, по крайней мере, достаточно правы. ... так зачем же беспокоиться о деталях, которые появляются только в задачах домашнего задания?» ^[8]

Леман рекомендует ответить на это возражение тем же примером, который был выдвинут против эйлеровской трактовки ряда Гранди Жаном-Шарлем Калле. Эйлер рассматривал сумму как оценку при x = 1 геометрической прогрессии ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots =1/(1+x)}$ , давая сумму ⁠1/2⁠ . Однако Калле указал, что вместо этого можно рассматривать ряд Гранди как оценку при x = 1 другого ряда, ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1-x^{2}+x^{3}-x^{5}+x^{6}-\cdots ={\tfrac {1+x}{1+x+x^{2}}}}$ , что дает сумму ⁠2/3⁠ . Леман утверждает, что наблюдение такого противоречивого результата в интуитивных оценках может мотивировать необходимость строгих определений и внимания к деталям. ^[8]

Суммируемость

Связанные проблемы

Ряд 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ... ( до бесконечности) также расходится, но некоторые методы позволяют просуммировать его до ⁠1/4⁠ . Это квадрат значения, которое большинство методов суммирования присваивают ряду Гранди, что разумно, поскольку его можно рассматривать как произведение Коши двух копий ряда Гранди.

Смотрите также

• 1 – 1 + 2 – 6 + 24 – 120 + ⋯
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
• 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
• Рамануджан суммирование
• Подведение итогов по Чезаро
• Лампа Томсона

Примечания

1. Devlin 1994, стр. 77
2. Davis 1989, стр. 152
3. Клайн 1983, стр. 307; Кнопп 1990, стр. 457
4. Проттер и Моррей 1991
5. Серпиньска 1987, стр. 371–378.
6. Баньи 2005, стр. 6–8
7. Леманн 1995, стр. 165
8. Lehmann 1995, стр. 176

Ссылки

• Bagni, Giorgio T. (июнь 2005 г.). "Бесконечный ряд от истории до математического образования" (PDF) . Международный журнал по преподаванию и изучению математики . Архивировано из оригинала (PDF) 29.12.2006.
• Дэвис, Гарри Ф. (май 1989). Ряды Фурье и ортогональные функции . Дувр. ISBN 978-0-486-65973-2.
• Девлин, Кит (1994). Математика, наука о закономерностях: поиск порядка в жизни, разуме и вселенной . Scientific American Library. ISBN 978-0-7167-6022-1.
• Клайн, Моррис (ноябрь 1983 г.). «Эйлер и бесконечные ряды». Mathematics Magazine . 56 (5): 307–314. CiteSeerX  10.1.1.639.6923 . doi :10.2307/2690371. JSTOR  2690371.
• Кнопп, Конрад (1990) [1922]. Теория и применение бесконечных рядов . Дувр. ISBN 978-0-486-66165-0.
• Hobson, EW (1907). Теория функций действительной переменной и теория рядов Фурье. Cambridge University Press . раздел 331. ISBN 978-1-4181-8651-7.
• Lehmann, Joel (1995). «Сходящиеся концепции рядов: извлечение уроков из истории». В Swetz, Frank; Fauvel, John; Bekken, Otto; Johansson, Bengt; Katz, Victor (ред.). Учитесь у мастеров! (PDF) . Математическая ассоциация Америки. стр. 161–180.
• Проттер, Мюррей Х.; Моррей, Чарльз Б. младший (1991). Первый курс по реальному анализу. Бакалаврские тексты по математике . Springer. стр. 249. ISBN 978-0-387-97437-8.
• Серпинская, Анна (ноябрь 1987 г.). «Студенты-гуманитарии и эпистемологические препятствия, связанные с ограничениями». Educational Studies in Mathematics . 18 (4): 371–396. doi :10.1007/BF00240986. JSTOR  3482354. S2CID  144880659.
• Уиттекер, ET ; Уотсон, GN (1962). Курс современного анализа (4-е, переизданное издание). Cambridge University Press . § 2.1.

Внешние ссылки

• Один минус один плюс один минус один – Numberphile, серия Гранди