символ Набла

Символ, используемый для обозначения оператора del

∇

Символ набла

Набла — треугольный символ , напоминающий перевернутую греческую дельту : ^[1] или ∇. Название происходит, из-за формы символа, от эллинистического греческого слова νάβλα, обозначающего финикийскую арфу , ^{[2] [3]} и было предложено энциклопедистом Уильямом Робертсоном Смитом в письме 1870 года Питеру Гатри Тейту . ^{[2] [4] [5] [6] [7]} ${\displaystyle \nabla }$

Символ набла доступен в стандартном HTML как ∇и в LaTeX как \nabla. В Unicode это символ в кодовой точке U+2207, или 8711 в десятичной системе счисления, в блоке математических операторов .

Его также называют дель .

История

Арфа , инструмент , в честь которого назван символ набла

Дифференциальный оператор, заданный в декартовых координатах на трехмерном евклидовом пространстве как ${\displaystyle \{x,y,z\}}$

${\displaystyle \mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}}$

был введен в 1831 году ирландским математиком и физиком Уильямом Роуэном Гамильтоном , который назвал его ◁. ^[8] (Единичные векторы изначально были правыми версорами в кватернионах Гамильтона .) Математика ∇ получила свое полное изложение в руках П. Г. Тейта . ^{[9] [10]} ${\displaystyle \{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}}$

Получив предложение Смита, Тейт и Джеймс Клерк Максвелл в своей обширной частной переписке стали называть оператора набла; большинство этих ссылок носят юмористический характер. Жизнь и научная работа Питера Гатри Тейта К. Г. Нотта (стр. 145): ^[5]

Вероятно, именно это нежелание Максвелла использовать термин «Набла» в серьезных работах помешало Тейту ввести это слово раньше, чем он это сделал. Единственное опубликованное использование слова Максвеллом находится в названии его юмористической «Оды Тиндаллика», которая посвящена «Главному музыканту на Набла», то есть Тейту.

Уильям Томсон (лорд Кельвин) представил этот термин американской аудитории в своей лекции в 1884 году; ^[2] заметки были опубликованы в Великобритании и США в 1904 году. ^[11]

Название было признано и подвергнуто критике Оливером Хевисайдом в 1891 году: ^[12]

Фиктивный вектор ∇, заданный формулой

${\displaystyle \nabla =\mathbf {i} \nabla _{1}+\mathbf {j} \nabla _{2}+\mathbf {k} \nabla _{3}=\mathbf {i} {\frac {d}{dx}}+\mathbf {j} {\frac {d}{dy}}+\mathbf {k} {\frac {d}{dz}}}$

очень важно. Физическая математика — это в значительной степени математика ∇. Название Набла, таким образом, кажется смехотворно неэффективным.

Хевисайду и Джозайе Уилларду Гиббсу (независимо друг от друга) приписывают разработку версии векторного исчисления, наиболее популярной сегодня. ^[13]

Влиятельный текст 1901 года «Векторный анализ» , написанный Эдвином Бидвеллом Уилсоном и основанный на лекциях Гиббса, пропагандирует название «del»: ^[14]

Этот символический оператор ∇ был введен сэром У. Р. Гамильтоном и теперь используется повсеместно. Однако, похоже, для него нет общепризнанного названия, хотя из-за частого появления символа какое-то название является практической необходимостью. Опытным путем было обнаружено, что односложное слово del настолько коротко и легко произносится, что даже в сложных формулах, в которых ∇ встречается несколько раз, никаких неудобств для говорящего или слушателя от повторения не возникает. ∇ V читается просто как "del V ".

Эта книга определила форму, в которой в настоящее время обычно выражается математика рассматриваемого оператора — особенно в учебниках по физике для студентов, и особенно по электродинамике.

Современное использование

Набла используется в векторном исчислении как часть трех различных дифференциальных операторов: градиента (∇), дивергенции (∇⋅) и ротора (∇×). Последний из них использует векторное произведение и, таким образом, имеет смысл только в трех измерениях; первые два являются полностью общими. Все они изначально изучались в контексте классической теории электромагнетизма, и современные университетские программы по физике обычно трактуют материал, используя приблизительно концепции и обозначения, найденные в векторном анализе Гиббса и Уилсона .

Этот символ также используется в дифференциальной геометрии для обозначения связи .

Символ той же формы, хотя, предположительно, и не связанный генеалогически, появляется в других областях, например:

• Как и все отношения, особенно в теории решеток .
• Как оператор обратной разности в исчислении конечных разностей .
• Как расширяющий оператор, оператор, позволяющий завершить статический анализ программ за конечное время, в области абстрактной интерпретации компьютерных наук .
• Как маркер определения функции и самоссылка ( рекурсия ) в языке программирования APL
• Как показатель неопределенности в философской логике . ^[15]
• В военно-морской архитектуре (проектировании судов) для обозначения объёмного водоизмещения корабля или любого другого плавучего судна; графически похожая дельта используется для обозначения весового водоизмещения (общего веса воды, вытесненной кораблем), таким образом, где - плотность морской воды. ${\displaystyle \nabla =\Delta /\rho }$ ${\displaystyle \rho }$

Смотрите также

• Del , рассматривающий математику векторного дифференциального оператора
• Del в цилиндрических и сферических координатах
• grad , div и curl — дифференциальные операторы, определенные с помощью nabla
• История кватернионов
• Обозначение для дифференциации
• Ковариантная производная , также известная как связь
• Невель ^[7]

Сноски

1. современном греческом языке это называется анадельта (ανάδελτα) .
2. "nabla" . Оксфордский словарь английского языка (Электронная правка). Oxford University Press . (Требуется подписка или членство в участвующем учреждении.)
3. νάβλα. Лидделл, Генри Джордж ; Скотт, Роберт ; Греко-английский словарь в проекте «Персей» .
4. Письмо Смита Тейту, 10 ноября 1870 г.:

   Мой дорогой сэр, как вы помните, я предлагаю название для буквы ∇ — Набла... В греческом языке ведущая форма — ναβλᾰ... Что касается самой буквы, то это своего рода арфа, и, как утверждают Иероним и другие авторитеты, она имела форму ∇ (перевернутой Δ).

   Цитируется в Оксфордском словаре английского языка как «nabla».
5. Cargill Gilston Knott (1911). Жизнь и научная деятельность Питера Гатри Тейта. Cambridge University Press.
6. «История Наблы».
7. Примечательно, что иногда утверждается, что оно происходит от еврейского невела (נֶבֶל) - как в Книге Исаии, 5-я глава, 12-е предложение: «וְהָיָה כִנּוֹר וָ נֶבֶל תֹּף וְחָלִיל וָיַיִן מִשְׁתֵּיהֶם וְאֵת פֹּעַל יְהוָה לֹא יַבִּיטוּ וּמַעֲשֵׂה יָדָיו לֹא רָאוּ"—, но эта этимология ошибочна; греческое νάβλα происходит от финикийского, которому נֶבֶל является родственным. См.: «nable» . Оксфордский словарь английского языка (онлайн-изд.). Oxford University Press . (Требуется подписка или членство в участвующем учреждении.)
8. WR Hamilton, «О разностях и дифференциалах функций нуля», Trans. R. Irish Acad. XVII:235–236 особенно 236 (1831)
9. Knott, стр. 142–143: «Однако, несомненно, великой работой Тейта была разработка им мощного оператора ∇. Гамильтон ввел этот дифференциальный оператор в его полудекартовой трехчленной форме на стр. 610 своих «Лекций» и указал на его влияние как на скалярную, так и на векторную величину. ... Однако ни в « Лекциях» , ни в « Началах » эта теория не развита. Это было сделано Тейтом во втором издании его книги (∇ упоминается немного больше, чем в первом издании) и гораздо более полно в третьем и последнем издании».
10. PG Tait (1890) Элементарный трактат о кватернионах, издание 3 через Интернет-архив
11. Уильям Томсон, лорд Кельвин (1904). Балтиморские лекции по молекулярной динамике и волновой теории света. Два дня назад я взял на себя смелость спросить профессора Болла, есть ли у него название для этого символа ∇ ² , и он упомянул мне набла , юмористическое предложение Максвелла . Это название египетской арфы, которая имела такую ​​форму. Я не знаю, плохое ли это название для нее. Лапласиан мне не нравится по нескольким причинам, как историческим, так и фонетическим. [22 января 1892 г. С 1884 г. я не нашел ничего лучшего, и теперь я называю его лапласианом.]В тексте статьи он, по-видимому, называет лапласиан ∇ ² «набла», но в лекции, по-видимому, имел в виду сам ∇.
12. Хевисайд (1891), О силах, напряжениях и потоках энергии в электромагнитном поле. Напечатано в Philosophical Transactions of the Royal Society , 1892.
13. Майкл Дж. Кроу (1967). История векторного анализа .
14. Гиббс; Уилсон (1901). Векторный анализ: учебник для студентов-математиков и физиков, основанный на лекциях Дж. Уилларда Гиббса Эдвина Бидвелла Уилсона.
15. Например, в книге Энтони Эверетта (2013), «Несуществующее» , стр. 210:

    Мы можем представить случаи этой формы, случаи, когда неопределенно, в художественной литературе f : a = b , следующим образом:

    (А) ∇[ ^f a = b ] ^f .

    Здесь скобки и верхний индекс f s вместе служат для обозначения фиктивности; таким образом, набла говорит «Не определено, является ли», а остальное говорит « a = b (фиктивно)».

Внешние ссылки

• Арнольд Ноймайер (2004). «История Наблы».
• Арнольд Ноймайер (26 января 1998 г.). Клив Молер (ред.). «История Наблы». NA Digest, том 98, выпуск 03. netlib.org.
• Миллер, Джефф. «Древнейшее использование символов исчисления».
• Тай, Чен. Обзор неправильного использования ∇ в векторном анализе (1994).