Характер (математика)

В математике характер (чаще всего) — это особый вид функции от группы к полю (например, комплексные числа ). Существует по крайней мере два различных, но пересекающихся значения. ^[1] Другие варианты использования слова «характер» почти всегда уточнены.

Мультипликативный характер

Мультипликативный характер (или линейный характер , или просто характер ) на группе G — это групповой гомоморфизм из G в мультипликативную группу поля (Artin 1966), обычно поля комплексных чисел . Если G — любая группа, то множество Ch( G ) этих морфизмов образует абелеву группу относительно поточечного умножения.

Эта группа называется группой характеров G. Иногда рассматриваются только унитарные характеры (таким образом, изображение находится в единичной окружности ); другие такие гомоморфизмы называются тогда квазихарактерами . Характеры Дирихле можно рассматривать как частный случай этого определения.

Мультипликативные характеры линейно независимы , т.е. если — различные характеры на группе G , то отсюда следует, что . ${\displaystyle \chi _{1},\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}}$ ${\displaystyle a_{1}\chi _{1}+a_{2}\chi _{2}+\dots +a_{n}\chi _{n}=0}$ ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=0}$

Характер представления

Характер представления группы G на конечномерном векторном пространстве V над полем F — это след представления (Серр, 1977), т.е. ${\displaystyle \chi :G\to F}$ ${\displaystyle \phi \colon G\to \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \chi _{\phi }(g)=\operatorname {Tr} (\phi (g))}$для ${\displaystyle g\in G}$

В общем случае след не является гомоморфизмом групп, а множество следов не образует группу. Характеры одномерных представлений идентичны одномерным представлениям, поэтому указанное выше понятие мультипликативного характера можно рассматривать как частный случай многомерных характеров. Изучение представлений с использованием характеров называется « теорией характеров », а одномерные характеры в этом контексте также называются «линейными характерами».

Альтернативное определение

Если ограничиться конечной абелевой группой с представлением в (т.е. ), следующее альтернативное определение будет эквивалентно приведенному выше (для абелевых групп каждое матричное представление разлагается в прямую сумму представлений . Для неабелевых групп исходное определение будет более общим, чем это): ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)=\mathrm {GL} (1,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle 1\times 1}$

Характер группы — это групповой гомоморфизм , т.е. для всех ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle (G,\cdot )}$ ${\displaystyle \chi :G\rightarrow \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \chi (x\cdot y)=\chi (x)\chi (y)}$ ${\displaystyle x,y\in G.}$

Если — конечная абелева группа, то символы играют роль гармоник. Для бесконечных абелевых групп вышесказанное заменяется на , где — группа окружности . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \chi :G\to \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

Смотрите также

• Группа персонажей
• Характер Дирихле
• Характер Хариш-Чандры
• персонаж Хекке
• Бесконечно малый символ
• Альтернативный характер
• Характеристика (математика)
• Двойственность Понтрягина

Ссылки

1. "персонаж в nLab". ncatlab.org . Получено 2017-10-31 .

• Артин, Эмиль (1966), Теория Галуа , Математические лекции Нотр-Дам, номер 2, Артур Нортон Милгрэм (переиздано Dover Publications, 1997), ISBN 978-0-486-62342-9 Лекции, прочитанные в Университете Нотр-Дам
• Серр, Жан-Пьер (1977), Линейные представления конечных групп , Graduate Texts in Mathematics , т. 42, Перевод со второго французского издания Леонарда Л. Скотта, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4684-9458-7, ISBN 0-387-90190-6, МР  0450380

Внешние ссылки

• «Характер группы», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]