Сокращение длины

Contraction of length in the direction of propagation in Minkowski space

Колеса, которые движутся со скоростью 9/10 скорости света. Скорость верхней части колеса равна 0,994 с, а скорость нижней всегда равна нулю. Вот почему верхняя часть сжимается относительно нижней. Эта анимация сделана в предположении, что спицы колеса гораздо более эластичны, чем его окружность. В противном случае возможен разрыв спиц или окружности. В остальной части центра колеса колеса имеют круглую форму, а их спицы прямые и равноудаленные, но их окружность сужена и оказывает давление на спицы.

Сокращение длины — это явление, при котором измеренная длина движущегося объекта оказывается короче его собственной длины , которая представляет собой длину, измеренную в собственной системе отсчета покоя объекта . ^[1] Оно также известно как сокращение Лоренца или сокращение Лоренца-Фитцджеральда (в честь Хендрика Лоренца и Джорджа Фрэнсиса Фитцджеральда ) и обычно заметно только на значительной части скорости света . Сокращение длины происходит только в направлении движения тела. Для стандартных объектов этот эффект незначителен на повседневных скоростях, и его можно игнорировать для всех обычных целей, он становится значительным только по мере того, как объект приближается к скорости света относительно наблюдателя.

История

Сокращение длины было постулировано Джорджем Фитцджеральдом (1889) и Хендриком Антоном Лоренцем (1892), чтобы объяснить отрицательный результат эксперимента Майкельсона-Морли и спасти гипотезу стационарного эфира ( гипотеза сокращения Лоренца-Фитцджеральда ). ^{[2] [3]} Хотя и Фитцджеральд, и Лоренц ссылались на тот факт, что электростатические поля в движении деформируются («Эллипсоид Хевисайда» в честь Оливера Хевисайда , который вывел эту деформацию из электромагнитной теории в 1888 году), это считалось специальной гипотезой. , поскольку в это время не было достаточных оснований предполагать, что межмолекулярные силы ведут себя так же, как и электромагнитные. В 1897 году Джозеф Лармор разработал модель, в которой считается, что все силы имеют электромагнитное происхождение, а сокращение длины оказалось прямым следствием этой модели. Однако Анри Пуанкаре (1905) показал , что одни лишь электромагнитные силы не могут объяснить стабильность электрона. Поэтому ему пришлось ввести еще одну специальную гипотезу: неэлектрические силы связи ( напряжения Пуанкаре ), которые обеспечивают стабильность электрона, дают динамическое объяснение сокращению длины и, таким образом, скрывают движение неподвижного эфира. ^[4]

Альберту Эйнштейну (1905) приписывают ^[4] устранение ad hoc характера из гипотезы сокращения, выведя это сокращение из своих постулатов, а не из экспериментальных данных. ^[5] Герман Минковский дал геометрическую интерпретацию всех релятивистских эффектов, представив свою концепцию четырехмерного пространства-времени . ^[6]

Основа теории относительности

В специальной теории относительности наблюдатель измеряет события по бесконечной решетке синхронизированных часов.

Прежде всего необходимо внимательно рассмотреть методы измерения длин покоящихся и движущихся объектов. ^[7] Здесь «объект» просто означает расстояние, конечные точки которого всегда взаимно покоятся, т. е . находятся в покое в одной и той же инерциальной системе отсчета . Если относительная скорость между наблюдателем (или его измерительными приборами) и наблюдаемым объектом равна нулю, то правильную длину объекта можно просто определить, непосредственно наложив измерительный стержень. Однако если относительная скорость больше нуля, то можно поступить следующим образом: ${\displaystyle L_{0}}$

Сокращение длины : три синих стержня покоятся в S, а три красных стержня в S'. В тот момент, когда левые концы А и D займут одинаковое положение на оси х, следует сравнить длины стержней. В S одновременные положения левой стороны A и правой стороны C более удалены, чем положения D и F. В то время как в S' одновременные положения левой стороны D и правой стороны F более удалены, чем позиции D и F. те из А и С.

Наблюдатель устанавливает ряд часов, которые либо синхронизируются а) путем обмена световыми сигналами согласно синхронизации Пуанкаре-Эйнштейна , либо б) путем «медленного транспорта часов», то есть одни часы транспортируются по ряду часов в пределе исчезающей скорости переноса. Теперь, когда процесс синхронизации завершен, объект перемещается по ряду часов, и каждые часы сохраняют точное время, когда мимо проходит левый или правый конец объекта. После этого наблюдателю остается только посмотреть на положение часов A, которые хранят время, когда мимо проходил левый конец объекта, и часов B, мимо которых в то же время проходил правый конец объекта. . Понятно, что расстояние AB равно длине движущегося объекта. ^[7] Используя этот метод, определение одновременности имеет решающее значение для измерения длины движущихся объектов. ${\displaystyle L}$

Другой метод — использовать часы, показывающие собственное время , которое перемещается от одной конечной точки стержня к другому во времени , измеренном часами в системе покоя стержня. Длину стержня можно вычислить, умножив время его путешествия на его скорость, то есть в системе покоя стержня или в системе покоя часов. ^[8] ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L_{0}=T\cdot v}$ ${\displaystyle L=T_{0}\cdot v}$

В механике Ньютона одновременность и продолжительность времени абсолютны, поэтому оба метода приводят к равенству и . Однако в теории относительности постоянство скорости света во всех инерциальных системах отсчета в связи с относительностью одновременности и замедления времени разрушает это равенство. В первом методе наблюдатель в одном кадре утверждает, что измерил конечные точки объекта одновременно, но наблюдатели во всех других инерциальных кадрах будут утверждать, что конечные точки объекта не были измерены одновременно. Во втором методе времена и не равны из-за замедления времени, что приводит к разной длине. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T_{0}}$

Отклонение между измерениями во всех инерциальных системах отсчета определяется формулами преобразования Лоренца и замедления времени (см. Вывод). Оказывается, собственная длина остается неизменной и всегда обозначает наибольшую длину объекта, а длина того же объекта, измеренная в другой инерциальной системе отсчета, короче собственной длины. Это сокращение происходит только вдоль линии движения и может быть представлено соотношением

${\displaystyle L={\frac {1}{\gamma (v)}}L_{0}}$

где

• ${\displaystyle L}$- длина, которую наблюдает наблюдатель, движущийся относительно объекта
• ${\displaystyle L_{0}}$— правильная длина (длина объекта в кадре покоя)
• ${\displaystyle \gamma (v)}$– фактор Лоренца , определяемый как
  $${\displaystyle \gamma (v)\equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$$
  где
  • ${\displaystyle v}$это относительная скорость между наблюдателем и движущимся объектом
  • ${\displaystyle c}$это скорость света

Замена множителя Лоренца в исходной формуле приводит к соотношению

${\displaystyle L=L_{0}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

В этом уравнении и измеряются параллельно линии движения объекта. Для наблюдателя, находящегося в относительном движении, длина объекта измеряется путем вычитания одновременно измеренных расстояний до обоих концов объекта. Более общие преобразования см. в разделе Преобразования Лоренца . Наблюдатель в состоянии покоя, наблюдающий за объектом, движущимся со скоростью, близкой к скорости света, заметит, что длина объекта в направлении движения очень близка к нулю. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{0}}$

Затем со скоростью13 400 000  м/с (30 миллионов миль в час, 0,0447 с ) длина в сокращении составляет 99,9% длины в состоянии покоя; со скоростью42 300 000  м/с (95 миллионов миль в час, 0,141 с ), длина по-прежнему 99%. Когда величина скорости приближается к скорости света, эффект становится заметным.

Симметрия

Принцип относительности (согласно которому законы природы инвариантны в инерциальных системах отсчета) требует, чтобы сокращение длины было симметричным: если стержень покоится в инерциальной системе отсчета , он имеет свою собственную длину в и его длина сокращается в . Однако, если стержень покоится в , он имеет правильную длину в и его длина сокращается в . Это можно наглядно проиллюстрировать с помощью симметричных диаграмм Минковского , поскольку преобразование Лоренца геометрически соответствует вращению в четырехмерном пространстве-времени . ^{[9] [10]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S}$

Магнитные силы

Магнитные силы вызваны релятивистским сжатием, когда электроны движутся относительно атомных ядер. Магнитная сила, действующая на движущийся заряд рядом с проводом с током, является результатом релятивистского движения между электронами и протонами. ^{[11] [12]}

В 1820 году Андре-Мари Ампер показал, что параллельные провода, в которых токи одного направления, притягиваются друг к другу. В системе отсчета электронов движущийся провод слегка сжимается, в результате чего протоны противоположного провода становятся локально более плотными . Поскольку электроны в противоположном проводе также движутся, они не сжимаются (так сильно). Это приводит к очевидному локальному дисбалансу между электронами и протонами; движущиеся электроны в одном проводе притягиваются к дополнительным протонам в другом. Можно рассмотреть и обратное. В системе отсчета статического протона электроны движутся и сжимаются, что приводит к тому же дисбалансу. Скорость дрейфа электронов относительно очень мала, порядка метра в час, но сила между электроном и протоном настолько огромна, что даже на этой очень медленной скорости релятивистское сжатие вызывает значительные эффекты.

Этот эффект также применим к магнитным частицам без тока, где ток заменяется спином электрона. ^{[ нужна цитата ]}

Экспериментальные проверки

Любой наблюдатель, движущийся вместе с наблюдаемым объектом, не может измерить сокращение объекта, поскольку он может судить о себе и объекте как о покоящихся в одной и той же инерциальной системе отсчета в соответствии с принципом относительности (как это было продемонстрировано экспериментом Траутона- Рэнкина ). . Таким образом, сокращение длины нельзя измерить в системе отсчета покоя объекта, а только в той системе координат, в которой наблюдаемый объект находится в движении. Кроме того, даже в такой неспутственно движущейся системе отсчета трудно добиться прямых экспериментальных подтверждений сокращения длины, поскольку при нынешнем состоянии технологий объекты значительной протяженности не могут быть ускорены до релятивистских скоростей. И единственные объекты, движущиеся с требуемой скоростью, — это атомные частицы, чьи пространственные расширения слишком малы, чтобы можно было напрямую измерить сжатие.

Однако есть косвенные подтверждения этого эффекта в неспутствующей системе отсчета:

• Это был отрицательный результат известного эксперимента, потребовавшего введения сокращения длины: эксперимента Майкельсона-Морли (а позже и эксперимента Кеннеди-Торндайка ). В специальной теории относительности это объясняется следующим образом: в системе покоя интерферометр можно считать покоящимся в соответствии с принципом относительности, поэтому время распространения света одинаково во всех направлениях. Хотя в системе отсчета, в которой интерферометр находится в движении, поперечный луч должен пройти более длинный диагональный путь по отношению к неподвижной системе отсчета, что увеличивает время его прохождения, фактор, на который продольный луч будет задерживаться, займет время L /( c − v ) и L /( c + v ) для поездок вперед и назад соответственно еще длиннее. Следовательно, в продольном направлении интерферометр предполагается сжимать, чтобы восстановить равенство обоих времен пробега в соответствии с отрицательным экспериментальным результатом(ами). Таким образом, двусторонняя скорость света остается постоянной, а время распространения туда и обратно вдоль перпендикулярных плеч интерферометра не зависит от его движения и ориентации.
• Учитывая толщину атмосферы, измеренную в земной системе отсчета, чрезвычайно короткая продолжительность жизни мюонов не должна позволить им совершить путешествие на поверхность, даже со скоростью света, но, тем не менее, они это делают. Однако в земной системе отсчета это становится возможным только благодаря замедлению времени мюона из-за замедления времени . Однако в рамках мюона этот эффект объясняется сжатием атмосферы, сокращающим путешествие. ^[13]
• Тяжелые ионы , которые в состоянии покоя имеют сферическую форму, при движении почти со скоростью света должны принимать форму «блинчиков» или плоских дисков. Фактически, результаты, полученные в результате столкновений частиц, можно объяснить, только если принять во внимание увеличение плотности нуклонов из-за сокращения длины. ^{[14] [15] [16]}
• Ионизационная способность электрически заряженных частиц с большими относительными скоростями выше ожидаемой. В дорелятивистской физике эта способность должна уменьшаться при высоких скоростях, потому что время, в течение которого движущиеся ионизирующие частицы могут взаимодействовать с электронами других атомов или молекул, уменьшается. Хотя в теории относительности более высокая, чем ожидалось, ионизационная способность может быть объяснена сокращением длины кулоновского поля в кадрах, в которых ионизирующие частицы движутся, что увеличивает напряженность их электрического поля, перпендикулярного линии движения. ^{[13] [17]}
• В синхротронах и лазерах на свободных электронах релятивистские электроны инжектируются в ондулятор , в результате чего генерируется синхротронное излучение . В собственной системе электронов ондулятор сжимается, что приводит к увеличению частоты излучения. Кроме того, чтобы узнать частоту, измеренную в лабораторных условиях, необходимо применить релятивистский эффект Доплера . Итак, только с помощью сокращения длины и релятивистского эффекта Доплера можно объяснить чрезвычайно малую длину волны ондуляторного излучения. ^{[18] [19]}

Реальность сокращения длины

Диаграмма Минковского мысленного эксперимента Эйнштейна 1911 года по сокращению длины. Два стержня с длиной покоя движутся со скоростью 0,6с в противоположных направлениях, в результате чего . ${\displaystyle A'B'=A''B''=L_{0}}$ ${\displaystyle A^{\ast }B^{\ast }<L_{0}}$

В 1911 году Владимир Варичак утверждал, что, согласно Лоренцу, сокращение длины наблюдается объективно, в то время как, по мнению Эйнштейна, это «лишь кажущееся, субъективное явление, вызванное способом регулирования наших часов и измерения длины». ^{[20] [21]} Эйнштейн опубликовал опровержение:

Автор неоправданно заявил о различии взглядов Лоренца и моих относительно физических фактов . Вопрос о том, действительно ли существует сокращение длины, вводит в заблуждение. Оно не существует «на самом деле», поскольку оно не существует для идущего рядом наблюдателя; хотя оно «реально» существует, т. е. таким образом, что его можно было бы в принципе продемонстрировать физическими средствами неподвижному наблюдателю. ^[22]

-  Альберт Эйнштейн, 1911 г.

Эйнштейн также утверждал в этой статье, что сокращение длины — это не просто продукт произвольных определений, касающихся способа регулирования часов и измерения длины. Он представил следующий мысленный эксперимент: пусть A'B' и A'B' — концы двух стержней одинаковой длины L ₀ , измеренной по x' и x" соответственно. Пусть они движутся в противоположных направлениях вдоль x. * ось, рассматриваемая в состоянии покоя, движется по отношению к ней с одинаковой скоростью. Концы А'А" тогда встречаются в точке А*, а В'В" встречаются в точке В*. Эйнштейн указывал, что длина А*В* короче чем A'B' или A"B", что также можно продемонстрировать, остановив один из стержней относительно этой оси. ^[22]

Парадоксы

Из-за поверхностного применения формулы сокращения могут возникнуть некоторые парадоксы. Примерами являются парадокс лестницы и парадокс космического корабля Белла . Однако эти парадоксы можно разрешить путем правильного применения теории относительности одновременности. Другой известный парадокс — парадокс Эренфеста , который доказывает, что концепция твердых тел несовместима с теорией относительности, уменьшая применимость жесткости Борна и показывая, что для наблюдателя, вращающегося вместе, геометрия на самом деле неевклидова .

Визуальные эффекты

Формула на стене в Лейдене, Нидерланды. Лоренц был заведующим кафедрой теоретической физики в Лейденском университете в 1877–1910 гг.

Сокращение длины относится к измерениям положения, выполняемым одновременно в соответствии с системой координат. Это может означать, что если бы можно было сфотографировать быстро движущийся объект, то на изображении был бы виден объект, сжавшийся в направлении движения. Однако подобные визуальные эффекты представляют собой совершенно другие измерения, поскольку такая фотография делается с расстояния, а сокращение длины можно непосредственно измерить только в точном расположении конечных точек объекта. Несколько авторов, таких как Роджер Пенроуз и Джеймс Террелл , показали , что движущиеся объекты на фотографии обычно не кажутся сжатыми в длину. ^[23] Этот результат был популяризирован Виктором Вайскопфом в статье в журнале Physics Today. ^[24] Например, при небольшом угловом диаметре движущаяся сфера остается круглой и вращается. ^[25] Этот вид эффекта визуального вращения называется вращением Пенроуза-Террелла. ^[26]

Вывод

Сокращение длины может быть получено несколькими способами:

Известная длина перемещения

В инерциальной системе отсчета S пусть и обозначают конечные точки движущегося объекта. В этом кадре длина объекта измеряется в соответствии с вышеуказанными соглашениями путем определения одновременного положения его конечных точек в точке . Между тем, собственная длина этого объекта, измеренная в его системе координат S', может быть рассчитана с помощью преобразования Лоренца. Преобразование временных координат из S в S' приводит к разным временам, но это не проблема, поскольку объект покоится в S', где не имеет значения, когда измеряются конечные точки. Поэтому достаточно преобразования пространственных координат, которое дает: ^[7] ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$

${\displaystyle x'_{1}=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right)\quad {\text{and}}\quad x'_{2}=\gamma \left(x_{2}-vt_{2}\right)\ \ .}$

Так как и установив и , собственная длина в S' определяется выражением ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$ ${\displaystyle L=x_{2}-x_{1}}$ ${\displaystyle L_{0}^{'}=x_{2}^{'}-x_{1}^{'}}$

Следовательно, длина объекта, измеренная в системе координат S, сокращается в коэффициент : ${\displaystyle \gamma }$

Аналогично, согласно принципу относительности, объект, покоящийся в S, также сожмется в S'. Поменяв местами указанные выше знаки и простые числа симметрично, следует, что

Таким образом, объект, покоящийся в S, при измерении в S' будет иметь сжатую длину

Известная правильная длина

И наоборот, если объект покоится в S и известна его собственная длина, одновременность измерений в конечных точках объекта приходится учитывать в другом кадре S', так как там объект постоянно меняет свое положение. Поэтому необходимо преобразовать как пространственные, так и временные координаты: ^[27]

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}^{'}&=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right)&\quad \mathrm {and} \quad &&x_{2}^{'}&=\gamma \left(x_{2}-vt_{2}\right)\\t_{1}^{'}&=\gamma \left(t_{1}-vx_{1}/c^{2}\right)&\quad \mathrm {and} \quad &&t_{2}^{'}&=\gamma \left(t_{2}-vx_{2}/c^{2}\right)\end{aligned}}}$

Вычисляя интервал длины , а также предполагая одновременное измерение времени и подставляя правильную длину , получаем следующее: ${\displaystyle \Delta x'=x_{2}^{\prime }-x_{1}^{\prime }}$ ${\displaystyle \Delta t'=t_{2}^{\prime }-t_{1}^{\prime }=0}$ ${\displaystyle L_{0}=x_{2}-x_{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta x'&=\gamma \left(L_{0}-v\Delta t\right)&(1)\\\Delta t'&=\gamma \left(\Delta t-{\frac {vL_{0}}{c^{2}}}\right)=0&(2)\end{aligned}}}$

Уравнение (2) дает

${\displaystyle \Delta t={\frac {vL_{0}}{c^{2}}}}$

что при подключении к (1) показывает, что становится сокращенной длиной : ${\displaystyle \Delta x'}$ ${\displaystyle L'}$

${\displaystyle L'=L_{0}/\gamma }$.

Аналогично, тот же метод дает симметричный результат для объекта, находящегося в состоянии покоя в S':

${\displaystyle L=L_{0}^{'}/\gamma }$.

Использование замедления времени

Сокращение длины также может быть получено из замедления времени , ^[28] согласно которому скорость одиночных «движущихся» часов (указывающих их собственное время ) ниже по сравнению с двумя синхронизированными «покоящимися» часами (указывающими ). Замедление времени было многократно подтверждено экспериментально и представлено соотношением: ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T=T_{0}\cdot \gamma }$

Предположим, что покоящийся стержень соответствующей длины и покоящиеся часы движутся друг относительно друга со скоростью . Поскольку, согласно принципу относительности, величина относительной скорости одинакова в любой системе отсчета, соответствующие времена прохождения часов между конечными точками стержня определяются in и in , таким образом и . Подставив формулу замедления времени, соотношение между этими длинами составит: ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle T=L_{0}/v}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T'_{0}=L'/v}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle L_{0}=Tv}$ ${\displaystyle L'=T'_{0}v}$

${\displaystyle {\frac {L'}{L_{0}}}={\frac {T'_{0}v}{Tv}}=1/\gamma }$.

Следовательно, длина, измеренная в, определяется выражением ${\displaystyle S'}$

${\displaystyle L'=L_{0}/\gamma }$

Таким образом, поскольку время хода часов по стержню больше, чем в (замедление времени в ), длина стержня также больше, чем в (сокращение длины в ). Аналогично, если бы часы находились в состоянии покоя и стержень находился в положении , описанная выше процедура дала бы ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S'}$

${\displaystyle L=L'_{0}/\gamma }$

Геометрические соображения

Кубоиды в пространстве-времени Евклида и Минковского

Дополнительные геометрические соображения показывают, что сокращение длины можно рассматривать как тригонометрическое явление по аналогии с параллельными срезами кубоида до и после вращения в E ³ (см. левую половину рисунка справа). Это евклидов аналог усиления кубоида в E ^1,2 . Однако в последнем случае мы можем интерпретировать усиленный кубоид как мировую плиту движущейся плиты.

Изображение : Слева: повернутый кубоид в трехмерном евклидовом пространстве E ³ . Поперечное сечение в направлении вращения длиннее , чем было до вращения. Справа: мировой пласт движущейся тонкой пластины в пространстве-времени Минковского (с подавленным одним пространственным измерением) E ^1,2 , который представляет собой усиленный кубоид . Поперечное сечение в направлении наддува тоньше , чем было до наддува. В обоих случаях поперечные направления не затрагиваются, а три плоскости, встречающиеся в каждом углу кубоидов, взаимно ортогональны (в смысле E ^1,2 справа и в смысле E ³ слева).

В специальной теории относительности преобразования Пуанкаре представляют собой класс аффинных преобразований , которые можно охарактеризовать как преобразования между альтернативными декартовыми координатными картами в пространстве-времени Минковского , соответствующими альтернативным состояниям инерционного движения (и различному выбору начала координат ). Преобразования Лоренца — это преобразования Пуанкаре, которые являются линейными преобразованиями (сохраняют начало координат). Преобразования Лоренца играют в геометрии Минковского ту же роль ( группа Лоренца образует группу изотропии самоизометрий пространства-времени), которую играют вращения в евклидовой геометрии. Действительно, специальная теория относительности во многом сводится к изучению своего рода неевклидовой тригонометрии в пространстве-времени Минковского, как показано в следующей таблице:

Рекомендации

1. Даларссон, Мирьяна; Даларссон, Нильс (2015). Тензоры, теория относительности и космология (2-е изд.). Академическая пресса. стр. 106–108. ISBN 978-0-12-803401-9.Выдержка со страницы 106
2. Фитцджеральд, Джордж Фрэнсис (1889), «Эфир и атмосфера Земли»  , Science , 13 (328): 390, Бибкод : 1889Sci....13..390F, doi : 10.1126/science.ns-13.328.390 , PMID  17819387, S2CID  43610293
3. Лоренц, Хендрик Антун (1892), «Относительное движение Земли и эфира»  , Zittingsverlag Akad. В. Мокрый. , 1 : 74–79
4. Паис, Авраам (1982), Тонкий Господь: наука и жизнь Альберта Эйнштейна , Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN 0-19-520438-7
5. Эйнштейн, Альберт (1905a), "Zur Elektrodynamik bewegter Körper" (PDF) , Annalen der Physik , 322 (10): 891–921, Бибкод : 1905AnP...322..891E, doi : 10.1002/andp.19053221004. См. также: английский перевод.
6. Минковский, Герман (1909), "Raum und Zeit"  , Physikalische Zeitschrift , 10 : 75–88.

   • Различные английские переводы на Wikisource: Пространство и время

7. Борн, Макс (1964), Теория относительности Эйнштейна , Dover Publications, ISBN 0-486-60769-0
8. Эдвин Ф. Тейлор; Джон Арчибальд Уиллер (1992). Физика пространства-времени: Введение в специальную теорию относительности. Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 0-7167-2327-1.
9. Альберт Шэдоуиц (1988). Специальная теория относительности (Переиздание изд. 1968 г.). Публикации Courier Dover. стр. 20–22. ISBN 0-486-65743-4.
10. Лео Сартори (1996). Понимание теории относительности: упрощенный подход к теориям Эйнштейна . Издательство Калифорнийского университета. стр. 151 и далее. ISBN 0-520-20029-2.
11. «Лекции Фейнмана по физике, том II, глава 13: Магнитостатика». www.feynmanlectures.caltech.edu .
12. Э. М. Лифшиц, Л. Д. Ландау (1980). Классическая теория полей. Курс теоретической физики . Том. 2 (Четвертое изд.). Оксфорд, Великобритания: Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 0-7506-2768-9.
13. Сексл, Роман; Шмидт, Герберт К. (1979), Raum-Zeit-Relativität , Брауншвейг: Vieweg, Bibcode : 1979raum.book.....S, ISBN 3-528-17236-3
14. Брукхейвенская национальная лаборатория. «Физика RHIC» . Проверено 1 января 2013 г.
15. Мануэль Кальдерон де ла Барка Санчес. «Релятивистские столкновения тяжелых ионов» . Проверено 1 января 2013 г.
16. Хэндс, Саймон (2001). «Фазовая диаграмма КХД». Современная физика . 42 (4): 209–225. arXiv : физика/0105022 . Бибкод : 2001ConPh..42..209H. дои : 10.1080/00107510110063843. S2CID  16835076.
17. Уильямс, Э.Дж. (1931), «Потеря энергии β-частицами и ее распределение между различными видами столкновений», Труды Лондонского королевского общества. Серия A , 130 (813): 328–346, Bibcode : 1931RSPSA.130..328W, номер doi : 10.1098/rspa.1931.0008.
18. Фотонная наука DESY. «Что такое СР, как оно генерируется и каковы его свойства?». Архивировано из оригинала 3 июня 2016 г. Проверено 1 января 2013 г.
19. Фотонная наука DESY. «FLASH Лазер на свободных электронах в Гамбурге (PDF, 7,8 МБ)» (PDF) . Проверено 1 января 2013 г.
20. Варичак, Владимир. О парадоксе Эренфеста - через Wikisource.
21. Миллер, А.И. (1981), «Варичак и Эйнштейн», специальная теория относительности Альберта Эйнштейна. Появление (1905 г.) и ранняя интерпретация (1905–1911 г.) , Чтение: Аддисон-Уэсли, стр. 249–253, ISBN. 0-201-04679-2
22. Эйнштейн, Альберт (1911). "Zum Ehrenfestschen Paradoxon. Eine Bemerkung zu V. Variĉaks Aufsatz". Physikalische Zeitschrift . 12 : 509–510.; Оригинал: Der Verfasser шляпа с Unrecht einen Unterschied der Lorentz schen Auffassung von der meinigen mit Bezug auf die Physikalischen Tatsachen statuiert. Die Frage, ob die Lorentz -Verkürzung wirklich besteht oder nicht, ist unreführend. Sie besteht nämlich nicht "wirklich", insofern sie für einen mitbewegten Beobachter nicht Existiert; sie besteht aber "wirklich", dh in solcher Weise, daß sie prinzipiell durch Physikalische Mittel nachgewiesen werden könnte, für einen nicht mitbewegten Beobachter.
23. Краус, У. (2000). «Яркость и цвет быстро движущихся объектов: новый взгляд на внешний вид большой сферы» (PDF) . Американский журнал физики . 68 (1): 56–60. Бибкод : 2000AmJPh..68...56K. дои : 10.1119/1.19373.
24. Вайскопф, Виктор Ф. (1960). «Визуальный вид быстро движущихся объектов». Физика сегодня . 13 (9): 24–27. Бибкод : 1960PhT....13i..24W. дои : 10.1063/1.3057105. S2CID  36707809.
25. Пенроуз, Роджер (2005). Дорога к реальности . Лондон: Винтажные книги. стр. 430–431. ISBN 978-0-09-944068-0.
26. «Можете ли вы увидеть сокращение Лоренца-Фицджеральда?». math.ucr.edu .
27. Уолтер Грейнер (2006). Классическая механика: точечные частицы и теория относительности. Спрингер. ISBN 9780387218519.; Уравнения 31.4 – 31.6
28. Дэвид Холлидей , Роберт Резник , Джерл Уокер (2010), Основы физики, главы 33–37 , John Wiley & Son, стр. 1032f, ISBN 978-0470547946{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Внешние ссылки

• Часто задаваемые вопросы по физике: можете ли вы увидеть сокращение Лоренца-Фицджеральда? Или: вращение Пенроуза-Террелла; Сарай и столб