В геодезии триангуляция — это процесс определения местоположения точки путем измерения только углов к ней от известных точек на обоих концах фиксированной базовой линии с использованием тригонометрии , а не непосредственного измерения расстояний до точки, как при трилатерации . Затем эту точку можно зафиксировать как третью точку треугольника с одной известной стороной и двумя известными углами.
Триангуляция также может относиться к точной съемке систем очень больших треугольников, называемых сетями триангуляции . Это следует из работы Виллеброрда Снелла в 1615–1617 годах, который показал, как точка может быть расположена по углам, полученным из трех известных точек, но измерена в новой неизвестной точке, а не в ранее фиксированных точках, - проблема, называемая обратной засечкой . Ошибка съемки сводится к минимуму, если сначала создается сетка треугольников максимально подходящего масштаба. Тогда все точки внутри треугольников могут быть точно расположены относительно него. Такие методы триангуляции использовались для точной крупномасштабной съемки местности до появления глобальных навигационных спутниковых систем в 1980-х годах.
Триангуляцию можно использовать для определения положения корабля, если известны положения A и B. Наблюдатель в точке A измеряет угол α , а наблюдатель в точке B измеряет β .
Положение любой вершины треугольника можно вычислить, если известны положение одной стороны и двух углов. Следующие формулы строго верны только для плоской поверхности. Если необходимо учесть кривизну Земли, то необходимо использовать сферическую тригонометрию .
Расстояние между A и B дает :
Используя тригонометрические тождества tan α = sin α / cos α и sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, это эквивалентно:
поэтому:
Исходя из этого, легко определить расстояние до неизвестной точки от любой точки наблюдения, ее смещение на север/юг и восток/запад от точки наблюдения и, наконец, ее полные координаты.
Триангуляция сегодня используется для многих целей, включая геодезию , навигацию , метрологию , астрометрию , бинокулярное зрение , моделирование ракетной техники и наведение оружия .
В полевых условиях методы триангуляции, по-видимому, не применялись римскими специалистами-землеустроителями, агрименсорами ; но были введены в средневековую Испанию через арабские трактаты об астролябии , например, Ибн ас-Саффара (ум. 1035). [1] Абу Райхан Бируни (ум. 1048) также ввел методы триангуляции для измерения размера Земли и расстояний между различными местами. [2] Упрощенные римские методы, похоже, сосуществовали с более сложными методами, используемыми профессиональными геодезистами. Но такие методы редко переводились на латынь (редким исключением является руководство по геометрии, Geomatria incerti auctoris одиннадцатого века ), и такие методы, похоже, лишь медленно проникали в остальную Европу. [1] Рост осведомленности и использование таких методов в Испании может быть подтвержден средневековым посохом Якоба , используемым специально для измерения углов, который датируется примерно 1300 годом; и появление точно исследованных береговых линий на картах-портоланах , самая ранняя из которых сохранилась и датирована 1296 годом.
На суше картограф Джемма Фризиус предложила использовать триангуляцию для точного позиционирования отдаленных мест для составления карт в своей брошюре 1533 года Libellus de Locorum definendorumratione (« Брошюра о способе описания мест »), которую он прикрепил в качестве приложения к новому изданию. издание бестселлера Питера Апиана «Космографика 1524 года ». Это стало очень влиятельным, и техника распространилась по Германии, Австрии и Нидерландам. Астроном Тихо Браге применил этот метод в Скандинавии, выполнив в 1579 году подробную триангуляцию острова Хвен , где базировалась его обсерватория, со ссылкой на ключевые ориентиры по обе стороны Эресунна , создав в 1584 году план поместья острова. [3] В Англии метод Фризиуса был включен в растущее число книг по геодезии, выходивших с середины века, включая « Космографическое стекло » Уильяма Канингема ( 1559 г.), «Трактат об измерении всех видов земель» Валентина Ли (1562 г.). , «Правила навигации » Уильяма Борна (1571 г.), « Геометрическая практика Томаса Диггса под названием «Пантометрия» (1571 г.) и «Диалог геодезиста » Джона Нордена (1607 г.). Было высказано предположение, что Кристофер Сакстон, возможно, использовал грубую триангуляцию для размещения объектов на своих картах графств 1570-х годов; но другие полагают, что, получив приблизительное представление о объектах с ключевых точек обзора, он мог оценить расстояния до них просто путем догадок. [4]
Современное систематическое использование сетей триангуляции происходит от работы голландского математика Виллеброрда Снелла , который в 1615 году измерил расстояние от Алкмаара до Бреды , примерно 72 мили (116 километров), используя цепочку четырехугольников, содержащую всего 33 треугольника. Снелл недооценил расстояние на 3,5%. Два города были разделены на один градус на меридиане , поэтому на основе своих измерений он смог вычислить длину окружности Земли – подвиг, отмеченный в названии его книги « Эратосфен Батавус» ( «Голландский Эратосфен »), опубликованной в 1617 году. Снелл рассчитал, как можно исправить плоские формулы, чтобы учесть кривизну Земли. Он также показал, как выполнить обратную засечку или вычислить положение точки внутри треугольника, используя углы, образуемые между вершинами в неизвестной точке. Их можно было измерить гораздо точнее, чем направления вершин, которые зависели от компаса. Это установило ключевую идею сначала обследовать крупномасштабную первичную сеть контрольных точек, а затем позже обнаружить второстепенные вспомогательные точки внутри этой первичной сети.
Методы Снелла были подхвачены Жаном Пикаром , который в 1669–1670 годах исследовал один градус широты вдоль Парижского меридиана, используя цепочку из тринадцати треугольников, протянувшуюся на север от Парижа до часовой башни Сурдон , недалеко от Амьена . Благодаря усовершенствованиям инструментов и точности измерения Пикара считаются первым достаточно точным измерением радиуса Земли. В течение следующего столетия эта работа была расширена, в первую очередь, семьей Кассини: между 1683 и 1718 годами Жан-Доминик Кассини и его сын Жак Кассини обследовали весь парижский меридиан от Дюнкерка до Перпиньяна ; а между 1733 и 1740 годами Жак и его сын Сезар Кассини предприняли первую триангуляцию всей страны, включая повторное обследование дуги меридиана , что привело к публикации в 1745 году первой карты Франции, построенной на строгих принципах.
Методы триангуляции к настоящему времени хорошо зарекомендовали себя для местного картографирования, но только к концу 18 века другие страны начали проводить подробные сетевые исследования триангуляции для картирования целых стран. Основная триангуляция Великобритании была начата Артиллерийской службой в 1783 году, но завершена только в 1853 году; а Великая тригонометрическая съемка Индии, которая в конечном итоге назвала и нанесла на карту гору Эверест и другие гималайские вершины, была начата в 1801 году. Для наполеоновского французского государства французская триангуляция была расширена Жаном -Жозефом Траншо на немецкую Рейнскую область с 1801 года, впоследствии завершен после 1815 года прусским генералом Карлом фон Мюффлингом . Тем временем математику Карлу Фридриху Гауссу с 1821 по 1825 год было поручено триангуляция Ганноверского королевства (Гауссово землеустройство ), к которой он применил метод наименьших квадратов , чтобы найти наилучшее решение задач больших систем. одновременных уравнений с учетом большего количества реальных измерений, чем неизвестных.
Сегодня крупномасштабные триангуляционные сети для определения местоположения в значительной степени вытеснены глобальными навигационными спутниковыми системами , созданными с 1980-х годов, но многие контрольные точки для более ранних исследований все еще сохранились как ценные исторические элементы ландшафта, такие как бетонные триангуляционные столбы. созданные для ретриангуляции Великобритании (1936–1962 гг.) или точки триангуляции, установленные для геодезической дуги Струве (1816–1855 гг.), В настоящее время внесенной в список Всемирного наследия ЮНЕСКО .
